基于灰色-马尔科夫理论的加工误差预测*

邹连龙，丛 明，何一冉

(大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连 116024)



基于灰色-马尔科夫理论的加工误差预测*

邹连龙，丛 明，何一冉

(大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连 116024)

为了预测加工误差，采用灰色系统理论GM(1,1)模型对高速加工中心连续钻削并铰孔的12个mm孔的相对误差进行了建模，求解得到时间响应序列模型及灰色预测值；采用马尔科夫概率转移矩阵对灰色系统理论的预测结果进行状态划分并修正，并建立预测结果的对比曲线图；采用方差比与小概率误差对预测精度进行检验。结果证明，采用灰色系统理论与马尔科夫概率矩阵修正方法相结合，对加工误差进行预测是可行的，为相关误差补偿技术的研究奠定了良好的基础。

误差预测；灰色系统理论；马尔科夫；概率转移矩阵；

0 引言

加工误差会降低工件的精度，影响工件的使用性能，过大的误差甚至会导致工件报废[1]，所以加工精度是保证工件性能的重要因素。对加工误差进行预测在提高机床加工精度，降低生产成本方面可以起到关键的作用。现有的误差预测方法主要集中在对机床部件误差的离线分析、刀齿轨迹分析、对加工过程进行仿真分析及预测等，并不能充分考虑加工过程中的外部影响因素，如环境温度变化、机床振动、甚至机床摆放位置的影响等。实际上，影响加工误差的因素有很多，包括已知因素与未知因素，因此可以将其视为灰色系统，可以采用灰色系统理论对误差的未来发展趋势进行预测。

灰色系统理论是由我国学者邓聚龙于1982年创立的。它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成和开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为的正确认识和有效控制[2-4]。GM(1,1)模型是灰色系统理论的基本模型，根据此模型可准确预知信息的变化趋势，但针对振幅较大的随机数据的预测并不准确。马尔科夫预测方法是根据系统状态之间的转移概率来预测系统的未来发展[5]，是以随机变化的数据序列为基础，对序列的变化进行修正预测。

本文将灰色系统理论与马尔科夫(Markov)理论相结合，采用灰色系统理论的GM(1,1)模型对加工中心连续加工的φ12mm孔x轴向误差值进行建模，对后续数值进行预测并还原原始序列值，将预测值与真实值相比较，得出预测误差，并运用马尔科夫概率转移矩阵对误差分布规律进行预测，从而修正由灰色系统理论得出的预测结果，通过精度检验证明该模型可靠，可以进行加工误差预测。

1 加工误差数据的采集及灰色预测

1.1 加工误差数据的采集

本文采用某机床厂的高速四轴加工中心对铝合金材料进行连续钻削并铰孔，孔径均为12mm，采用三坐标测量仪测量各个孔的x轴向误差值。共连续加工16个孔，取前12个孔的x轴向误差值为原始数据，如表1所示。对其余四个孔的x轴向误差值进行预测。

表1 原始数据的测量误差值

为避免不同参数对不同孔的加工误差的影响，应使每个孔的加工误差影响因子大体相同，因此在加工过程中，各个孔应保持各项参数一致，如进给量、切削速度、切削时间等，并在过程中无换刀动作。在测量时，同样为避免不同的测量参考点对孔精度的影响，要以同一个销孔作为测量的坐标原点。

1.2 加工误差的灰色GM(1,1)建模及预测

灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在的规律[2]。灰色GM(1,1)模型通过对原始数据进行累加(或累减)处理，将信息变化规律白化，可以更清楚地看到信息变化的情况，进而对信息变化进行预测。

加工误差的灰色预测建模过程如下：

x(0)为原始非负序列为：

x(0)=[0.0036,0.0056,0.0078,0.0070,0.0025,0.0074, 0.0023,0.0090,0.0091,0.0026, 0.0017,0.0108]

对x(0)进行一阶累加处理，得到x(1)为：

x(1)=[0.0036,0.0092,0.0170,0.0240,0.0265,0.0339, 0.0362,0.0452,0.0543,0.0569,0.0586,0.0694]

对x(1)建立白化方程，即GM(1,1)模型：

(1)

(2)

求解得到时间响应序列为：

(3)

其中，k=1,2…,n。

对其做累减处理后，得其预测模型为：

(4)

其中，k=1,2,…，n。

一次残差序列w(i)与相对误差序s(i)列分别为：

(5)

(6)

其中，i=1，2，…，n。

灰色GM(1,1)预测结果如下表2所示。

表2 灰色GM(1,1)模型预测结果

灰色GM(1,1)模型实现了利用离散数据序列建立连续动态微分方程模型的过程，通过模型可看出数据的变化趋势，并对下一部分数据值进行预测。该模型对单调递增、单调递减序列的预测较为准确，但在对随机序列预测方面，尚存在欠缺。

