基于最小二乘法深孔轴线直线度误差评定*

于大国，宁 磊，孟晓华

(1.中北大学 机械工程与自动化学院，太原 030051； 2.中北大学 山西省深孔加工工程技术研究中心,太原 030051)



基于最小二乘法深孔轴线直线度误差评定*

于大国1，2，宁 磊1，孟晓华1

(1.中北大学 机械工程与自动化学院，太原 030051； 2.中北大学 山西省深孔加工工程技术研究中心,太原 030051)

利用模态分析中的拟合圆法求得深孔测量截面的最小二乘圆，确定截面孔心坐标，借助MATLAB三维绘图指令依次连接孔心坐标点得到实际深孔轴线；在得到实际深孔轴线的基础上，对深孔轴线直线度误差在任意方向上进行评定，采用最小二乘法原理建立数学模型求得深孔轴线直线度误差值；由MATLAB软件对实验数据进行处理，所得误差值与要求的误差值相对比；结果表明，该方法简单且易于计算机数据处理，能满足深孔轴线直线度的检测，具有较高的实际应用价值。

测量截面；拟合圆；深孔轴线

0 引言

科学技术迅速发展和生产水平不断提高使得机加工工业的制造精度和检验测量器具有了很大程度的提高和改善，因而有关形位误差的评定方法、评定理论、解算方法等问题的研究已成为计量学领域研究的热点[1]。

同轴度误差是指实际被测轴线相对于理想轴线的变动量,理想轴线的位置应符合最小条件[2]。深孔轴线相对本身而言不能独立存在，只有通过轴孔圆柱面加以体现。因此，深孔轴线的直线度误差就是实际轴孔圆柱各截面轮廓中心连线的直线度误差[3]。

深孔零件的直线度误差对其工作性能有很大影响，准确评定深孔零件的直线度误差，不但可以作为深孔零件验收合格的依据，还可以用来分析误差产生的原因，为提高深孔零件加工精度以及装配精度提供可靠的依据。

目前深孔轴线直线度误差的评定方法有：最小包容区域法(最小条件法)、两端点连线法及最小二乘法[4]。最小包容区域法符合国家标准精度也最高，但在很多情况下，寻找和判断符合最小条件的理想要素很困难，所以在实际应用中采用后两种评定方法更为普遍[5]。两端点连线法与其它两种算法相比，计算简单易求出基准轴线，但精度较低,不适于现代精密测量[6]。最小二乘法理论成熟，算法简便，误差值仅略大于最小包容区域法,能够满足一般精度要求，在直线度误差评定中得到广泛的应用[7]。

如何评定深孔零件轴线直线度误差，提高深孔零件加工质量，是人们普遍关心的问题，也是该领域研究人员的研究热点之一[8-9]。因此研究评定深孔零件轴线直线度误差具有非常重要的意义。

1 最小二乘圆法求解深孔轴线

将被测深孔零件放在三坐标测量机工作台上，测头沿内孔壁在轴线方向的最高和最低位置打点调整被测孔轴线同工作台基本垂直，同时固定被测件，测量模型如图1。将被测深孔零件沿孔轴向分成若干截面，每一截面布置若干采样点，采样点坐标为Pij(xij,yij,zj)(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n)，测量模型中拟合圆圆心坐标为Cj(aj,bj,zj)，其中m为每一截面采样点数，n为测量的截面数，zj坐标为测量过程沿z上升的距离。

图1 测量模型

假设测量过程中取第k个截面(k

图2 测量截面数学模型

图中：

Pik——测量截面上的任意一点；

Ck——测量截面拟合圆的圆心；

R——最小二乘拟合圆的半径。

如果加工的深孔轴线没有出现直线度误差，那么测量点一定落在半径为R的圆周上。实际深孔加工过程中不可避免出现误差，因此测量截面上的点不可能刚好落在拟合圆周上，必定会存在误差eik。

