6-PUS虚拟轴机床的运动学正解研究*

胡晓雄，贾育秦，贾振元，张为民

(1.太原科技大学 机械工程学院，太原 030024;2.大连理工大学 机械工程与材料能源学部，辽宁 大连 116024；3.同济大学 机械与能源工程学院，上海 201804)



6-PUS虚拟轴机床的运动学正解研究*

胡晓雄1，贾育秦1，贾振元2，张为民3

(1.太原科技大学 机械工程学院，太原 030024;2.大连理工大学 机械工程与材料能源学部，辽宁 大连 116024；3.同济大学 机械与能源工程学院，上海 201804)

针对6-PUS虚拟轴机床运动学的问题，论文重点对其运动学的正解求解方法进行了分析与研究，并且对动平台的位置变量和姿态变量实施了解耦处理，通过姿态变量把位置变量表示出来，依据位置向量的转换关系、Cayley公式，获得了3个关于姿态变量的约束方程，对约束方程进行求解获得了姿态变量，从而获得位置变量，通过数值算例验证，表明了论文方法的有效性、可行性和正确性，为6-PUS虚拟轴机床的研究以及工程应用提供了重要的理论依据，具有工程应用价值。

虚拟轴机床;约束方程;解耦；运动学正解

0 引言

自从1965年Stewart[1]提出了Stewart平台以来，许多国内外学者对并联机构产生了浓厚的研究热情，现如今，基于Stewart平台，各种结构的空间并联机构相继问世，6-PUS虚拟轴机床就是其中一种并联机构，其主要组成部分为：连接动平台与机架的6个相同结构的驱动支链PUS(移动副-虎克铰-球副)、动平台以及机架，动平台位姿(位置和姿态)的改变是通过控制6个PUS驱动支链的移动副上下移动来实现的，与一般的6-SPS型Stewart平台不同之处为：6-PUS虚拟轴机床是固定杆长且其驱动装置都固定在机架上，使得可动构件的质量得到了减小，同时惯性也得到了减小，因此装置的动特性得到了相当大地改善；另外，其动连杆直径明显变小，对于杆之间的结构干涉，容易得到避免[2-3]。

当前，关于6-PUS虚拟轴机床的文献并不多，并且大都集中在该机构的工作空间分析、奇异性分析及逆运动学的求解3个问题上[4-6]，对于6-PUS虚拟轴机床及其类似机构的运动学正解的求解问题，只有少量文献提到过，且并没有实施具体的求解，段艳宾等[7]以带有约束分支的6-PUS/UPU并联机器人为对象，对其工作空间及运动学进行了分析与研究，佘建国等[8]以6-PRUU并联机构为对象，对其实施了运动学的分析与研究，张秀峰等[9-10]以6-PSS并联机构为对象，对其进行了运动学的分析与研究，上述文献中，对这3种6-PUS类似机构运动学正解的求解方法是相同的：首先，确立机构位置反解的方程，并对方程的2端进行求导，从而获得Jacobian矩阵，然后，给定一组正解(x,y,z,α,β,γ)的初值，依据初值来计算Jacobian矩阵，以Jacobian矩阵作为迭代矩阵，利用Newton-Raphson迭代的方法，对其进行求解。此方法每次仅可以求解得到一组正解。

6-PUS虚拟轴机床运动学正解研究，对于其误差补偿及工作空间的分析具有重要的现实意义，同时也是动力学分析、机构分析等的基础，其运动学正解能够应用于：①确定机床的工作空间;②选取合理的装配格式;③确定杆件干涉的位置，防止机床别死;④对动平台的奇异位型进行判断；⑤实时显示机床动平台的位置，以便机床运行过程中的监控；⑥当出现机床急停或者突然断电的情况下，对机床当前的位置进行记录，以便机床正常工作及以后继续工作，因此，对6-PUS虚拟轴机床运动学正解进行研究，为实现该机床在机械加工领域的广泛应用具有重要的实际意义。

本文对动平台的位置变量和姿态变量实施了解耦处理，通过姿态变量把位置变量表示出来，使用数值的方法，求解得到了姿态变量，从而获得位置变量，同时本文采用Mathematica7.0软件，对运动学正解给出了数值算例，并且得出了与4组解相应的机构装配模式。

1 6-PUS虚拟轴机床运动学数学建模

如图1所示是6-PUS虚拟轴机床，先确立并联机构的空间坐标系，从而确立该并联机构运动学的数学模型，6-PUS虚拟轴机床的并联机构简图与空间坐标系如图2所示，其中，动平台与支链相连接的6个铰链点为ai(i=1,2,...,6)，机架与支链相连接的6个铰链点为bi(i=1,2,...,6)，该并联机构回零时的状态如图2所示，这时bi(i=1,2,...,6)处于同一个平面内，并在该平面上建立OXYZ静坐标系，在该并联机构的动平台中心上建立PX′Y′Z′动坐标系。