2 马尔科夫理论对灰色预测值的修正

2.1 马尔科夫概率转移理论

由于灰色模型预测要求其累加生成序列具有指数性质，这样才能用微分方程拟合[6-7]，但在原始数列随机性较强、振幅较大的情况下，累加序列未必会有指数性质，故此时灰色预测数据误差较大。马尔科夫概率转移矩阵是随机动态系统的预测模型[8]，通过马尔科夫概率转移矩阵对灰色预测所产生的误差进行修正，可以提高灰色预测精度，满足预测要求。

根据马尔科夫理论，将数据序列分为若干状态[9]，以E1，E2，…En来表示，Pij(k)表示由状态Ei经过k步变为Ej的概率，即：

(7)

其中，nij(k)表示Ei状态经过k步变为Ej的次数；Ni表示Ei出现的总次数。

则k步转移概率矩阵为：

(8)

若初始状态Ei的初始向量为V(0)，则经过k步转移后，向量V(k)为：

V(k)=V(0)·R(k)

(9)

2.2 加工误差灰色预测结果的马尔科夫修正

根据灰色预测结果，将前12组数据的相对误差情况依次分为编号为1～6的六个状态区间：[-0.759,-0.4)，[-0.4,-0.2)，[-0.2,0)，[0,0.2)，[0.2,0.4)，[0.4,0.73)。相对误差所在的状态区间如表3所示。

表3 预测误差概率状态划分

依据马尔科夫预测方法，取7步概率转移矩阵，其中：

同理可得其余步数的转移矩阵R(k)其中k=2，3，…，7。

取预测序列的最后7组预测值，根据以上7步概率转移矩阵，预测第13组数据的误差概率转移过程如表4所示。

表4 马尔科夫预测概率转移过程

根据式(9)对其他3组预测数据进行马尔科夫修正，并对其他还原值进行相应步数的马尔科夫修正，得到新的修正值及误差如表5所示。

表5 马尔科夫理论修正的预测结果

由马尔科夫概率转移矩阵方法修正原始灰色预测值后，将原始值与灰色预测值、马尔科夫修正值拟合成同一坐标系内的曲线，如图1所示。

图1 原始值与灰色预测值、马尔科夫修正值拟合曲线图

由图中可见，真实值波动较大，采用灰色系统理论得出的预测值较平滑，近似于一条平滑直线，反映了真实值的缓慢上升的变化趋势，这也符合实际的加工情况，由刀具磨损带来的误差会随着加工次数的增多而加大，但加工误差的灰色预测值较原始值偏差较大。由马尔科夫概率转移矩阵方法修正后的预测值波动趋势与原始值相似，预测较为准确，得到修正后的预测结果较原预测值在精度上有了很大的提高。

2.3 预测精度检验

以后验指标均方差比c与小误差概率P来检验预测精度[10]。原始序列x(0)及一次残差序列w'(i)的标准差S1和S2分别为：

均方差比与小误差概率分别为：

c=S2/S1=0.2374

由c<0.35，P>0.95可知，精度等级为1级，该模型可靠，所以对加工误差的预测可以根据灰色-马尔科夫理论进行预测。

3 结束语

本文采用灰色GM(1,1)模型对加工中心连续钻削并铰孔的16个φ12孔x轴向误差的大小进行了建模与预测，并用马尔科夫概率转移矩阵方法对灰色预测值进行了修正，使精度有所提高。精度检验结果表明，采用灰色-马尔科夫理论方法对加工误差进行预测是可行的，效果理想。通过对加工误差的预测，可预知加工误差的大小，提前采取相应的误差补偿措施，提高加工精度。

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(编辑 李秀敏)

Machining Error Prediction Based on Grey-Markov Theory

ZOU Lian-long, CONG Ming, HE Yi-ran

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116023, China)

In order to predict machining error, the model of relative error of 12 holes, which were drilled and reamed with machining center and the diameter of each one is 12, was made with the GM (1, 1) model of grey system theory and the time response sequence of the model and grey prediction results were achieved. Using Markov probability transfer matrix, the classification of grey prediction results were stated and modified and the graph of comparison of prediction results was established. The accuracy was tested based on the variance ratio and small error probability. The results prove that the combination of the grey theory and Markov probability matrix correction method is feasible to the machining error prediction, laid a good foundation for error compensation.

error prediction; grey system theory; markov; transfer matrix;

1001-2265(2014)01-0014-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.004

2013-04-01

国家“高档数控机床与基础制造设备”科技重大专项课题(2011ZX04015-021)

邹连龙(1988—)，男，长春人，大连理工大学硕士研究生，主要研究方向为高速切削与精密加工技术， (E-mail)zll114@hotmail.com。

TH161; TG65

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