基于有限元法的滚珠丝杠动态特性研究*

谢黎明，闫 冰，靳 岚

(兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050)



基于有限元法的滚珠丝杠动态特性研究*

谢黎明，闫 冰，靳 岚

(兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050)

以立式铣车复合加工中心双驱滚珠丝杠为研究对象，建立了丝杠的有限元模型，以弹性支承约束近似模拟轴承组对丝杠的支承，考虑了轴承结合部对丝杠动态特性的影响。在此基础上，运用有限元法对滚珠丝杠进行了计算模态分析和正弦载荷激励下的谐响应分析。分析结果表明：丝杠的最大转速明显低于其一阶临界转速，故丝杠在有效转速范围内不会发生共振；丝杠在频率约为55Hz时的谐响应振幅最大。所以在实际工况中，应尽量避免此频率下的动载荷，以免引起机床较大的振动，进而影响工件的加工质量。

滚珠丝杠；有限元法；动态特性

0 引言

滚珠丝杠是数控机床进给系统的主要传动部件，直接影响到进给系统的工作性能及整机的可靠性[1]。随着机床进给速度的不断提高，对滚珠丝杠进给系统的动态性能提出了更高的要求。在大型数控机床中，由于工作台行程较长，丝杠也相应变长，导致进给系统的刚度和抗振性能下降，特别是在强力切削过程中振动比较严重，一方面影响机床的加工精度和加工表面质量，另一方面容易造成刀具的快速磨损和损坏[2]。因此，深入研究滚珠丝杠的动态特性对于提高数控机床进给系统的工作性能具有重要意义。

目前，傅中裕[3]、宁怀明[4]等对丝杠只进行了模态分析，同时边界条件仅定义为约束两端X、Y、Z三个方向的平移自由度，未考虑轴承结合部对丝杠动态特性的影响；侯秉铎[5]使用有限元法仅对丝杠受到轴向正弦力载荷时系统的谐响应进行了分析，未对丝杠进行模态分析，没有验证丝杠在实际工况中是否会发生共振等问题。

本文以动梁无滑枕立式铣车复合加工中心(如图1所示)为研究对象，对其双驱滚珠丝杠的动态特性进行了分析，主要研究了丝杠的计算模态和正弦载荷激励下的动态响应，确定了丝杠的固有频率、振型及谐响应特性，对于进一步提高高速加工中心的工作性能具有十分重要的意义。同时也为后续研究双驱系统刚柔耦合动力学分析奠定了基础。

图1 动梁无滑枕立式铣车复合加工中心

1 有限元模型的建立

1.1 实体建模

运用SolidWorks建立丝杠的三维实体模型。同时，考虑到减小工作的计算量，故在对模型精度影响不大的前提下对模型进行适当简化，去除了模型上的螺纹、键槽、倒角、螺栓孔等一些细节特征。在ANSYS Workbench中建立的简化模型如图2所示。

图2 丝杠的简化模型

1.2 材料特性

本文中研究的滚珠丝杠公称直径为63mm，公称导程为12mm，螺杆最大工作长度为1600mm。丝杠材料选用GCr15SiMn(滚动轴承钢)，采用感应加热表面淬火处理，故可以通过查表得到所需要的各种材料属性参数。具体的参数值如表1所示。

表1 材料常见的属性值

1.3 单元类型

ANSYS Workbench具有自动选择单元类型的功能。通过查看Solution Output文件，单元类型采用了Solid187单元。Solid187单元是一个高阶3维10节点四面体固体结构单元，具有二次位移模式，可以更好地模拟不规则的模型。单元通过10个节点来定义，每个节点上有X、Y、Z三个方向平移的自由度。单元支持塑性，超弹性，蠕变，应力刚化，大变形和大应变能力[6]。

1.4 网格划分

网格划分是有限元分析很重要的环节，网格的质量直接影响分析结果的精确程度。划分网格时要注意网格的密度，不能太密，否则会导致计算量迅速增加，严重的可能会导致计算不能进行；同时网格密度也不能太稀疏，否则得不到比较精确的求解[7]。本文采用自由网格划分，设置划分单元尺寸为7mm。最终确定网格划分单元数目为199807个，节点为290357个。最后，用单元畸变度检查网格划分的质量。划分好的网格模型如图3所示。

图3 划分好的网格模型

1.5 边界条件

本文将两端轴承组对丝杠的支承简化为弹性支承，忽略其角刚度和轴向刚度，只考虑径向刚度。在ANSYS Workbench中可以方便地施加弹性支承。故需要计算轴承的径向刚度。

滚珠丝杠两端均选用BSB040090-T(FAG)(40×90×20)推力角接触球轴承。该轴承的径向刚度可近似按机床滚动轴承应用手册[8]的如下公式进行计算：

(1)

