基于插值样条的数控运动轨迹描述及平滑处理*

陶建明，宋爱平，易旦萍

(扬州大学 机械工程学院，江苏 扬州 225127)



基于插值样条的数控运动轨迹描述及平滑处理*

陶建明，宋爱平，易旦萍

(扬州大学 机械工程学院，江苏 扬州 225127)

为了更好地描述工程中复杂的数控加工运动轨迹，实现轨迹段间的平滑过渡，提出了一种基于特殊基函数的可调形三次三角插值样条曲线。该曲线具有C1连续性，可以精确表示直线、圆弧及自由曲线等常见工程曲线。给定控制点信息，改变调形系数，可以得到不同形状的插值样条曲线；通过在数控运动相邻加工段拐角处附近选择合适的控制点及调形系数，可以实现拐角的平滑过渡，从而保证运动路径的平稳、进给速度的连续。

三次三角样条曲线；插值；可调形；轨迹描述；平滑路径

0 引言

高速数控加工是提高零件加工效率和加工质量的重要途径。机床在高速运行过程中，要尽可能保证机床运动的稳定性，防止出现较大冲击载荷而影响零件的加工质量，同时保护机床的进给系统[1]。实际加工过程中，数控运动轨迹往往由多个直线段和圆弧段组成；而目前数控系统在相邻加工段拐角处速度的处理，大都采用先将进给速度降为零，然后再升速到指令速度，这样以零速通过各拐角的方式来避免对机床造成过大冲击。但是，这种方法势必会造成加工过程中系统频繁的速度启停，严重影响零件加工效率的提高[2]。为此，需研究拐角处的运动控制方法，使相邻加工段的转接处速度不降为零，实现两段轨迹的高速平滑过渡，达到提高加工效率和限制冲击载荷的目的。

对于相邻加工段拐角处速度的处理，文献[3-4]提出了转角处加入圆弧或二次曲线进行转接的过渡法，从而实现拐点处速度不降为零的目标。该方法在一定程度上提高了加工效率，降低了机床冲击。但该方法欠缺对加速度的控制，误差控制不严格，当转角较大时，转接速度提高幅度有限，不能很好地满足高速加工的需求。文献[5]提出了前瞻的速度控制方式，该方法将拐角处速度矢量变化所形成的冲击限制在机床允许范围内。通过拐角处有限速度的下降，追求加工效率最大化，但该方法预先计算量大，对数控系统硬件要求较高。文献[6]提出了一种矢量过渡法来实现轨迹段间的平滑转接。通过对运动参数的超前分析，能够提高转角较大时轨迹段间的转接速度，但在拐角较小时，速度的过渡仍不够平滑。

本文在三次Hermite基函数的基础上[7-8]，经适当改变，得到一组新的基函数，以此构造一种可调形的三次三角多项式插值样条曲线，用于描述数控加工中的直线、圆弧以及自由曲线段路径，其具有计算简单、构造灵活等特点。该样条还可以用于描述数控运动轨迹在拐角处的平滑过渡曲线，从而实现数控加工路径段间的高速平滑过渡，满足现代数控系统对高速度、平稳性和柔性的需要。

1 三次三角插值样条曲线

1.1 样条基函数

定义1：对任意给定的实数λ、k，参数u满足0≤u≤1，称

(1)

为带变量λ、k的三次三角样条基函数，其中S:=sin(πu/2)，C:=cos(πu/2)。

当λ、k取不同值时，可以得到不同的基函数。经简单计算可知，对任意实数λ和k，式(1)中基函数具有如下性质：

(1)权性：即B0,3(u)+B1,3(u)+B2,3(u)+B3,3(u)≡1

(2)端点性：

B0,3(0)=1,B0,3(1)=0,B0,3′(0)=-1,B0,3′(1)=0

B1,3(0)=0,B1,3(1)=1,B1,3′(0)=k+1,B1,3′(1)=-1

B2,3(0)=0,B2,3(1)=0,B2,3′(0)=-k,B2,3′(1)=k+1

B3,3(0)=0,B3,3(1)=0,B3,3′(0)=0,B3,3′(1)=-k

1.2 插值样条曲线

定义2：给定型值点组qk(k= 0，1，… ，n+2)，定义曲线段

(2)

所有曲线段Pi(u)组成的曲线P(u)称为三次三角插值样条曲线。

将三次三角插值样条曲线P(u)的(2)式表示成矩阵形式，如下：

(3)

式中，T=[C3S3S2C S 1]，Q=[qiqi+1qi+2qi+3]，

M=

其中S:=sin(πu/2)，C:=cos(πu/2)，0≤u≤1。

定理1：曲线P (u)插值于型值点组qk(k=0，1，…，n)，且P(u)∈C1。

证明：由P (u)的定义可知，P (u)由n段曲线组成。根据基函数的性质2)，对第i段曲线Pi(u)有：

Pi(0)=qi，Pi(1)=qi+1

Pi′(0)=(qi+1-qi)-k(qi+2-qi+1)，

Pi′(1)=(qi+2-qi+1)-k(qi+3-qi+2)

