一种曲线运动规律的研究

姜付锦

（武汉市黄陂一中 湖北 武汉 430030）

文献［1］从运动的微分动力学方程角度对小球2的轨道进行了分析：小球2会不断地离心、近心……并求出了小球2到圆心点的距离范围.文献［2，3］运用角动量守恒定律和机械能守恒定律求出了小球2运动过程中到圆心的距离范围，但他们都没有对轨道进行分析.笔者认为这个模型可等效成小球2的质量不变而速度变化，利用软件MathCAD对这它进行了如下分析，文中若有不当之处，请各位同仁批评指正.

1 建立模型

如图1所示 ，光滑水平面上O点有一小孔，不可伸长的轻质光滑细线穿过该孔，两端系上质量分别为m1和m2的小球.小球2始终限制在水平面内运动，小球1始终限制在竖直方向运动，试分析两小球的运动规律.

图1

1.1 小球2离圆心O的最大距离和最小距离

若小球1的重力恰好可以提供小球2的向心力，则小球2做匀速圆周运动.设此时小球2的速度为v0，半径为r0，则有

设小球2的初速度为

若n＞1，则小球2要做离心运动；若n＜1，则小球2要做近心运动.当小球2与圆心O点的距离有最值时，小球2只有垂直于线的速度（切向速度），沿线方向的速度（径向速度）为零.由于细绳长度不变，小球1的速度与小球2的径向速度相等，故此时小球1的速度为零.由于小球2受到的合外力为细线的拉力，拉力是有心力，故小球2的角动量守恒.设此时小球2的速度为v，到圆心的距离为r，则有

若把两个小球组成一个系统，由于只有小球1的重力做功，故系统的机械能守恒，设细线的长度为l，取水平面为零势能面，则有

联立式（1）～ （4），得

此方程的解为

将r3＜0舍去，式中

当n＞1时，f（n）＞1，小球2到圆心的最近距离为r0，最远距离为

当n＜1时，f（n）＜1，小球2到圆心距离的最近距离为

最远距离为r0.若则小球2到是圆心的最远距离为

最近距离为r0.

图2

1.2 对小球2轨道的分析

图3

建立如图3所示的柱坐标系（ρ，φ，z），小球1所受内力、外力沿z方向，初始静止，运动只能在z轴上.两小球组成的系统受如下外力作用：重力m1g和m2g、水平面对小球2的支持力均平行于z轴，则有M（e）＝0，故小球2的角动量守恒

m2g和支持力不做功，内力为线的张力，m1g为保守力，故系统机械能守恒

依线不可伸长条件

联立式（5）～ （7）得

与平方反比中心力场不同的是，上述方程一般情况下不可解.但可通过图4分析解的特征.可等价为质量m＝m1＋m2的小球在如下势场中的一维运动

图4

当E0＝E0C时，与势能曲线只有一个交点ρ＝ρ0.小球“静止”对应实际运动为小球2以半径ρ0做匀速圆周运动，小球1静止.

当E0＞E0C时，与势能曲线有两个交点ρ1，ρ2，小球1“在ρ1和ρ2之间往复运动”.对应实际运动为小球2做复杂的轨道运动，如图5所示（可能闭合也可能不闭合），轨道极径在ρ1和ρ2之间；小球1沿竖直方向做往复运动，z轴坐标在ρ1～l0和ρ2～l0之间.

图5

2 用MathCAD进行数值模拟

2.1 建立模型

如图6所示，以水平面上的小孔O为原点，建立平面直角坐标系xOy.在某一时刻小球2的位置坐标为P（x，y），小球2受到的合力为绳子的拉力，动力微分方程如下

式中

图6

图7

小球1受力如图7，动力学微分方程如下

由于小球2在运动过程中细绳的长度不变，所以有

设两球质量相等，则有

2.2 数值模拟

为了研究的方便，设两个物体的质量m＝1kg，小球2到圆心的距离为10m，重力加速度g＝10m／s2.小球2的初速度为得到以下图像［3］.

图8

图9

图10

图11

2.3 图形分析

图8是小球2的运动轨迹；图9是系统的机械能与时间的关系，机械能总量为E＝100J；图10是小球2到圆心距离与时间关系，小球2与圆心的最近距离为10m，最远距离为16.177m；图11是小球2的角动量与时间关系，小球2的角动量守恒

在理论上，两小球的总机械能为

小球2的角动量为

小球2到圆心的最远距离为

即最远距离为16.18m，通过对比可以发现MathCAD数值模拟与理论分析相同.

3 结语

通过以上3种方法的分析，不难发现两个小球的运动规律与小球1的初速度有密切关系.当v＝v0时，小球1做匀速圆周运动，小球2不动；当v＞v0或v＜v0时，小球1限制在r1和r2之间范围内运动，小球2在竖直方向上往复运动.

1 魏永政，於恒永.圆周运动过程中向心力的变化.中学物理，2011（1）：42～43

2 王文涛，龙玉梅.对“圆周运动过程中向心力的变化”一文的再研究.中学物理，2013（1）：71

3 周柏衍.理论力学教程2版.北京：高等教育出版社，1986.99～100

4 姜付锦，朱木清.MathCAD在物理研究中的应用http：／／www.pep.com.cn／gzwl／jszx／ztts／2011hybd／2z／201202／t20120223＿1102974.htm