导数公式在高中数学中的应用

胡海燕

近年来高考考试大纲的考点，大部分试题与导数有着千丝万缕的关系.从导数引申出来的考点比重逐渐上升，使得导数与函数、微积分、复合函数、反函数、隐函数之间的共通性愈加明显，尤其是函数的导数和导函数，以及函数图象与导数特性的融合，导数和函数的考试范畴逐渐加大.为此，本文研究导数公式在高中数学中的应用具有重要的实践意义.

高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示.从理科高三接触的微积分来分析，显示的自变量和变量之间的关系可以看出它应用的身影.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，这甚至可以被认为高中与高等数学衔接中最基础的定义.高中导数公式的应用过程，是让学生感知瞬时变化率的过程.导数的概念和导数公式的应用，正是实现由初等函数正常推导的过程，是从中规范导数实践教学的过程，也是深度理解和认识导数的过程.

一、用导数判断函数的单调性

在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点处切线的斜率.判断函数的单调性，就可以根据一点处切线的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征.尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增.

例1 求函数y=x3-3x+1的单调区间.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，

因为：x=2时，y（2）=3，x=1时，y（1）=-1， x=0时，y（0）=1，x=-1时，y（-1）=3，x=-2时，y（-2）=-1，

所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增.

在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数的价值.在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”.

二、用导数求曲线的切线

基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据.导数的几何意义就是曲线在某点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在某点处可导的充分不必要条件.导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解曲线切线，其应用价值就体现在函数在某点处可导，曲线在某点处一定存在切线，但是曲线在某点存在切线，却未必可导的特性.

例2 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率.在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）处的切线的斜率是f ′（x0），相应的切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在该例题的切线方程求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的.

三、用导数求三角函数

三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略.从sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差，和差化积问题.

首先画单位圆交x轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点.角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）.

四、用导数公式求周期函数

例4 试求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax为周期函数.

从函数周期定律f ′（x）为以T为周期的周期函数着手，且f（x）处处有定义，则f ′（x） 当a=-1，0，1时f（x）分别为0，sinx，2sinx，均为周期函数，若a≠0，a2≠1的情况.当f（x）以T为周期时，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也应以T为周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）对所有x∈R成立.

两式相减，2a≠1，则sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m为有理数，必要性得证.从实际来看上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.在实际应用中，利用导数求解导函数还可以扩大为“不必让f ′（x）处处有定义，实际上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.”

五、结束语

导数在数学中的应用价值，主要显现为运用导数来求解曲线的切线、函数单调性、函数极值，不仅便捷还省时.高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想.导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率.导数的几何意义是曲线切线的斜率，在物理上体现瞬时速度.在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，成为导数应用领域必须关注的大事.这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极的指导作用.

近年来高考考试大纲的考点，大部分试题与导数有着千丝万缕的关系.从导数引申出来的考点比重逐渐上升，使得导数与函数、微积分、复合函数、反函数、隐函数之间的共通性愈加明显，尤其是函数的导数和导函数，以及函数图象与导数特性的融合，导数和函数的考试范畴逐渐加大.为此，本文研究导数公式在高中数学中的应用具有重要的实践意义.

高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示.从理科高三接触的微积分来分析，显示的自变量和变量之间的关系可以看出它应用的身影.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，这甚至可以被认为高中与高等数学衔接中最基础的定义.高中导数公式的应用过程，是让学生感知瞬时变化率的过程.导数的概念和导数公式的应用，正是实现由初等函数正常推导的过程，是从中规范导数实践教学的过程，也是深度理解和认识导数的过程.

一、用导数判断函数的单调性

在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点处切线的斜率.判断函数的单调性，就可以根据一点处切线的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征.尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增.

例1 求函数y=x3-3x+1的单调区间.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，

因为：x=2时，y（2）=3，x=1时，y（1）=-1， x=0时，y（0）=1，x=-1时，y（-1）=3，x=-2时，y（-2）=-1，

所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增.

在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数的价值.在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”.

