螺旋锥齿轮齿面离散点空间坐标及法矢的计算

王志永， 翟华明

（中南林业科技大学机电工程学院，长沙410004）

螺旋锥齿轮齿面离散点空间坐标及法矢的计算

王志永， 翟华明

（中南林业科技大学机电工程学院，长沙410004）

根据螺旋锥齿轮的切齿加工方法和齿轮啮合原理，运用矢量运算的方法建立了大轮成形法加工和小轮刀倾法加工的理论齿面方程并规划了齿面计算网格点区域。运用Visual Studio 2008编程环境，编写了理论齿面各离散点空间坐标及法矢的计算软件，通过该软件可计算得到螺旋锥齿轮理论齿面各离散点在齿轮坐标系中的坐标值和单位法矢。将得到的理论齿面坐标点及法矢导入到三坐标测量机中进行测量获得各离散点的齿形误差，然后将获得该理论齿面坐标点及法矢的参数输入到CNC3906齿轮测量中心进行齿形误差测量，获得齿面上各离散点的齿形误差。将两组齿形误差测量数据进行对比分析，论证了所开发的计算软件的正确性，为螺旋锥齿轮齿面偏差的测量以及螺旋锥齿轮数字化闭环制造提供了正确的理论齿面数据。

螺旋锥齿轮；空间坐标；齿面偏差；数字化闭环制造

0 引言

螺旋锥齿轮主要用于两相交轴或交错轴之间的传动，是飞机、汽车和各种精密机床等设备中的重要传动部件。随着现代工业制造技术的发展，对齿轮传动效率、传动精度、噪声等要求越来越高。因此，提高其制造精度和啮合质量就显得越来越重要。数字化闭环制造技术是提高其制造精度的重要途径之一，而利用三坐标测量机或齿轮测量中心获得齿面偏差信息，是实现螺旋锥齿轮数字化闭环制造最关键的环节之一［1］。根据齿轮测量中心的测量原理，要想获得齿面偏差信息，首先必须获得理论齿面各离散点的坐标值和单位法矢，然后通过各离散点的理论坐标值和法向矢量控制测头与实际齿面接触，获得与理论齿面坐标点对应的实际齿面坐标点，通过误差分析软件获得齿形误差。获得螺旋锥齿轮理论齿面各离散点的坐标值及其法向矢量是实现螺旋锥齿轮齿形偏差测量的前提。因此必须建立螺旋锥齿轮理论齿面方程，螺旋锥齿轮齿面是复杂的空间曲面，需要按其切齿加工过程以及齿轮啮合理论来建立齿面方程。

1 齿面方程的建立

螺旋锥齿轮的加工方法有很多种，如成形法、展成法、刀倾法、全工序法、UMC等加工方法。在汽车驱动桥的螺旋锥齿轮传动中，大轮主要用成形法加工，小轮主要用刀倾法加工。本文运用矢量运算法建立了大轮成形法加工和小轮刀倾法加工的理论齿面方程。

1.1 成形法大轮齿面方程

图1是大轮的切齿加工示意图。图中的i-j平面为机床平面，机床平面过刀盘中心且垂直于产形轮轴线，机床平面与刀尖平面重合；k轴为摇台的轴线；G2为齿轮的轴线；O为机床中心，是产形轮轴线与刀尖平面的交点；Oc2为刀盘中心，是刀尖平面与刀盘轴线的交点；Sg为径向刀位；qg为角向刀位；M是刀盘切削面上的任意一点；θs为M点相位角；O2是轴错交点即设计交叉点，Eg为垂直轮位；Xbg为床位；Xg为水平轮位修正量；βg为轮坯安装角；刀尖顶点M0点的方程R02为：

R02=［Sgcosqg+R02sin（qg-θg）］i-［Sgsinqg-R02cos（qg-θg）］j。（1）

图1 大轮加工图

M点的单位法矢为Ng，沿母线方向的单位矢量为Tg。由图1可以确定Ng和Tg的方程为：

其中，α02为刀齿压力角。

设MM0＝s2，M点的坐标，即切削面的方程为：

大轮齿面与刀盘切削面是共轭曲面，可通过共轭曲面的方法求得。由图1可知大轮轴线方向的单位矢量：

大轮设计交叉点与机床中心之间的矢量：

成形法加工大轮时，摇台与被加工的齿轮都是不旋转的，因此两者的角速度、相对角速度、相对速度都等于零。垂直轮位Eg与床位Xbg等于零，qg为一常数。大轮齿面的形状与切削面的形状是相同的，大轮的齿面方程为：

