行星齿轮减速器多目标优化设计

周鹏， 郭迎福， 刘厚才

（湖南科技大学机械设备健康维护省重点实验室，湖南湘潭411201）

行星齿轮减速器多目标优化设计

周鹏， 郭迎福， 刘厚才

（湖南科技大学机械设备健康维护省重点实验室，湖南湘潭411201）

针对行星齿轮减速器优化设计的多参数、多目标、多约束的特点，建立了多目标优化数学模型,应用层次分析法计算各目标函数权重，通过采用遗传算法进行减速器参数多目标优化求解。实例计算表明，优化设计参数比原设计参数更加合理，说明遗传算法用于减速器优化设计是有效、可行的，对行星齿轮减速器的优化有一定的指导意义。

优化设计；遗传算法；层次分析法；行星齿轮减速器

0 引言

行星齿轮减速器具有承载能力大、传动比高、结构紧凑、体积小、传动效率高等优点，广泛应用于各种车辆以及工程机械传动装置中。随着机械传动小型化、高速化的发展，对行星齿轮机构传动提出了更高的要求。提高行星齿轮机构的功效、减少体积和重量已成为人们十分关注的课题。然而，在行星齿轮减速器的优化设计中，所涉及的影响因素很多，使得行星齿轮减速器的设计很复杂。以往的研究主要集中在体积最小、效率最高、承载能力最高等单目标优化设计。对于一些多目标优化设计研究［1-3］存在着优化方法的选择和权重分配等问题，使得优化结果不够理想，存在局部最优解问题。本文为克服权重选取的主观性和不确定性，利用层次分析法来计算分目标函数的权重，采用遗传算法解决参数优化设计过程中可能出现的局部最优解问题，达到全局最优。

图1 行星齿轮机构结构简图

1 多目标优化模型的建立

行星齿轮机构的结构简图如图 1所示，其主要结构参数为太阳轮齿数z1，行星轮齿数z2，内齿圈齿数 z3，各齿轮模数m和齿宽b等。本文建立以体积最小、效率最高和承载能力最大为多目标优化模型，采用遗传算法进行优化求解。

1.1 设计变量的确定

在减速器优化设计中，影响参数有各齿轮的模数、齿数、齿宽、压力角、齿轮分度圆直径、各齿顶高系数、太阳轮个数等。过多的设计变量会增加计算的工作量和难度，常取对优化目标影响比较明显的、易于控制的设计参数作为设计变量。行星轮的个数c和传动比i，一般情况下可根据机构事先确定。综合考虑各种因素，选取太阳轮齿数z1、行星齿轮齿数z2、模数m、齿宽b、太阳轮允许转矩T1作为设计变量，即X=［z1，z2，m，b，T1］T=［x1，x2，x3，x4，x5］T。

1.2 分目标函数

1.2.1 体积

据图1可知，影响行星齿轮减速器体积主要有太阳轮与c个行星齿轮体积总和［4］。即V＝V1＋cV2；

1.2.2 效率

行星齿轮减速器大多用于连续长时间工作，有时还用于大功率传递，因此提高传动效率，减少摩擦也是减速器设计过程中必须要考虑的。行星齿轮机构的传动效率主要与传动比有关［5］，而传动比与行星机构的齿数相关，再计及轴承等运动副的影响，其效率值可由下式求得：

1.2.3 承载能力

行星齿轮减速器的承载能力可取允许太阳轮转矩T1作为目标函数：

1.3 约束条件

1）配齿约束。

2）应力约束。由于内啮合齿轮的接触强度高于外啮合齿轮，故取太阳轮1的齿根弯曲强度作为约束条件

式中：ZH、ZE分别为区域系数和弹性影响系数；K为载荷系数；YFa、YSa分别为齿形系数和应力校正系数；［σ］H、［σ］F分别为按齿面接触疲劳强度和按齿根弯曲疲劳强度计算时的许用应力。

3）其它界限约束。

1.4 建立总的目标函数

多目标优化问题的求解方法有很多，通过加权平均和法，将各分目标函数通过加权求和形成一个统一的总目标函数，把复杂的多目标问题转化单目标问题，即

式中，wi反映各分目标函数相对重要程度的加权因子。本文采用主观赋权法中的层次分析法来确定权重。层次分析法，是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。本文通过变换将比较矩阵转化为判断矩阵，并证明它完全满足一致性的要求,从而避免了利用Saaty［6］提出的九标度法建立的判断矩阵产生的不一致性。权重的确定步骤如下：

