考虑持时影响的位移谱阻尼调整系数

王国弢 胡克旭 雷 敏

(同济大学结构工程与防灾研究所，上海 200092)

1 引 言

在结构的抗震设计中需要不同阻尼比下的弹性反应谱。正如Stafford等[1]所指出，可采用两种方法来获得不同阻尼比下的弹性反应谱：第一种方法是直接形成不同阻尼比下的反应谱预测方程；第二种方法是采用阻尼调整系数(DSF)将5%阻尼比的弹性反应谱调整到不同于5%阻尼比的弹性反应谱。现行欧美建筑规范[2-6]中采用的是第二种方法。到目前为止，已有许多学者对DSF进行了研究。 Ashour[7]、Priestley[8]及Tolis和Faccioli[9]提出了仅考虑阻尼比(ξ)影响的DSF回归模型，Newmark和Hall[10]、Wu和Hanson[11]、Idriss[12]及Lin和Chang[13]提出了考虑阻尼比(ξ)和周期(T)影响的DSF回归模型。近年来，考虑地震动持时、震级、距离、场地条件和地质构造环境的影响，国内外学者对阻尼调整系数进行了更为深入的研究。Bommer和Mendis[14]认识到了持时对DSF的影响，对ξ>5%的情况，提出了DSF随Mw和Rrup的增大而减小的结论。Cameron和Green[15]认为DSF与地震动的频谱特性和持时有关，并且他们将地面运动记录分别按地质构造环境、场地条件和震级进行分组，以表格的形式列出了在指定ξ和T处的DSF的中值和标准差，但他们并没有提出一个简单统一的回归模型。Stafford等[1]在DSF的回归模型中直接考虑了持时这个变量，但这个回归模型是与周期无关的。本文的研究目的是提出一个简单统一的DSF回归模型并在模型中包含持时这个变量，使该模型能体现持时对各周期范围内的DSF的影响。地震动持时有不同的定义，本文所采用的持时为相对能量持时D5-95[16]。定义D5-95为从地震动能量达到总能量的5%开始至达到总能量的95%为止所经历的时间。总能量定义为地面加速度平方的积分，即Arias强度[17]。

2 地面运动加速度时程记录

在本文的研究中使用了408条地震地面运动记录，这些地面运动记录下载于太平洋地震工程研究中心的强震数据库(http://peer.berkeley.edu/peer ground motion database)。地面运动记录的相对能量持时(D5-95)分布在1.4～80.3 s之间，矩震级(Mw)分布在5～7.62之间，观测点到断层破裂面的最短距离(Rrup)分布在0.1～100 km之间，地表厚度30 m 内平均剪切波速(Vs,30)分布在116.3～2 016.1 m/s之间，峰值地面加速度(PGA)分布在0.004 7～1.434 5 g之间。图1表明了本文所用记录的Mw和Rrup的分布。

3 统计分析的结果

位移谱阻尼调整系数被定义为

(1)

式中，DSF代表位移谱阻尼调整系数；ξ为阻尼比；T代表单自由度体系的自振周期；SD(ξ,T)是ξ≠5%，周期为T时弹性单自由度体系的位移谱值；SD(5%,T)是ξ=5%，周期为T时弹性单自由度体系的位移谱值。

图1 Mw—Rrup分布Fig.1 Distribution between Mw and Rrup

本文采用软件SeismoSignal对每条输入地震波分别计算了20个周期点和11个阻尼比处的谱位移，再根据式(1)可求得每条地震波在不同阻尼比和不同周期处的DSF。20个周期分别为0.02 s、0.04 s、0.06 s、0.08 s、0.1 s、0.14 s、0.2 s、0.24 s、0.3 s、0.4 s、0.5 s、0.6 s、0.8 s、1 s、2 s、3 s、4 s、5 s、7.5 s和10 s；11个阻尼比分别为0.5%、1%、2%、3%、5%、7%、10%、15%、20%、25%和30%。计算方法采用Newmark逐步积分法，β=0.25，γ=0.5。通过对上述计算得到的DSF数据的统计分析，研究了D5-95对DSF的影响。