1.2 刀倾法小轮齿面方程

图2是小轮的切齿加工图。图中的i-j平面为机床平面，机床平面与刀盘平面之间有一个刀倾角；k轴为摇台的轴线；P1为齿轮的轴线；O为机床中心；Ocl为刀盘中心；Sp为径向刀位；qp为角向刀位；M为刀盘切削面上的任意一点；ip、jp为刀倾角和刀转角；c为刀盘轴线；O1为轴错交点；Ep为垂直轮位；Xbp为床位；Xp水平轮位修正量；βp为坯安装角。

刀尖顶点M0的方程为：

沿母线方向的单位矢量Tp，M点的单位法矢Np和刀盘轴线c的方程分别为：

图2 小轮加工图

其中，α01是小轮刀齿压力角。

刀盘切削面是母线MM0绕刀盘轴线旋转一周而得到的，将刀尖顶点、法矢、母线、绕刀盘轴线c旋转一个θ角度得到刀盘任意轴截面的刀尖顶点R01′、法向量Np′和母线Tp′。

因为刀倾法加工小轮的过程中，小轮齿面各离散点都绕其轴线旋转了一个角度φi（i代表齿面上的任意一点），因此，在齿轮坐标中，需要将齿面各离散点都绕其轴线旋转相应的角度-φi。设Rp′＝Rc1+mp，则小轮的齿面方程可表示为：

2 齿面离散化处理及网格划分

螺旋锥齿轮的齿面是复杂的空间曲面，没有像渐开线圆柱齿轮那样的标准齿形与齿线，因此，其齿形误差的测量要比圆柱齿轮复杂。一般采用“点阵式”测量［4］，因此需要对螺旋锥齿轮的齿面进行离散化处理，即在齿轮的旋转投影面上对齿面进行网格划分，所有网格点都与实际齿面上的点一一对应，一般采取齿高方向取5行，在齿长方向取9列的原则［5－6］。为了避开齿根圆角和齿顶倒角，网格划分的区域要沿整个齿面边界往里适当收缩。根据AGMA标准，在齿宽方向，两端各收缩齿宽的10%，齿高方向，两端各收缩齿高的5%且不能少于0.6 mm。收缩后的齿面各边界与收缩前的齿面各边界平行，再根据齿高和齿长方向的网格点数将齿面各边界等距平分，齿面网格划分情况如图3所示，图中O为齿轮的交叉点，P为齿轮的轴线，XO为冠顶距，D为外径，δ、δa、δf、θa、θf分别为节锥角、面锥角、根锥角、齿顶角、齿根角，Δ1、Δ2、Δ3、Δ4分别为齿顶、齿根、小端、大端的收缩量。

图3 齿面网格划分示意图

由图3可知，收缩前的大端顶点A′的横坐标Ax′为齿轮的冠顶距，纵坐标Ay′为齿轮的外端半径。收缩后的大端顶点A的坐标：

求出收缩后的顶点A的坐标值后，根据图3中的几何关系可求出其它各网格点的坐标值。大轮的方程是s2和θg的函数；小轮的齿面方程是θp和Δq1的函数。由图3可知任意点M的R和L值：

式中：P是齿轮轴线的单位方向矢量；r为齿面上任意点的矢量。

以小轮为例，其齿面上任意点M的R、L值可由式（23）、式（24）求得，且都是θp和Δq1的函数，要求得满足R、L值的θp和Δq1两个参数，不能用解析法直接求得，只能通过二元迭代法来计算，求出以上2个参数θp和Δq1，就可求出小轮齿面上对应点的坐标值、法向矢量、齿高方向的矢量。同理也可求出大轮齿面上各离散点的坐标值、法向矢量、齿高方向的矢量。

3 计算软件开发及计算结果验证

3.1 计算软件开发

根据以上分析，运用Visual Studio 2008编程环境，开发了螺旋锥齿理论齿面离散点空间坐标及法矢的计算软件，软件采用模块化设计思想，包括三个部分的内容：1）成形法理论齿面坐标点计算模块；2）刀倾法理论齿面坐标点计算模块；3）理论齿面坐标点数据输出模块。