设最小二乘拟合圆的方程为

(x-ak)2+(y-bk)2=R2

那么误差eik为

eik=(xik-ak)2+(yik-bk)2-R2

当测量点在拟合圆内部时eik<0，在外部时eik>0，由随机误差的特征可知，正负误差会相互抵消，为了避免这种情况发生，我们可以将误差eik取平方，依据最小二乘原理必须满足误差eik平方和最小。

具体运算过程如下：

分别对u，v，w求偏导有

即

转换成矩阵为

借助于数学软件MATLAB求出u，v，w后，得ak=-u/2，bk=-v/2，因此第k个截面拟合圆的坐标为Ck(-u/2，-v/2，zk)。

在上述理论基础上，根据每个截面测量的点Pij(xij,yij,zj)分别计算出截面孔心坐标Cj(aj,bj,zj)，依次连接各个截面孔心坐标Cj就可以得到被测深孔零件的实际轴线。

2 最小二乘法评定深孔轴线直线度误差

与直线度公差带相对应，直线度误差分为给定平面内、给定方向和任意方向的直线度误差等三种形式[10]。对于回转精度较高的回转体零件如深孔类零件，其安装孔心线多用任意方向上的直线度公差控制。因此将深孔轴线直线度误差的评定归结为任意方向的直线度误差评定。

基于最小二乘圆法进行数学建模，由MATLAB软件计算我们可以得到各截面孔心坐标为：C1(a1,b1,z1),C2(a2,b2,z2),…,Cj(aj,bj,zj),…,Cn(an,bn,zn), 依次连接这些点可以得到实际深孔轴线ls，用平行于ls的最小二乘中线ll s面包容该实际深孔轴线时，取其中具有最小直径的圆柱面的直径φl s作为误差值，如图3所示,则该n个孔心坐标点的算术平均中心点Co(ao,bo,zo)的坐标为：

(1)

图3 深孔轴线直线度误差坐标系

根据误差理论，所有截面孔心坐标值的算术平均中心与其理想直线最为接近，因此以算术平均中心Co为基点的最小二乘拟合直线ll s是一种更为理想的直线。

设拟合直线ll s的方向向量为(l,m,n)，并且直线穿过点Co(ao,bo,zo)，因此可以得到拟合直线ll s的方程为：

(2)

实际深孔轴线上的任意一点Cj(aj,bj,zj)到拟合直线ll s的距离dj为：

dj=

(3)

f=

(4)

于是以上问题转化为求式(4)的最小值问题，令一阶偏导数为零得

(5)

根据空间解析几何理论，对空间拟合直线的方向数l,m,n进行归一化处理，即

l2+m2+n2=1

(6)

联立式(4)和(5)求解得

(7)

将各截面孔心坐标值Cj(aj,bj,zj)(j=1,2,…，n)代入由式(1)得到算术平均中心点Co(ao,bo,zo)，接着将得到的Co点坐标值以及各截面孔心坐标值Cj代入式(7)得到拟合直线方向数l,m,n，最后将方向数l、m、n和ao、bo、zo代入式(3)得到以aj、bj、zj为未知数的方程。

将各截面孔心坐标值分别代入dj，找出其中的最大值dmax，则深孔轴线的直线度误差值φl s为

φl s= 2(max{dj} )(j=1,2,…,n)

3 实验测量与结果

实验采用孔径D=20mm，长度l=500mm，直线度要求为0.1mm的某一深孔零件，用测量头对其内孔各个截面进行测量,取m=8，n=10。由于测量点比较多，将测量截面采样点坐标值省略，通过MATLAB计算得到被测截面拟合圆心坐标值，如表1所示。

表1 被测截面拟合圆心坐标计算值(单位：mm)