图2给出了T=0.2 s、1 s和3 s时，分别在ξ=2%、3%、10%和20%处，DSF与D5-95之间的统计关系，图中直线为DSF和D5-95的线性拟合线(限于篇幅，本文只给出了T=0.2 s、1 s和3 s时，分别在ξ=2%、3%、10%和20%处的统计关系，以下类同，不再赘述)。如图2所示，D5-95对DSF的影响与周期(T)和阻尼比(ξ)有关。在短周期处(如T=0.2 s)，D5-95对DSF无显著影响；在长周期处(如T=1 s)，当ξ<5%时，DSF随D5-95的增加而增加且ξ越小这种趋势越明显；当ξ>5%时，DSF随D5-95的增加而减小，且ξ越大这种趋势越明显。在更长的周期(如T=3 s)，上述DSF随D5-95变化的趋势更显著。图2还表明了DSF相对于ξ和D5-95的异方差性。随着ξ越远离5%，DSF的离散程度越大。DSF相对于D5-95的异方差性可能是由于在某些持时处数据点较少的缘故，本文不予考虑。DSF相对于ξ的异方差性将在后面的方差模型中考虑。

图2 D5-95对DSF的影响Fig.2 Influence of D5-95 on DSF

4 DSF的概率分布

通常可以认为PSA服从对数正态分布，对式(1)两边取自然对数有：

ln(DSF)=ln(PSAξ)-ln(PSAξ=5%)

(2)

由式(2)可知，如果PSAξ与PSAξ=5%不相关，则ln(DSF)服从正态分布，DSF服从对数正态分布。但是，PSAξ与PSAξ=5%是相关的，所以在理论上DSF并不严格服从对数正态分布。根据对本文数据的分析，在T∈[0.1,7.5]的范围内，ln(DSF)与正态分布曲线拟合得较好；图 3给出了ξ=2%时，在T=0.2和1 s处，ln(DSF)数据点的直方图、累积分布函数图及相应的正态分布函数的拟合结果。在此周期范围外，拟合结果并不理想。(图中CDF： cumulative distribution function，累积分布函数，PDF：probability density function，概率密度函数)。

综上，本文假设在指定的周期T和阻尼比ξ处，DSF近似服从对数正态分布，并取回归模型为

ln(DSF)=μ(ξ,T,D5-95)+

(3)

式中，μ(ξ,T,D5-95)为ln(DSF)的期望；代表随机误差且～N(0,σ2(ξ,T))；σ2(ξ,T)为在ξ和T处的方差。

图3 ln(DSF)的分布Fig.3 Distribution of ln (DSF)

5 建立回归模型

5.1 回归方程μ(ξ,T,D5-95)

首先设回归方程仅是ξ和T的函数，取回归模型为

ln(DSF)=μ(ξ,T)+

(4)

在指定周期Ti和阻尼比ξj处，μ(ξj,Ti)的估计值为

(5)

式中，ln[DSF(ξj,Ti)k]为在Ti和ξj处ln(DSF)的第k个数据值，n=408为数据总数；在Ti和ξj处，第k个数据与回归方程的残差为

(6)

按式(6)可求出在Ti和ξj处每个数据与回归方程的残差，然后可作出残差相对于D5-95的分布。图 4给出了在T=0.1 s和3 s处，ξ=2%和20%时，残差相对于D5-95的分布。分别将计算出的残差按ln(D5-95)分为9组(ln(D5-95)<1.7、1.7～2、2～2.3、2.3～2.6、2.6～2.9、2.9～3.2、3.2～3.5、3.5～3.8、>3.8)，图中黑色方框代表每组残差的均值，黑线为均值的连线，表明了残差随D5-95的分布。根据残差分析可知，在短周期处(如T=0.1 s)，各阻尼比的残差基本随机对称的分布于零水平线的两侧(图4)，这表明了在短周期处D5-95对DSF没有显著的影响；在长周期处(如T=3 s)，各阻尼比的残差相对于D5-95显曲线分布(图4)，这表明了在长周期处D5-95对DSF有显著的影响。以上现象与前文统计分析的结果是相一致的。

图4 残差相对于D5-95的分布Fig.4 Residuals versus D5-95

为了改善长周期处的残差相对于D5-95的分布，在指定周期点Ti处，本文将回归方程取为如下形式：

μ(ξ,Ti,D5-95)=c0(ξ,Ti)+c1(ξ,Ti)ln(D5-95)