图1 6-PUS虚拟轴机床简图

图2 6-PUS并联机构简图及坐标系

1.1 旋转矩阵的确立

在并联机构的运动学分析与研究过程中，对于动平台相对于静平台的姿态，通常采用旋转矩阵来表示，为了研究的方便，本文使用Rodriguez参数来表述旋转矩阵，U是Rodriguez向量C=(u,v,w)T产生的反对称矩阵，其中u、v、w被称之为Rodriguez参数，由Cayley公式可知，旋转矩阵可以表示为：

R=[I-U]-1[I+U]

(1)

其中，Ι-3×3单位矩阵。

于是，旋转矩阵的具体表达式为：

(2)

1.2 机构运动学数学建模

各矢量之间的几何关系如图2中所示，由此获得每根杆的矢量：

lei=P+R·ai-bi-zi，i=1,2,...,6

(3)

其中，P=(PX,PY,PZ)T-动平台中心点参考点位置矢量，bi-各驱动滑块零位置时，在静坐标系中的矢量，bi=(bx,i,by,i,0)T，l-杆长度，zi-杆i驱动量，zi=(0,0,-zi)T，zi即为所要求的反解，ai-动平台各顶点在动坐标系中的位置矢量，ai=(ax,i,ay,i,0)T，ei-沿连接驱动滑块与动平台连杆方向的单位矢量。

2 运动学逆解问题

对于6-PUS虚拟轴机床来讲，其运动学逆解问题即为已知R(姿态矩阵)及P(动平台参考点的位置矢量)，求出zi(6个移动副的驱动输入位移)。

由于ai与bi为确定的，因此，当P与R已知时，式(3)中的P+R·ai-bi为确定的，将式(3)P+R·ai-bi记为vai=(vaxi,vayi,vazi)T，则：

vai=P+R·ai-bi

lei=vai-zi

(4)

将式(4)等号两边同时点乘自身，则：

(5)

由于l为已知，并且是固定不变的，因此，对于运动学逆解问题，即为求解式(5)中的输入参数zi问题，由式(5)可知：

(6)

对式 (6)进行求解，可得：

(7)

通过式(7)可知，zi有2个根，对机构结构特征分析得知，机构动平台位置，只能位于驱动滑块的下方，即vazi+zi<0，因此，最终的运动学逆解表达式为：

(8)

3 运动学的正解问题

对于机构运动学的正解问题，其即为已知驱动输入zi，求解机构动平台的位姿(位置和姿态)，具体情况如下所示。

3.1zi相等时情况

对于6个输入参数zi，倘若都相等，表明机构动平台的姿态旋转矩阵R，是3阶单位矩阵，P(位置矢量)的前2个分量是零，由式(8)即可得第3个分量为：

l2=(P+R·ai-bi-zi)T(P+R·ai-bi-zi)

(9)

进而可得：

(10)

同理，由机构特征可知，Pz+zi<0，因此，式(10)取负号，综上可知，机构运动学的正解结果为：位置矢量是(0,0,Pz)T，姿态矩阵是3阶单位矩阵。

3.2zi不相等时的情况

通过式(9)可知，当驱动输入zi被给定时，机构动平台的位置与姿态存在着耦合关系，以至造成不易对正解进行求解。对机构动平台的位置变量及姿态变量，本文对其进行了解耦处理，通过姿态变量把位置变量表示出来，并求解出姿态变量，从而获得位置变量。

3.2.1 位姿变量解耦处理

为了表达简便，记Bi=bi+zi

(11)

于是式(9)可变换为：

l2=(P+R·ai-Bi)T(P+R·ai-Bi)

(12)

进而可得：

(13)

其中，W-P(位置变量)是在动坐标系中的表达。

对于整个并联机构，通过式(13)可得：

MX=Y

(14)

其中，M-系数矩阵，其每一行具体的表达形式是：

(15)

X-和位置有关系的变量，具体表达形式：

X=(PTP,PX,PY,PZ,WX,WY)T

(16)

Y-和姿态有关系的变量，是一个6维向量，每个元素具体的表达形式：

(17)

当该并联机构位于非奇异的位姿时，通过式(14)求得X：X=M-1Y

(18)

于是，利用姿态变量就可以把位置变量表示出来。

3.2.2 姿态变量的约束方程

位置变量在动坐标中的表达是W，在静坐标系中的表达是P，W和P之间的关系如下：

P=RW

(19)

把式(1)代入到式(19)，则：

P=[I-U]-1[I+U]W

(20)

于是：[I+U]W-[I-U]P=0

(21)

式(21)中的3个方程具体表达式：

(22)

利用第3个方程消去WZ，于是可得2个方程：

(23)

(24)

PTP、P和W的各个分量，都已经表达为姿态变量的形式，因此对式(23)和式子(24)这3个方程，其都是关于姿态变量u、v、w的约束方程，所以和位置变量没有关系。

3.2.3 约束方程的求解

对于式子(23)和式子(24)的3个方程，其都是3元4次方程，不易于使用解析法实施求解，因此，本文凭借数值计算的软件，利用数值的方法实施求解，在此使用Mathematica7.0软件中的Nsolve函数，对式子(23)和式子(24)进行求解，获得了在实数范围内，关于姿态变量的所有解的近似结果，以此来设定初始值，使用Newton-Raphson迭代的方法，对姿态变量(u,v,w)进行求解；把已经求得的u、v、w代入到式子(22)中，即获得P(位置矢量)的各个分量，于是，6-PUS虚拟轴机床的运动学的正解就全都完成了。