借助MATLAB三维绘图命令，输入表1中的被测截面拟合圆心坐标计算值得到被测深孔零件的实际轴线三维曲线图，如图4所示。

图4 实际深孔轴线三维曲线图

由MATLAB软件编程计算得到该深孔零件轴线直线度误差值为0.085mm，与所要求的直线度误差数值相差0.015mm。最小二乘法评定深孔轴线直线度误差流程图，如图5所示。

图5 深孔轴线直线度误差评定流程图

4 结论

综上所述，本文采用最小二乘拟合圆法确定测量截面孔心坐标点并依次连接孔心坐标点得到实际深孔轴线，以最小二乘法为依据借助MATLAB编程对实际深孔轴线直线度误差进行评定。通过实验论证分析，该方法简单，数据易于处理，适用范围广，能满足深孔轴线直线度的检测，具有较高的实际应用价值。

[1]ZHANG Si-rong.Research on the integrative modeling theory integrated management method and application of product information and process supporting concurrent design[D].Hangzhou: Zhejiang University,2008.

[2]翟旭军,张小萍,周圣铧.基于改进粒子群算法的同轴度误差评定及其可视化[J].组合机床与自动化加工技术，2012(12):55-59.

[3]粱胜龙.精密配合孔轴线直线度误差评定[J].机械设计与研究，2009,25(3):94-97.

[4]刘雁蜀，王天琦.管类零件轴线直线度的处理方法研究[J].机械设计与制造,2008(12):144-147.

[5]李小亭，王树彩．长度计量[M]．北京：中国计量出版社,2002．

[6]李淑娟,刘云霞.基于坐标变换原理的最小区域法评定空间直线度误差[J].计测技术,2006,26(1):24-25.

[7]黄富贵，崔长彩.评定直误差的最小二乘法与最小包容区域法精度之比较[J]. 光学精密工程,2007,15(6):889-894.

[8]黄富贵,崔长彩.任意方向上直线度误差的评定新方法[J]. 机械工程学报,2008,44(7):221-224.

[9]戴丽,顾建刚.最小二乘圆法及其在原木定心中的应用[J]. 木材加工机械, 2002,13(2):16-18.

[10]续永刚，向立明，高国生.零件直线度误差虚拟检测系统研究[J].制造业自动化，2010,32(7):100-103.

(编辑 李秀敏)

Error Evaluation Method for the Axis Straightness of Deep-hole Based on Least-square Principle

YU Da-guo1,2, NING Lei1, MENG Xiao-hua1

(1.College of Mechanical Engineering and Automation, North University of China,Taiyuan 030051, China；2. Engineering Research Center for Deep-hole Drilling of Shanxi Province, North University of China ,Taiyuan 030051, China)

The method of least square principle in error evaluation is deduced from the coincidence circularity of mode analysis. The coordinate of the center of the measuring cross sections can be obtained via the method and the real axis of deep-hole can be gat from connecting the center of the hole coordinate points by using three-dimensional drawing instructions of MATLAB. On the basis of the real axis of deep-hole, carrying on evaluate arbitrary spatial straightness error of the axis of deep-hole. According to the least square principle, we can create mathematical modeling to find the axis straightness error of deep-hole finally. The experimental data can be deal with MATLAB and the resulting error value is compared to the error value of being required. The result indicates that the method is easy for data processing by computer, can satisfy the deep-hole straightness detection and has a high application value.

measuring cross sections; coincidence circularity; axis of deep-hole

1001-2265(2014)01-0039-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.011

2013-05-03;

2013-06-01

国家自然科学基金项目(51175482)；山西省国际合作项目“中韩合作BTA深孔加工的动态稳定性研究”(2012081030)；中北大学校基金(2012111)。

于大国(1964—)，男，江苏金湖县人，中北大学副教授，博士，研究方向为深孔加工技术，(E-mail)909886509@qq.com;通讯作者：宁磊(1987—)，男，山东费县人，中北大学机械工程与自动化学院硕士研究生，主要研究方向为深孔加工技术，(E-mail)nl_158@126.com。

TH122;TG65;

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