基于Newton迭代的啮合角数值计算*

张振军， 赵静源， 王 征， 陈延军

(1.西安石油大学,陕西 西安 710065; 2.陕西职业技术学院，陕西 西安 710100)

基于Newton迭代的啮合角数值计算*

张振军1， 赵静源2， 王 征1， 陈延军1

(1.西安石油大学,陕西 西安 710065; 2.陕西职业技术学院，陕西 西安 710100)

为改善剃齿刀修行技术中的“中凹”现象，对于剃齿刀的修行系数进行优化推导出一个超越方程，经过处理后形成一个关于啮合角的一阶非线性超越方程，最后运用数值计算中的Newton迭代方法进行计算，对于其结果进行比较，得到了与实验最为接近的最佳啮合角。

啮合角；初始值；Newton迭代；误差容限

0 引 言

齿轮是传递动力和运动的重要零件，其用途非常广泛，齿轮加工中的凹现象对于齿轮加工中产生了重要的影响，剃齿修形直接决定着剃齿质量等，笔者通过对端面啮合角的数值计算提高啮合角的数值，从而提高剃齿修形效果。

1 啮合角理论分析

1.1 剃齿工艺的“中凹”现象

剃齿工艺中，剃齿刀和被剃齿齿轮的重叠系数一般不是整数，由于进给速度等客观因素的存在，造成同时接触的齿面数是变化的。当齿面在剃齿过程中的齿数变化造成其接触点的数量也在变化，在剃齿过程中受力接触面的不同，导致剃齿机在剃齿过程中，齿腹根部和节圆附近的切削量不同，导致剃齿齿廓齿形中的“中凹”现象的发生[1]。

1.2 剃齿刀修形的啮合角

1.2.1 剃齿的修形理论

端面啮合角为剃齿刀修形中最重要的参数，是解决剃齿刀“中凹”现象的关键步骤，其计算的精确值也是解决剃齿刀修形的关键[2]。在国内而言，啮合角的计算在目前没有一个确定的啮合角计算公式，因为在剃齿过程是一个非线性动力学过程，其受力分析受到诸多因素的影响很难确定，所以现在只能采用近似值的数值计算方法来取得其最佳近似解。该方法在节圆直径与分圆直径差值增大或啮合压力角与分度圆压力角相差较大时，其计算误差较大，尤其是对啮合角较小的情况更是如此。

笔者对端面啮合角的数值计算进行了深入研究，提出了一种数值计算方法，得到更简洁和精确的近似解。

1.2.2 啮合角的计算公式

由齿轮啮合理论得出：

sinβ1cosαn1=sinβj1cosjn1

将上式整理得到：

sinβb2=cosαnsinβn2

sinβb1=cosαnsinβn1

将上式代入，可得：

1.2.3 齿轮的参数设置

将方程式代入得到：

z2invαt0-z1invαjt1+

2 Netwon迭代公式

2.1 计算方法选择[6]

若方程f(x)=0，方程f(x)在其零点x0处的领域内连续可微且f′(x)≠0，若xk为方程的近似解，则：

2.2 计算结果

针对剃齿刀啮合角的计算，根据经验得知，选择啮合角的初始值X0=0.3316，误差容限为10-4。数值计算是为了提高啮合角的精确度，又要迭代次数尽量减少，最优解的精确度要提高。

(1) 误差容限 啮合角计算过程中，误差容限设定为10-4，如图1所示，Newton迭代在计算过程中误差容限出现了很大跳动，误差容限一般是极其微小的数值，在经历过157次迭代达到收敛。

图1 Newton迭代的误差容限控制的跟踪图

(2)啮合角的最优解 表1所列为Newton迭代的数值，图2为Newton迭代啮合角取值的跟踪图。基于Matlab环境下的数值计算，在经历过157次迭代后收敛于αjt1=0.331 671，在实际试制过程中，数值计算的结果αjt1=0.331 671，贴近于实际剃齿啮合角的数值。

表1 Newton迭代的数值

图2 Newton迭代啮合角取值的跟踪图

3 结 论

(1) 通过参数的优化和经验得出了啮合角的超越方程，通过比较数值计算得到了一种更简洁、准确的迭代计算。

(2) 通过Newton迭代取得相对精确的最优解。

(3) 建立了啮合角计算的超越方程，直接求其最优解，为“剃齿中凹”提供数值参考。

[1] 陈世平.剃齿加工齿形中凹误差分析[J].现代制造工程，2002(10):52-53.

[2] 蔡安江.剃齿加工齿形误差的研究[J].西安建筑科技大学学报(自然科学版)，2007(10):730-734.

[3] 苏慧娟.牛顿炫截法预估校正迭代格式的收敛阶 [J].数学的实践与认识，2006(4):164-168.

[4] 胡 敏.剃齿刀修行技术及其CAD系统的研究[D].西安：西安建筑科技大学，2009.

[5] 吴序唐.齿轮啮合原理[M].西安:西安交通大学出版社，2009.

[6] 林成森.数值计算方法[M].北京:科学出版社，2005.

Numberical Calculation of Meshing Angle Based on Newton Interation

ZHANG Zhen-jun1， ZHAO Jing-yuan2， WHANG Zheng1， CHEN Yan-jun1

(1.Xi′anShiyouUniversity,Xi′anShaanxi710065,China； 2.Shaan′xiVocationalandTechnicalCollege,Xi′anShaanxi710100,China)

In order to improve the concave phenomenon in shaving cutter technology and the shaving cutter′s practiced coefficient is optimzed, then a transcendental equation is deduced, which can be formed a first order nonlinear transcendental equations about meshing angle through calculations. Finally, using Newton iteration methods of numberical calculations to get the answer. Compared with other result we got，there will be a perfect meshing angle which is extremely close to the theoretical value.

meshing angle; initial value；Newton interation; error tolerance

2014-03-07

张振军(1986-)，男，陕西西安人，助理工程师，硕士，主要从事齿轮动力学方面的研究工作。

TG61

A

1007-4414(2014)02-0066-02