4 数值算例

以基于6-PUS并联机构的虚拟轴机床为例，以验证本文方法的有效性、可行性以及正确性，6-PUS虚拟轴机床各杆长l是223mm，Z坐标的分量均是0，表1所示的是平台的顶点坐标。

表1 动静平台的顶点坐标(mm)

给定的初始位姿的条件是：(PX,PY,PZ,u,v,w)=(0,10,-300,0.254,0.381,0.635001)，依据该初始的条件，即可获得运动学的反解：z1=70.9381mm，z2=88.0841mm，z3=67.4533mm，z4=166.315mm，z5=141.668mm，z6=157.653mm。

依据以上求解获得的反解结果，以此来验证本文方法的有效性、可行性以及正确性。对运动学的正解使用本文的方法进行计算，如表2所示，在实数的范围内，其总共具有4组解，通过验证可知，这4组解均符合初始条件，但是唯有后2组解拥有实际的意义，其原因是对于第1、2组解，其显然动平台位于驱动滑块的上方，这种情况在实际的应用中是不可能存在的，如图3所示是这4组解所对应的机构装配模式图。

表2 运动学正解的计算结果

同时使用当前常用的3种计算运动学正解的算法：牛顿迭代算法、路径跟踪算法以及差分进化算法来进行运动学正解运算，其求得的有效正解数值结果如表3所示。

表3 使用3种算法获得的运动学正解结果

通过对表2与表2分析可知，本文所提出的方法在进行运动学正解运算时能够获得较高的精度，可以更好地应用于实际生产当中，从而验证了本文方法的有效性、可行性以及正确性，具有重要的工程应用价值。

(a) 第1组解 (b) 第2组解

(c) 第3组解 (d) 第4组解

图3 4组解相应的机构装配模式

5 结论

6-PUS虚拟轴机床是一种6自由度的并联机构，拥有非常大的使用价值，针对该机构运动学的求解问题，本文对其进行了系统地分析与研究，并且对于运动学的反解，本文给出其解析的形式，但是由于结构特征决定了其运动学的正解异常的复杂，因此，利用解析的方法实施研究是非常困难的，当各个驱动的参数相等时，运动学的正解相对简单且可以获得解析解，当各个驱动的参数不相等时，对动平台的位置变量和姿态变量实施解耦处理，通过姿态变量把位置变量表示出来，依据位置向量的转换关系、Cayley公式，获得了3个关于姿态变量的约束方程，对约束方程进行求解获得了姿态变量，从而获得位置变量，同时本文给出了数值算例，在算例中，首先确定了一组驱动输入zi(i=1,2,...,6)，使用本文的方法，即可获得相应的该虚拟轴机床动平台位置的全部解，驱动输入不相同，位置变量和姿态变量的耦合程度也将不相同，正解的数目也就不相同，通过算例的验证，表明了本文方法的有效性、可行性以及正确性，为6-PUS虚拟轴机床的研究及工程应用提供了重要的理论依据，具有重要的工程应用价值。

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(编辑 李秀敏)

6-PUS Virtual Axis Machine Tool Kinematics Study

HU Xiao-xiong1，JIAYu-qin1，JIA Zhen-yuan2，ZHANG Wei-min3

(1.School of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024,China; 2. Faculty of Mechanical Engineering, Materials and Energy, Dalian of Technology, Dalian Liaoning 116024,China;3. School of Mechanical Engineering Tongji University, Shanghai 201804,China)

For 6-PUS virtual axis machine tool kinematics problem, this article focuses on its positive solutions kinematics solving methods for analysis and research, and on the moving platform position variables and attitude variables implemented decoupling processed through the gesture of the position variable variables that out, based on the conversion of the position vector relationship, Cayley formula obtained three variables on attitude constraint equations to solve for the constraint equations obtained attitude variables to obtain the position variable, through numerical examples, show that the proposed method effectiveness, feasibility and correctness of the 6-PUS virtual axis machine tool research and engineering applications provide important theoretical basis, has great practical significance.

virtual axis machine tool；constraint equations；decoupling；kinematics

1001-2265(2014)01-0035-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.010

2013-05-24；

2013-06-06

国家自然科学基金(51205224);国家重点基础研究研究发展计划(973计划2013CB035802);国家高技术研究发展计划(863计划，2012AA091103);国家科技支撑计划(2012BAI07B04);中央高校基本科研业务费专项资金(TD2011-25)资助项目;中国博士后科学基金(2012M510321)资助项目

胡晓雄(1988—)，男，太原科技大学硕士研究生，主要从事现代制造技术方面的研究，(E-mail)hxx0903@163.com；通讯作者：贾育秦，男，太原科技大学教授，硕士生导师，主要从事现代制造技术方面的研究，(E-mail)tyhmijyq@163.com。

TH112;TG659

A