雨滴下落过程中的运动图像究竟如何

顾俊琪

（盐城市教育科学研究院 江苏 盐城 224002）

在盐城市2013年高三调研考试中，有这样一道题.

题目：已知雨滴在空中运动时所受的空气阻力为f＝kr2v2，其中k为比例系数，r为雨滴半径，v为其运动速率.t＝0时，雨滴由静止开始下落，加速度用a表示.落地前雨滴已做匀速运动，速率为v0.下列图像中正确的是

图1

命题教师给出的参考答案是A，B，C.在评讲这道题时，有学生对A，B答案产生疑问.本文拟对这个问题从两种不同情况展开讨论.

1 雨滴受到的空气阻力与下落速率成正比

假设雨滴的质量为m，下落过程中t时刻的速率为v，如果雨滴受到的空气阻力与下落的速率成正比，即f＝kv（k为常量），根据牛顿第二定律可写出动力学方程为

常量C应由初始条件决定.因t＝0时，v＝0，故C＝mg.于是

进一步求得雨滴在t时刻的a满足

同样得到

如果假设

则雨滴速度v与时间t的函数关系式为

加速度a与时间t的函数式为

根据这两个关系式可以在几何画板中画出雨滴下落的v－t和a－t图像分别如图2（a）和图2（b）所示.

图2

这两个图像与原题中的B与A是吻合的，但是上述讨论过程中所设定的条件与原题中给出的条件是明显不同的.

2 雨滴受到的空气阻力与下落速率的平方成正比

如果雨滴受到的空气阻力与下落速率的平方成正比，仍可用上述方法求解其速度v，加速度a与时间t的关系，由于求解过程非常烦琐，现直接使用结果 画出相应的图像.假设m＝0.1×1 0－3k g，k′＝2.5×10－6N·s2／m2，根据所得的关系式可以在几何画板中画出该情况下雨滴下落的v－t和a－t图像分别如图3（a）和图3（b）所示.

图3（a）与原题中的B相比，形状接近，如果只是定性描述，可以忽略其差异.图3（b）与原题中的A相比，有很大区别，不能混淆.现在用另一方法对图3（b）的物理意义做进一步分析.

图3

雨滴受到的空气阻力与下落速率平方成正比，即f＝k′v2（k′为常量），根据牛顿第二定律可写出相应的动力学方程为

对式（4）两边求导，得

亦即

由式（5）也可以知道，当v与a乘积最大时，该点切线斜率的值最大，过该点的切线最陡.可以通过数学方法进一步求得v与a乘积最大时的条件.

用f（v）表示a－t图像切线斜率随速率变化的函数，把式（4）得到的加速度表达式代入式（5）得

对函数f（v）求一阶导数，并令f′（v）＝0得

即

由式（5）还可以知道，当雨滴下落速率达到最大时，其加速度为零，a－t图像上过该点的切线斜率为零.此时

所以

3 小结

事实上，雨滴在空气中下落的情况是非常复杂的.如果雨滴刚下落的高度比较高，则运动过程中重力加速度是不会保持不变的.雨滴的质量也要随着高度的降低而变化，有的要吸附其他的小雨滴而变大，有的要因为汽化而减小.雨滴受到的空气阻力也不是一成不变的，速率小时可看成与速率成正比，速率大时则与速率平方成正比.正因为如此，本文讨论的两种情况是从实际情景中抽象出的理想化模型.