式中，Db为滚动体直径；Fa0为轴向预紧力；z为滚动体数目；α为接触角。

选用轴承的相关参数如下：接触角为60°，滚动体直径为11.509mm，轴向预紧力为25120N，滚动体数目为15个。根据公式(1)计算可得单列轴承的径向刚度值为：kr=186.97(N/μm)。

丝杠两端轴承组的支承用弹性约束来模拟，由于两端均用4个推力角接触球轴承并列支承，故两端轴承组的径向刚度为：

Kr1=Kr2=4×kr=747.88(N/μm)。施加弹性支承约束时，注意应将轴承的径向刚度值(N/μm)转化为相应的Foundation Stiffness值(N/mm3)。两端轴承均采用固定支承方式，故再需约束其UX方向(即轴向)的平移自由度。添加约束后的有限元模型如图4所示。

图4 约束后的有限元模型

2 计算模态分析

2.1 模态分析理论

模态分析是动力学分析中的基础内容，可用于确定设计结构或机器部件的振动特性，即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其他动力学分析问题的起点。

模态分析的经典定义是将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

对于模态分析，振动频率ωi和模态φi是由下面的方程计算求出的：

(2)

这里假设刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]是定值，这就要求材料是线弹性的、使用小位移理论(不包括非线性)、无阻尼([C])、无激振力([F])[9]。

2.2 模态计算结果分析

本文通过计算模态分析得出丝杠的固有频率和振型，它是谐响应分析的基础，同时也为后续研究双驱系统的刚柔耦合动力学分析奠定了基础。丝杠结构的实际振动形态并不是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。但是实际上并非各阶模态对响应的贡献度都是相同的。对低频响应来说，高阶模态的影响较小。对实际结构而言，一般前5～10阶的贡献度比较大，越高阶的模态贡献度越小。这样尽管会造成一点误差，但频响函数的矩阵阶数会大大减小，使工作量大为减小。

经ANSYS Workbench分析后，只提取前6阶模态，各阶固有频率和对应振型如表2所示。丝杠的前6阶振型图如图5所示。

表2 丝杠前6阶模态的固有频率和振型

由以上计算模态分析结果可知：

(1)第1阶固有频率近似为0Hz，视为刚体模态，可直接忽略；

(2)第2阶和第3阶固有频率值非常接近，振型近似正交，因为模型结构和约束比较对称，产生两个大小相近的固有频率，在数学上即为系统矩阵有两个大小相近的特征值，它们对应的振型在空间上相差一个位置角度。同理，第4阶和第5阶情况也是如此。

(3)根据转速和频率之间的关系：

n=60f

(3)

式中，n为转速，f为频率。由(3)式可计算丝杠在各阶固有频率下的临界转速，如表3所示。

表3 丝杠在各阶固有频率下的临界转速

由表3可知，第2阶固有频率对应的临界转速为3409r/min，即丝杠的一阶临界转速。而丝杠的最大转速为3000r/min，该转速明显低于丝杠的一阶临界转速。所以滚珠丝杠在有效转速范围内不会发生共振。

(4)模态分析是动力学分析的基础。通过模态分析可求得后续研究双驱系统刚柔耦合动力学分析时一个很重要的求解控制参数，即时间步长。在通常情况下，初始时间步长可采用如下方程确定：

(4)

式中，Δtinitial为初始时间步长，fresponse为所关心的最高阶模态响应频率。

这里选取fresponse=254.64Hz，则据式(4)可求得初始时间步长为Δtinitial=2×10-4s。

(a)第1阶振型

(b)第2阶振型

(c)第3阶振型

(d)第4阶振型

(e)第5阶振型

(f)第6阶振型图5 丝杠前6阶振型图

3 谐响应分析

丝杠的模态分析结果只反映了进给系统本身的属性，要得到系统实际工作状况时的动态响应，还需要在模态分析的基础上进一步做谐响应分析。

3.1 谐响应分析理论

谐响应分析是用于确定线性结构在承受一个或多个随时间按正弦(简谐)规律变化的载荷时稳态响应的一种技术。分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值(通常是位移)对频率的曲线。从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步考查频率对应的应力。

对于谐响应分析，其运动方程为：

(-ω2[M]+iω[C]+[K])({φ1}+i{φ2}) =({F1}+i{F2})

(5)

这里假设刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]是定值，要求材料是线弹性的、使用小位移理论(不包括非线性)、阻尼为[C]、激振力(简谐载荷)为[F][9]。