为了使生成的齿面坐标点数据能够被三坐标测量机读取并进行齿形偏差测量，齿面坐标点文件的输出格式以三坐标测量机定义的格式输出。

3.2 计算结果实验验证

将本文开发的计算软件生成的成形法大轮理论齿面坐标点及法矢文件导入到三坐标测量机中进行测量，得到齿面上各离散点的齿形误差。图4为大轮在三坐标测量机上进行测量时的情况，图5为三坐标测量机输出的齿形误差，图5中的（1，1）点为齿轮的大端齿根。

图4 三坐标测量机测量实例

图5 三坐标测量机齿形误差测量报告

将生成理论齿面坐标点及法矢的机床调整参数和刀具参数输入到CNC3906齿轮测量中心，然后进行测量获得齿面上各离散点的齿形误差值。图6为CNC3906齿轮测量中心输出的齿形误差报告。图6中的（1，1）点为齿轮的小端齿根。将两种齿形误差测量结果进行对比分析，两者在对应点的齿形误差的差值的最大值为3.4 μm，最小值为-2.4 μm。产生这一差值的主要原因是：1）三坐标测量机和齿轮测量中心本身的测量误差；2）本文开发的计算软件生成理论齿面坐标点及法矢时的网格划分方法与齿轮测量中心齿面网格划分方法的差异。因此，通过以上的对比分析，验证了本文开发的计算软件的正确性。

图6 CNC3096齿轮测量中心测量报告

4 结论

1）运用矢量运算的方法建立了大轮成形法加工和小轮刀倾法加工的理论齿面方程。

2）将理论齿面离散化处理，通过齿轮的基本几何参数计算得到了各离散点的R、L值。

3）根据齿轮啮合原理，运用牛顿二元迭代法计算了螺旋锥齿轮齿面离散点的空间坐标及法矢。

4）运用Visual Studio 2008编写了齿面离散点空间坐标及法矢的计算软件，将生成的理论齿面坐标点及法矢导入到三坐标测量中进行了测量，并将测量结果与CNC3906齿轮测量中心的测量结果进行了对比分析，验证了本文开发的计算软件的正确性。

［1］ 黄新冠，邓效忠，李天兴.弧锥齿轮齿面偏差测量［J］.机械传动，2007，31（6）：67-69.

［2］ 曾韬.螺旋锥齿轮设计与加工［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1989.

［3］ 吴序堂.齿轮啮合原理［M］.北京：机械工业出版社，1982.

［4］ 方宗德，杨宏斌，邓效忠.弧齿锥齿轮齿面优化修正及计算机仿真［J］.航空动力学报，2002（1）：140-143.

［5］ 徐娟.基于CNC齿轮测量中心的锥齿轮测量分析方法研究及软件开发［D］.重庆：重庆大学，2006.

［6］ 梁艳，张琳，等.弧齿锥齿轮齿面坐标法测量的研究［J］.工具技术，2006，40（2）：120-123.

（编辑昊 天）

Calculation of Spatial Coordinates and Normal Vector for Spiral Bevel Gear Tooth Surface

WANG Zhiyong，ZHAI Huaming
（College of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University of Forestry and Technology,Changsha 410004,China）

According to the processing methods and gear meshing theory of spiral bevel gear,vector operations method is used to establish theoretical tooth equations of formate gear and tilt cutter pinion,and the tooth surface area of grid point is planed.Using visual studio 2008 programming environment,a calculation software is written for getting the theoretical tooth surface spatial coordinates and normals of discrete point in the gear coordinates system.The resulting theoretical tooth surface coordinates and normals are imported into the coordinate measuring machine to measure and get profile errors of the discrete points.Then,the corresponding parameters are imported into CNC3906 gear measuring center to calculate and measure,and get profile errors of the discrete points.The two kinds of profile error are compared to demonstrate the correctness of calculation software.The method provides a correct theoretical tooth surface data for the three-coordinates measurement of tooth surface deviation and digital closed-loop manufacturing of spiral bevel gear.

spiral bevel gear;spatial coordinates;tooth surface deviation;digital closed-loop manufacturing

TH 132.421

A

1002－2333（2014）05－0012－04

王志永（1973—），男，副教授，主要从事螺旋锥齿轮数控加工装备以及螺旋锥齿轮数字化闭环制造技术的研究。翟华明（1987—），男，在读研究生，从事螺旋锥齿轮测量及齿形误差分析软件开发等方面的工作。

2014-03-04

湖南省教育厅科研资助项目（12B133）