对于第i+1段曲线Pi+1(u)有：

Pi+1(0)=qi+1,Pi+1(1)=qi+2

Pi+1′(0)=(qi+2-qi+1)-k(qi+3-qi+2)

Pi+1′(1)=(qi+3-qi+2)-k(qi+4-qi+3)

因此，第i段曲线Pi(u)与第i+1段曲线Pi+1(u)有如下连接关系：

Pi(1)=Pi+1(0)=qi+1

故样条曲线P (u)插值于型值点组qk(k = 0，1，…，n)，且P(u)∈C1。证毕。

显然，改变第i个型值点qi，至多使Pi-3(u)，Pi-2(u)，Pi-1(u)，Pi(u)四段与qi有关的曲线受到影响，即曲线P (u)具有局部性；但由于含有变量λ和k，曲线P (u)的形状可以随λ和k的改变而改变，即曲线P (u)具有可调性。因此，上述样条曲线可以灵活地用于插值曲线的设计。

将样条曲线P (u)的矩阵表达式(3)展开成多项式形式，可得：

(5)

式(4)、(5)中，S:=sin(πu/2)，C:=cos(πu/2)，0≤u≤1。

由样条曲线的定义2及定理1的证明过程可知，任意四个控制点可以确定一段可调形的三次三角插值样条曲线，曲线插值于前两个控制点，后两个控制点用于计算曲线段端点的斜率。令式(4)中的qi、qi+1、qi+2、qi+3分别为确定的四点A、B、C、D，采用AutoLISP编程，在AutoCAD中绘制的可调形三次三角插值样条曲线如图1所示。改变系数λ和k的值可以实现样条曲线的调形，图1a中四条曲线分别对应k=0.5，λ=0、λ=0.5、λ=1、λ=1.5时的样条曲线段；图1b中四条曲线分别对应λ=1，k=0.3、k=0.5、k=0.6、k=0.7时的样条曲线。

(a)

(b)

当控制点重复使用时，可以生成环形插值样条曲线。如图2所示，当控制点序列为(B、B、C、D)时，即B点重复使用，通过编程绘制的样条线段为环形。图2中表示了k=-1，λ=-1、λ=0、λ=1时的三条样条曲线段，其中A、B、C三点共线。该环形样条线段的起点矢量与AB方向一致，终点矢量与BD方向一致，这一特征可以很好的用于数控加工中轨迹段间拐角处的平滑处理。

图2 环形插值样条曲线

2 三次三角插值样条曲线的运用

可调形的三次三角插值样条曲线与传统的Ferguson曲线、Bezier曲线、B样条曲线相比，具有更好的性质。它不仅具有插值性、形状可调性；而且由于表达式中含有三角多项式，通过选择合适的控制点和调形系数，这种样条曲线既能方便地表示自由曲线，也能精确的表示直线、圆弧以及自由曲线等常见工程曲线。因此，可以使用该样条曲线来描述复杂的数控运动轨迹；同时，通过在相邻加工段拐角处附近选择合适的控制点和调形系数以生成环形或圆弧样条曲线，实现对拐角的平滑过渡。

2.1 数控运动轨迹的描述

2.1.1 直线段的描述

(6)

式中，C:=cos(πu/2)，0≤u≤1。

图3 直线插值样条曲线

2.1.2 圆弧段的描述

只要取特殊的4个控制点和调形系数，使用三次三角插值样条曲线可以精确表示圆弧。设圆弧段的两个端点为A、B，取4个控制点分别为A(0，a)、B(a，0)、C(πa/2，a)、D(a,﹣πa/2)，控制点序列为(A、B、C、D)，调形系数λ=1、k=-1，即可构造一条从A到B的圆弧。将以上4点坐标及调形系数代入(5)式，便可得到圆弧的参数方程：

(7)

式中，S=sin(πu/2)，C=cos(πu/2)，0≤u≤1。

图4 三次三角样条表示圆弧

图4所示为参变量u∈[0 1]对应的从A到B的90°圆弧段。当使用三次三角插值样条曲线描述圆心角小于90°的圆弧段时，可以通过控制参变量u的取值来实现；当使用三次三角插值样条曲线描述圆心角大于90°的圆弧段时，可以通过多段圆弧拼接来实现。

2.1.4 自由曲线段的描述

给定控制点，使用该样条可以方便地描述自由曲线段。如图5所示，由(A、B、C、D、E、F、G、H、I、J)10个控制点构成的7段样条曲线。由定理1可知，整条曲线具有C1连续特性，从而保证曲线的光顺。

图5 三次三角样条表示自由曲线

2.2 数控运动路径的规划

图6 平滑处理前的数控运动路径

目前数控加工中常用的运动轨迹路径如图6所示，刀具中心从A→B→C→D移动，该运动路径中，B点、C点都是急拐点。当相邻加工段形成的拐角转角较大时，会造成运动速度矢量变化过大，容易对机床产生较大冲击，尤其在高速加工情况下，这种现象表现更为明显。根据上述三次三角可调形插值样条曲线的构造特性，在相邻加工段拐角处插入样条曲线，可以生成拐角过渡时的轨迹，实现加工段间的平滑转接，进而平滑拐角过渡时的速度。