式中，cb为常量，是按某种标准预先给定的极差元素对的相对重要程度（一般在实践中常取cb=5）。

3）进行一致性检验。

2 优化方法的选择与实例分析

遗传算法是一种基于自然选择原理、自然遗传机制和自然搜索的算法，是一种实用、高效、强鲁棒性的优化技术；与传统算法相比，获得全局最优解的可能性更大，算法效率更高且对目标函数几乎没有什么限制。因此，对上述数学模型采用遗传算法来求解［7-8］。优化程序框图如图2所示。

图2 优化程序框图

为验证上述理论与方法的可行性，可以进行实例的计算分析。设图1行星齿轮减速器传动比i为4.64，齿轮材料为38SiMnMo，表面淬火硬度55～65HRC，相应的许用应力取值范围为［σ］H=1 300～1 650 MPa，［σ］F=430～880MPa；作用在轮1上的转矩允许取值的范围为1 140～1 500 N·m。现按体积最小、效率最高和承载能力最大(允许轮1的转矩最大)来设计该减速器，设行星轮个数c=3，通过查表计算取ηHd=0.98，ηc=0.98。遗传算法采用二进制编码，种群中的个体数目为30，二进制编码长度为20，交叉概率为0.8，变异概率为0.08，适应度函数取

调用遗传算法程序求得

与原设计参数［4］比较体积下降了11.7%，效率提高了5.9%，承载能力提高了15.7%，与普通单目标优化结果［4］比较体积只增加了4.9%，效率值也只下降了2.2%，但承载能力却提高了15.7%，可见优化综合效果很明显。

3 结论

采用多目标优化设计方法对行星齿轮机构进行设计，与常规设计方法比较，不但实现了优化设计，而且减少了设计时间，提高了设计效率。相比于单目标优化设计，优化结果虽不能全部提高，但总的综合效率得到了改善。通过层次分析法确定各目标函数的加权系数，提高了设计精度和水平，因此具有一定的工程实用意义。实例计算结果表明，利用遗传算法对行星齿轮减速器多目标优化设计是一种行之有效的优化方法。

［1］ 王建维，张建明，魏小鹏.基于模拟退火算法的减速器多目标优化设计［J］.农业机械学报，2006（10）：120-123.

［2］ 刘晓星.行星齿轮减速器的模糊多目标优化设计［J］.机械传动，1998（3）：11-13.

［3］ 商桂芝，陈殿华.行星齿轮机构的多目标优化设计［J］.机械设计与研究，2006（2）：68-70.

［4］ 陈立周.机械优化设计［M］.上海：上海科学技术出版社，1982.

［5］ 饶振纲.行星齿轮传动设计［M］.北京：化学工业出版社，2003.

［6］ Saaty T L.The analytic hierarchy process［M］.New York：McGraw-Hill，1980.

［7］ 陈国良.遗传算法及其应用［M］.北京：人民邮电出版社，1996.

［8］ Deb K，Jain S.Multi-speed gearbox design using multi-objective evolutionary algorithms［J］.ASME，Journal of Mechanical Design，2003，125（3）：609－619.

（编辑昊 天）

Multi-objective Optimization Design of Planetary Gear Reducer

ZHOU Peng,GUO Yingfu,LIU Houcai
（Hunan Provincial Key Laboratory of Health Maintenance for Mechanical Equipment,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan 411201,China）

Based on multi-parameter,multi-objective and multi-constraint of planetary gearreducer,the optimization mathematical model was established.In addition,the analytic hierarchy process（AHP）was adopted to calculate the weights of sub-objective functions.Genetic algorithm is used to slove multi-objective optimization of the reducer parameters.The example of calculating indicated that the optimal result is more rational than traditional design scheme in the earlier references.Genetic algorithm technique is proved to be effective and feasible in carrying out multiobjective optimization of reducer，it also has certain guiding significance to the optimization of planetary gear reducer.

optimization design;genetic algorithm;analytic hierarchy process;planetary gear reducer

TH 132.425

A

1002－2333（2014）05－0001－03

周鹏（1987—），男，硕士研究生，研究方向为机械设计及理论；郭迎福（1962—），男，博士学位，教授，研究方向为虚拟仪器技术、三维轮廓测量技术、递向工程等。

2014-02-19

国家自然科学基金资助项目（51075143）