二、用导数求曲线的切线

基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据.导数的几何意义就是曲线在某点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在某点处可导的充分不必要条件.导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解曲线切线，其应用价值就体现在函数在某点处可导，曲线在某点处一定存在切线，但是曲线在某点存在切线，却未必可导的特性.

例2 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率.在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）处的切线的斜率是f ′（x0），相应的切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在该例题的切线方程求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的.

三、用导数求三角函数

三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略.从sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差，和差化积问题.

首先画单位圆交x轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点.角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）.

四、用导数公式求周期函数

例4 试求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax为周期函数.

从函数周期定律f ′（x）为以T为周期的周期函数着手，且f（x）处处有定义，则f ′（x） 当a=-1，0，1时f（x）分别为0，sinx，2sinx，均为周期函数，若a≠0，a2≠1的情况.当f（x）以T为周期时，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也应以T为周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）对所有x∈R成立.

两式相减，2a≠1，则sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m为有理数，必要性得证.从实际来看上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.在实际应用中，利用导数求解导函数还可以扩大为“不必让f ′（x）处处有定义，实际上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.”

五、结束语

导数在数学中的应用价值，主要显现为运用导数来求解曲线的切线、函数单调性、函数极值，不仅便捷还省时.高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想.导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率.导数的几何意义是曲线切线的斜率，在物理上体现瞬时速度.在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，成为导数应用领域必须关注的大事.这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极的指导作用.

近年来高考考试大纲的考点，大部分试题与导数有着千丝万缕的关系.从导数引申出来的考点比重逐渐上升，使得导数与函数、微积分、复合函数、反函数、隐函数之间的共通性愈加明显，尤其是函数的导数和导函数，以及函数图象与导数特性的融合，导数和函数的考试范畴逐渐加大.为此，本文研究导数公式在高中数学中的应用具有重要的实践意义.

高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示.从理科高三接触的微积分来分析，显示的自变量和变量之间的关系可以看出它应用的身影.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，这甚至可以被认为高中与高等数学衔接中最基础的定义.高中导数公式的应用过程，是让学生感知瞬时变化率的过程.导数的概念和导数公式的应用，正是实现由初等函数正常推导的过程，是从中规范导数实践教学的过程，也是深度理解和认识导数的过程.

一、用导数判断函数的单调性

在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点处切线的斜率.判断函数的单调性，就可以根据一点处切线的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征.尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增.

例1 求函数y=x3-3x+1的单调区间.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，

因为：x=2时，y（2）=3，x=1时，y（1）=-1， x=0时，y（0）=1，x=-1时，y（-1）=3，x=-2时，y（-2）=-1，

所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增.

在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数的价值.在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”.

二、用导数求曲线的切线

基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据.导数的几何意义就是曲线在某点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在某点处可导的充分不必要条件.导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解曲线切线，其应用价值就体现在函数在某点处可导，曲线在某点处一定存在切线，但是曲线在某点存在切线，却未必可导的特性.

例2 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率.在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）处的切线的斜率是f ′（x0），相应的切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在该例题的切线方程求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的.

三、用导数求三角函数

三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略.从sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差，和差化积问题.

首先画单位圆交x轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点.角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）.

四、用导数公式求周期函数

例4 试求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax为周期函数.

从函数周期定律f ′（x）为以T为周期的周期函数着手，且f（x）处处有定义，则f ′（x） 当a=-1，0，1时f（x）分别为0，sinx，2sinx，均为周期函数，若a≠0，a2≠1的情况.当f（x）以T为周期时，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也应以T为周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）对所有x∈R成立.

两式相减，2a≠1，则sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m为有理数，必要性得证.从实际来看上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.在实际应用中，利用导数求解导函数还可以扩大为“不必让f ′（x）处处有定义，实际上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.”

五、结束语

导数在数学中的应用价值，主要显现为运用导数来求解曲线的切线、函数单调性、函数极值，不仅便捷还省时.高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想.导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率.导数的几何意义是曲线切线的斜率，在物理上体现瞬时速度.在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，成为导数应用领域必须关注的大事.这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极的指导作用.