数学高考复习中恒成立问题及解题策略

陈小军

【摘 要】新课标下的高考对知识的考查有了根本性的变化，从知识立意到能力立意，出现了众多注重能力考查的新颖试题，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，此类型问题由于题型多样，有利于从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性和创造性等方面也起到了积极的作用，备受命题专家青睐，所以加强对这类题型的探索，解题策略和教学就显得十分必要，恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。

【关键词】高中数学；高考复习；恒成立问题；解题策略

新课程改革后的高考命题越来越注重对学生的综合素质的考查，命题思路也有了根本性的变化，从知识立意到能力立意，出现了众多注重能力考查的试题，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因为恒成立问题所涉及的知识面广，综合性强，数学语言抽象，如何从题目提取可用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，下面通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

类型一：变更主元，反客为主

对于给出了参数范围的恒成立问题，常常把参数视为主元，把主元视为参数，把原题视为参数的函数，再从函数的角度来解决问题，利用一次函数的单调性进行转化，达到反客为主的目的。

对于一次函数f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 对于任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。

解题分析：我们可以用改变主元的办法，将a视为主变元，即将原二次函数化为一次函数：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

记：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

当a∈[-1，1]时，函数f（x）的值恒大于零，显然x≠2，

故有g（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

类型二：判别式法

用一元二次方程根的判别式设f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，则有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范围。

解题分析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否为零。

（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）m-1≠0时，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

类型三：数形结合法解决恒成立

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

f（x）>g（x）对一切x∈1恒成立

？圳f（x）的图像在g（x）的图像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

解题分析：设C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，则C1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），f（x）1，并且必须也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述这些例子剖析了近几年数学高考复习中恒成立问题的题型及解题策略，类型多，方法多，恒成立问题是新高考中的一个热点问题，解决此类问题的方法多种多样，因此要具体问题具体分析，恒成立问题的求解虽然有一定难度，但总有规律可循，只要我们善于总结，找出解决这类问题的规律，一定能取得成功。

【参考文献】

[1]庞兴聚.含参数的不等式“恒成立”问题破解技巧.《数学学习与研究·高中版》，2006.04

[2]楼方红，李卫江.2009年高考恒成立问题的分类解析 《中学数学教学》，2009.04

[3]梁家芬.含参数不等式恒成立解题策略.《数学学习与研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘数学的本源.提高思维的有效性——听“不等式恒成立”一节课的所思所想.《中学数学杂志》，2009.05

[5]高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

（作者单位：江苏省滨海县明达中学）

【摘 要】新课标下的高考对知识的考查有了根本性的变化，从知识立意到能力立意，出现了众多注重能力考查的新颖试题，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，此类型问题由于题型多样，有利于从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性和创造性等方面也起到了积极的作用，备受命题专家青睐，所以加强对这类题型的探索，解题策略和教学就显得十分必要，恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。

【关键词】高中数学；高考复习；恒成立问题；解题策略

新课程改革后的高考命题越来越注重对学生的综合素质的考查，命题思路也有了根本性的变化，从知识立意到能力立意，出现了众多注重能力考查的试题，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因为恒成立问题所涉及的知识面广，综合性强，数学语言抽象，如何从题目提取可用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，下面通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

类型一：变更主元，反客为主

对于给出了参数范围的恒成立问题，常常把参数视为主元，把主元视为参数，把原题视为参数的函数，再从函数的角度来解决问题，利用一次函数的单调性进行转化，达到反客为主的目的。

对于一次函数f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 对于任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。

解题分析：我们可以用改变主元的办法，将a视为主变元，即将原二次函数化为一次函数：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

记：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

当a∈[-1，1]时，函数f（x）的值恒大于零，显然x≠2，

故有g（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

类型二：判别式法

用一元二次方程根的判别式设f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，则有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范围。

解题分析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否为零。

（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）m-1≠0时，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

类型三：数形结合法解决恒成立

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

f（x）>g（x）对一切x∈1恒成立

？圳f（x）的图像在g（x）的图像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

解题分析：设C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，则C1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），f（x）1，并且必须也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述这些例子剖析了近几年数学高考复习中恒成立问题的题型及解题策略，类型多，方法多，恒成立问题是新高考中的一个热点问题，解决此类问题的方法多种多样，因此要具体问题具体分析，恒成立问题的求解虽然有一定难度，但总有规律可循，只要我们善于总结，找出解决这类问题的规律，一定能取得成功。

【参考文献】

[1]庞兴聚.含参数的不等式“恒成立”问题破解技巧.《数学学习与研究·高中版》，2006.04

[2]楼方红，李卫江.2009年高考恒成立问题的分类解析 《中学数学教学》，2009.04

[3]梁家芬.含参数不等式恒成立解题策略.《数学学习与研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘数学的本源.提高思维的有效性——听“不等式恒成立”一节课的所思所想.《中学数学杂志》，2009.05

[5]高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

（作者单位：江苏省滨海县明达中学）

【摘 要】新课标下的高考对知识的考查有了根本性的变化，从知识立意到能力立意，出现了众多注重能力考查的新颖试题，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，此类型问题由于题型多样，有利于从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性和创造性等方面也起到了积极的作用，备受命题专家青睐，所以加强对这类题型的探索，解题策略和教学就显得十分必要，恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。

【关键词】高中数学；高考复习；恒成立问题；解题策略

新课程改革后的高考命题越来越注重对学生的综合素质的考查，命题思路也有了根本性的变化，从知识立意到能力立意，出现了众多注重能力考查的试题，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因为恒成立问题所涉及的知识面广，综合性强，数学语言抽象，如何从题目提取可用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，下面通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

类型一：变更主元，反客为主

对于给出了参数范围的恒成立问题，常常把参数视为主元，把主元视为参数，把原题视为参数的函数，再从函数的角度来解决问题，利用一次函数的单调性进行转化，达到反客为主的目的。

对于一次函数f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 对于任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。

解题分析：我们可以用改变主元的办法，将a视为主变元，即将原二次函数化为一次函数：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

记：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

当a∈[-1，1]时，函数f（x）的值恒大于零，显然x≠2，

故有g（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

类型二：判别式法

用一元二次方程根的判别式设f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，则有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范围。

解题分析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否为零。

（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）m-1≠0时，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

类型三：数形结合法解决恒成立

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

f（x）>g（x）对一切x∈1恒成立

？圳f（x）的图像在g（x）的图像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

解题分析：设C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，则C1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），f（x）1，并且必须也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述这些例子剖析了近几年数学高考复习中恒成立问题的题型及解题策略，类型多，方法多，恒成立问题是新高考中的一个热点问题，解决此类问题的方法多种多样，因此要具体问题具体分析，恒成立问题的求解虽然有一定难度，但总有规律可循，只要我们善于总结，找出解决这类问题的规律，一定能取得成功。

【参考文献】

[1]庞兴聚.含参数的不等式“恒成立”问题破解技巧.《数学学习与研究·高中版》，2006.04

[2]楼方红，李卫江.2009年高考恒成立问题的分类解析 《中学数学教学》，2009.04

[3]梁家芬.含参数不等式恒成立解题策略.《数学学习与研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘数学的本源.提高思维的有效性——听“不等式恒成立”一节课的所思所想.《中学数学杂志》，2009.05

[5]高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

（作者单位：江苏省滨海县明达中学）