3.2 谐响应计算结果分析

丝杠的谐响应分析是研究其动态特性的重要手段，可得到在激振力下的振幅及动力响应与系统振动频率的关系曲线，从而可验证丝杠能否避免共振等不利因素带来的影响[10]。本文采用ANSYS Workbench软件中的谐响应模块对丝杠进行谐响应分析，图6是在丝杠轴向(即X向)施加幅值100N正弦载荷时的谐响应曲线。由图6可以看出，滚珠丝杠在频率约为55Hz时的谐响应振幅最大，此时动柔度为5.89×10-9mm/N，对应于丝杠的第2阶和第3阶模态，因为这两阶模态的振型都表现为丝杠的径向振动。所以在实际工况中，应尽量避免此频率下的动载荷，以免引起机床较大的振动，进而影响工件的加工质量。

图6 丝杠的谐响应曲线

4 结束语

(1)本文通过合理简化建立了丝杠的有限元模型。其中以弹性支承约束近似模拟轴承组对丝杠的支承，基础刚度用轴承的径向刚度来表示，考虑了轴承结合部对丝杠动态特性的影响。通过丝杠的计算模态分析，得到其固有频率和振动特性。分析结果表明，丝杠的最大转速明显低于其一阶临界转速，故丝杠在有效转速范围内不会发生共振。同时，求得了双驱系统刚柔耦合动力学分析时的初始时间步长值，为后续的研究提供了可靠依据。

(2)通过对丝杠进行正弦载荷激励下的谐响应分析，得到了丝杠在实际工况中的动态响应。分析结果表明，丝杠在频率约为55Hz时的谐响应振幅最大。所以在实际工况中，应尽量避免此频率下的动载荷，以免引起机床较大的振动，进而影响工件的加工质量。这为提高工件的加工精度以及加工中心的合理使用提供了一定的理论依据。

[1] 孟勃敏，吕玉清，任工昌. 滚珠丝杠副抗共振可靠性的有限元分析[J]. 组合机床与自动化加工技术. 2011(2): 10-12.

[2]安琦瑜，冯平法，郁鼎文. 基于FEM的滚珠丝杠进给系统动态性能分析[J]. 制造技术与机床. 2005(10): 85-88.

[3]傅中裕，杨晓京. ANSYS的丝杠模态分析[J]. 机械制造与自动化. 2004(6): 37-39.

[4]李方方，贾平，宁怀明. 基于ANSYS的某型号丝杠的模态分析[J]. 机械设计与制造. 2010(11): 61-62.

[5]侯秉铎，许瑛，彭浪草，等. 超精密滚珠丝杠进给系统谐响应的有限元分析[J]. 组合机床与自动化加工技术. 2011(6): 20-22.

[6]Moaveni Saeed. 有限元分析—ANSYS理论与应用[2版][M]. 北京市: 电子工业出版社, 2005.

[7]宁怀明，王彦红. THK滚珠丝杠基于ANSYS的动态分析[J]. 煤炭技术. 2010(7): 18-19.

[8]戴曙. 机床滚动轴承应用手册[M]. 北京市: 机械工业出版社, 1993.

[9]凌桂龙，丁金滨，温正. ANSYS WorkBench 13.0从入门到精通[M]. 北京市: 清华大学出版社, 2012.

[10]杜钟魁，李兴山，王军. TX1600镗铣加工中心横梁的动态特性分析[J]. 沈阳理工大学学报. 2010(4): 1-4.

(编辑 李秀敏)

Study on Dynamic Characteristic of Ball Screw Based on Finite Element Method

XIE Li-ming，YAN Bing，JIN Lan

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Taking a synchronous dual ball screw of vertical mill-turning centers as the research object, this article builds the finite element model of screw and simulates bearings' support in elastic support. This is taken into account the effects on dynamic characteristics of screw bearing area. Then the modal analysis and harmonic response analysis under the sinusoidal loading to ball screw are done by the finite element method. The results show that the screw's maximum speed is lower than its first-order critical speed obviously. So it can avoid the happening of resonance under the screw's efficient speed range. And the amplitude of harmonic response is the biggest when the screw's frequency is 55Hz. So the dynamic load causing the machine's more obvious vibration under this frequency should be avoided as far as possible in actual working conditions.

ball screw; FEM; dynamic characteristic

1001-2265(2014)01-0010-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.003

2013-05-03

“高档数控机床与基础制造装备”国家科技重大专项(2010ZX04001-032)

谢黎明 (1962—)，男，安徽黄山人，兰州理工大学机电工程学院教授，主要从事先进造技术及数字化网络制造等方面的研究，(E-mail)rommel1068@163.com；通讯作者：闫冰(1987—)，男，河北石家庄人，兰州理工大学硕士研究生，(E-mail)715758785@qq.com。

TH16;TG65

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