函数最小值的物理方法求解

魏喜武

（宣城中学 安徽 宣城 24200）

一般大家都认为数学是解决物理问题的工具，解决物理问题离不开数学，其实也不尽然，有时物理也可以解决数学问题，而且解决得简单明了.因为自然界本身就是一个“精算师”，它的运动与变化，都似乎经过精确的计算，采用了最低的成本.下面我们就用物理方法求几个函数的最小值.

数学方法：

解得

由此可得函数y的最小值

物理方法：如图1所示，有两个定值电阻R1和R2串联在电压为U的电路上.设R1两端的电压为U1，电路中的电能损失为Q，可得

当有电流流过两个串联导体时，会遵循电压分配定律.根据电压分配定律分配电压，恰恰是电能在电路中损失得最少.

由串联电路中的电压分配定律，可得

解得

由此可得

数学方法：

解得

由此可得函数y的最小值

物理方法：如图2所示在空间有两个相距为2l，带异种电荷，电荷量都为q的点电荷.

图2

连接两个电荷，在两个电荷连线上距正电荷的距离为x处的电场强度是

从图2可知，两个电荷连线的中点O，电场线最疏，电场强度最小.设O点的电场强度为EO

显然EO就是函数Ex的最小值，即

【例3】如图3所示，一个物体在MN上方的运动速度在MN下方的运动速度.从距MN的距离h1＝3m的A点出发，到达距MN的距离h2＝4m的B点结束.已知MN的距离l＝7m，求物体从A点运动到B点耗时最短所经历的路径.

图3

数学方法：如图3所示，物体从A运动到B，必经折线AOB，其所需要的运动时间为

上式要直接解出x的值，有所难度，但根据直角三角形的3个边满足“3，4，5”的关系，很容易看出，当x＝4时，等式成立.当x＝4时

物理方法：光的传播好像有“神灵指路”，它总会沿耗时最少的路径传播.要耗时最少，就必须要满足光的折射定律，即

显然，物体从A运动到B，要耗时最少，也必须要满足光的折射定律，从图3可以看出

由光的折射定律得

解得x＝4，同样可求出物体从A运动到B的最短时间

以上例举了3个函数最小值的数学方法与物理方法求解，从数学角度看，要求出这些函数的最小值，还要确定它确实存在最小值，即要确定函数的二阶导数大于零；但从物理角度看，以上3个函数只存在一个最小值.从某种意义上讲，只要这个函数的建立来自自然的真实情景，并存在一个最小值，我们就可以用物理方法求出这个最小值.

本文的例题所涉及的函数形式和运算都不太复杂，便于学生接受这其中所传达的真谛.有些数学问题可以用物理方法来解决，使学生能接受这一点，并能从更高的境界去认识和理解.