线性阻尼抛体运动问题探究

郑 金

（凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500）

在线性阻力作用下的抛体运动过程属于瞬态过程，而线性力的冲量具有某一特性，因此对这类抛体运动问题的解答有规可循.

下面将利用两个结论对3种不同形式的线性阻尼抛体运动问题进行探究.

1 瞬态过程的结论

对于一个变量x＝f（t），设其初始值为x0＝f（0），稳态值为x∞＝f（∞），若满足一阶常系数线性微分方程

则其解为

即

若变量x＝f（t）是关于时间的函数，则式中的常系数τ为时间常量，其国际单位是s.

由此可见，瞬态过程变量x随时间t按指数规律变化.

2 线性力冲量的结论

与速度成正比的力称为正比例线性力，形如f＝kv.当力与速度共线时，力在一段时间Δt内的平均值为则其冲量为

这表明与速度共线的正比例线性力的冲量跟位移成正比.

3 结论应用

【例1】一质量为m的物体，由地面以初速度v0竖直向上抛出，空气阻力为f＝－kv.求：

（1）物体到达最大高度所需时间；

（2）最大高度；

（3）位移与时间的关系式.

解析：（1）取地面为原点，以竖直向上为正方向，由牛顿第二定律有

由此得关于v的一阶常系数线性微分方程的标准形式为

当物体到达最大高度时，速度v＝0，则有

即

所以时间为

若kv0mg，则由公式

（2）对上升过程由动量定理有

可得最大高度为

若kv0mg，则由公式

得

（3）对上升到任意高度y的过程由动量定理有

将该式与速度关系式联立，得位移关系式为

对于竖直上抛运动物体所受阻力与重力方向相同；而对于竖直下抛运动物体所受阻力与重力方向相反.因此在由牛顿第二定律和动量定理列方程时要注意物理量的正负号.

【例2】将一质量为m的物体以初速度v0竖直向上抛出，已知物体在运动过程中所受空气阻力的大小与其运动速率成正比，比例系数为k.若物体能够上升的最大高度为H，则其上升过程所用的时间应为

解法1：与例1的解法相同，由牛顿第二定律列微分方程

由瞬态过程的结论得速度随时间变化的关系式

令v＝0，得时间为，题中没有该选项.

解法2：对上升过程由动量定理有

得时间为

所以选项B正确.

利用例1的结果可知物体上升的最大高度为

将此式变形为

可见该题两种解法所得结果是等价的，只是形式不同.

【例3】如图1所示，质量为m的小球在高度为h处自A点以水平速度v0抛出，在重力和空气阻力作用下，经一段时间后落在地面上B点，设到达B点时的速度为vt，其方向与水平方向成θ角，小球在运动中受到的空气阻力为f＝－kv，其中k为正常量，v为小球在运动中的速度，试求：

（1）落地时的速度vt的大小；

（2）水平位移x的大小；

（3）运动时间t的大小.

图1

解析：（1）把运动沿着水平方向和竖直方向进行分解，分别以初速度方向和竖直向下为正方向，由牛顿第二定律分别列微分方程为

将之化为标准形式为

则有

已知v0x＝v0，v0y＝0，由瞬态过程的结论可知速度随时间变化的关系式为

分运动速度变化的瞬态过程如图2所示.

图2

（2）对水平分运动由动量定理有

所以水平位移为

（3）对竖直分运动由动量定理有

可得运动时间为

所以

【例4】设质量为m的抛射体初速度为v0，抛射角为α，在空气中运动时，所受阻力与速率成正比，比例系数为k，即f＝kv.取平面直角坐标系xOy如图3所示，起抛点为坐标原点O，x轴沿水平方向，y轴垂直于地面向上.求

（1）速度变化规律；

（2）位移变化规律；

（3）运动轨迹方程；

（4）最高点坐标.

图3

解析：（1）速度求解方法与例3相同，水平速度随时间变化的关系式为

以竖直向上为正方向，由牛顿第二定律列微分方程为

化为标准形式为

则

已知v0y＝v0sinα，由瞬态过程的结论可知竖直分速度为

（2）对水平分运动由动量定理有

得水平位移为

对竖直分运动由动量定理有

得竖直位移为

（3）由水平位移关系式得

则

可得时间为

把上述关系式代入竖直位移关系式中得抛射体轨迹方程为

（4）上升到最大高度时，竖直分速度为零，由vy＝0，得

经历的时间为

对竖直分运动由动量定理有

所以最高点的纵坐标为

综上可见，在线性阻力作用下的抛体运动包括竖抛运动、平抛运动和斜抛运动，对于曲线运动需分解为直线运动.解题的关键是列出两种方程，即由牛顿第二定律列合外力与加速度关系的微分方程；由动量定理列冲量与动量变化关系的方程.由于线性阻尼抛体运动过程为瞬态过程，因此可利用瞬态过程的结论和线性力冲量的结论使问题化繁为简，避免了微积分运算，使解题思路和过程显得非常清晰、简捷.

1 阳喜元，蒋彬.有关大学物理微积分应用的若干问题.物理通报，2011（6）：16

2 周青春.考虑空气阻力时的上抛运动.物理通报，2002（6）：11

3 赵坚.一道高三统一测试题引发的思考与争议.物理通报，2004（10）：39～40

4 陆兴中.阻尼斜抛运动的物理规律分析.物理通报，2004（7）：7～8