图7 平滑处理后的数控运动路径

图7所示为基于可调形三次三角插值样条曲线描述的数控加工刀具运动路径。其中，C1、C2分别为刀具圆心在拐点C处时与BC段、CD段的交点。AB段为直线，在B点外拐角处插入环形样条过渡曲线；B到C1之间为直线，在C点内拐角处插入圆弧样条过渡曲线。如此规划的数控加工路径运动平稳，拐角过渡中没有降速再升速的过程，保证了加工路径在拐角处的平滑过渡，便于实现数控轨迹段间的高速平滑加工。

2.2.1 拐角平滑处理实例

采用模拟实验的方法，取运动参数为：进给速度v=50mm/s，刀具直径d=6mm。如图8所示，在B点外角拐处插入环形样条过渡曲线，该段样条曲线的4个控制点为(B、B、B1、B2)，调形系数k=-1、λ=0.5。其中,B1在加工段lm的延长线上，B2在加工段ln上，且BB1=BB2=6mm。图9所示为在C点内拐角处插入圆弧样条过渡曲线，该段样条曲线的4个控制点为(C1、C2、C3、C4)，调形系数k=-1、λ=1。其中，C1、C2为刀具圆心在拐点C处时与相邻加工段ln、lo的交点，C3在加工段ln的延长线上，C4在加工段lo上，且CC1=CC2=d/2=3mm。如此选择控制点，可保证插入的过渡样条曲线起点矢量与前一段运动轨迹的方向一致，终点矢量与下一段运动轨迹的方向一致，从而能够实现数控运动路径拐角处的平滑过渡。

图8 外拐角过渡

图9 内拐角过渡

刀具沿图8所示的加工段lm运动到外拐角B处时，速度保持不变，仍以v=50mm/s沿插入的环形样条曲线平滑过渡到加工段ln上；当沿直线段ln加工到图9所示的C1点时，刀具中心沿插入的圆弧样条曲线恒速转接到加工段lo上，从而实现外拐角C的平滑过渡。整个加工过程中，没有降速再升速的环节，避免了系统在拐角加工过程中频繁的速度启停，降低了对机床的冲击；同时，该方法通过实现对零件的连续、高速加工，进而提高零件的加工效率。

3 结论

本文给出了一组特殊的基函数，由此生成的曲线称之为可调形的三次三角插值样条曲线，且具有整体C1连续性。该样条曲线具有以下几个优点：①当改变一个控制点坐标位置，只对4段与之相关的曲线产生影响，对整条曲线的其他部分没有影响，故该样条曲线局部性能好。②每一段插值样条都有两个调形系数λ、k，曲线的形状可以通过改变λ和k的值而方便的进行调控，故该样条曲线具有形状可调性。③选择合适的控制点和调形系数，该样条可以精确表示直线、圆弧以及自由曲线等常见工程曲线，故该样条曲线具有灵活的构形特性。④曲线使用三次三角多项式表达形式，避免了有理形式，故该样条曲线表达式较为简洁，计算量较少，所需存储空间小。

因此，使用该样条曲线来描述复杂的数控加工刀具运动轨迹具有明显的优势；同时还可以用于数控加工相邻轨迹段间拐角处的平滑处理。通过插入可调形的三次三角插值样条转接曲线可以方便地实现数控轨迹段间的高速平滑过渡，从而满足现代数控系统对高速度、平稳性和柔性的需要。

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(编辑 李秀敏)

Description and Smoothing of NC Motion Path Based on the Interpolation Spline

TAO Jian-ming, SONG Ai-ping , YI Dan-ping

(College of Mechanical Engineering , Yangzhou University , Yangzhou Jiangsu 225127 , China)

In order to better describe the complex motion path of NC processing and realize the smooth transition between path segments, a kind of cubic trigonometric interpolation spline curve was put forward based on a set of special basis function. The spline curve which with adjustable shape satisfies theC1continuity, and it can accurately represent some common engineering curves such as straight line, circular arc and free curve. According to the given information of control points, different shapes of interpolation spline curve can be gotten by changing the adjustment coefficients. By selecting the proper control points and adjustment coefficients near the corner of adjacent NC processing path segments, insert the spline curve at the corner can realize the smooth transition around the corner, ensure the stability of motion path and the continuous of feed speed.

cubic trigonometric spline curve; interpolation; adjustable shape; trajectory description; smooth path

1001-2265(2014)01-0049-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.014

2013-04-26

江苏省产学研联合创新项目(BY2012162)；江苏省研究生科研创新计划项目(CXLX12_0912)

陶建明(1988—)，男，江苏苏州人，扬州大学硕士研究生，研究方向为数控技术、CAD/CAM技术，(E-mail)taojianming6@126.com。

TH162；TP391

A