+c2(ξ,Ti)[ln(D5-95)]2

(7)

令x1=ln(D5-95)，x2=[ln(D5-95)]2，可得：

μ(ξ,Ti,D5-95)=c0(ξ,Ti)+c1(ξ,Ti)x1

+c2(ξ,Ti)x2

(8)

第二步：在Ti处，采用y=a+blnξ+c(lnξ)2的函数形式来拟合各主系数的估计值与ξ之间的关系。设:

(9)

(10)

(11)

(12)

图和拟合曲线 and the fitted curve

表1给出了20个周期点处回归系数的估计值。其余周期点处回归系数的估计值可由线性插值确定。在Ti和ξj处，第k个数据与回归方程的残差为

表1模型回归系数(×10-2)

Table1Regressioncoefficientsforthemodel(×10-2)

T/sb^0b^1b^2b^3b^4b^5b^6b^7b^8a^0a^1a^2a^30.020.55-0.17-0.080.91-0.720.07-0.260.19-0.01-2.51-0.122.53-0.20.0415.9-10.240.27-0.690.060.23-0.590.42-0.04-8.08-0.187.68-0.830.0612.44-5.64-1.759.91-7.451.18-2.571.66-0.11-13.59-1.413.49-1.880.0823.22-11.3-1.846.62-4.890.43-1.620.780.15-14.79-1.4515.58-1.90.114.9-5.72-2.8413.15-8.050.46-2.140.890.18-15.17-1.6316.32-1.650.1418.22-4.85-4.2213.81-9.350.73-2.010.960.13-15.59-2.2717-1.420.218.41-5.81-3.5213.1-6.27-1.04-1.490.130.46-15.31-2.0417.82-1.570.2414.32-3.61-3.7913.4-5.77-1.15-1.01-0.260.47-14.93-1.9715.27-1.130.310.832.63-6.6617.26-10.570.53-1.780.620.2-14.76-2.0616.59-2.080.47.493.85-5.1718.14-10.91-0.39-1.80.680.3-15.37-2.3116.81-2.070.56.744.62-5.3317.37-10.62-0.38-1.470.620.27-13.5-2.0615.47-1.930.817.07-3.98-4.295.92-2.58-0.720.81-0.790.21-14.76-2.2715.67-2.3219.61-3.14-1.918.12-0.87-2.550.87-1.440.56-14.43-2.0714.85-1.541.5-0.452.81-1.3216.09-7.27-1.99-1.010.30.28-15.17-2.5115.69-1.2825.18-1.55-1.375.08-0.57-1.531.56-1.250.18-13.95-2.1816-1.2337.18-5.371.08-0.013.49-2.582.43-1.780.24-13.57-2.3114.340.2846.08-7.192.14-4.127.3-3.083.49-2.570.28-12.53-2.3115.010.5353.75-3.851.12-2.373.75-1.642.73-1.51-0.07-11.77-2.2613.081.137.52.13-4.972.38-45.37-1.963.04-1.75-0.06-10.71-2.3111.412.03103.7-4.471.57-6.395.27-1.033-1.52-0.17-8.28-1.79.161.79

[Δ(ξi,Ti)]k=ln[DSF(ξj,Ti)k]

(13)

按式(13)求出在Ti和ξj处每个数据与回归方程的残差，然后可作出残差相对于D5-95的分布。图6给出了在T=0.1 s和3 s处ξ=2%和20%时， 残差相对于D5-95的分布。根据残差分析可知：在短周期处(如T=0.1 s)，采用式(12)的回归方程对残差相对于D5-95的分布无明显影响(将图4和图6对比可知)，再次说明在短周期处D5-95对DSF无显著影响，各阻尼比的残差随机对称的分布于零水平线的两侧；在长周期处(如T=3 s)，采用式(12)的回归方程使得残差相对于D5-95不再具有曲线分布，各阻尼比的残差随机对称地分布于零水平线的两侧(图6)，这说明了本文回归模型的合理性且能反映出长周期D5-95对DSF的影响；图7给出了在T=0.2 s、1 s和3 s处，按本文模型所计算的DSF中值与本文DSF数据中值的对比(图中数据点分别为按各数据分组所计算的DSF中值，各数据分组与计算残差时的分组相同)。由图7可见，本文回归模型与数据吻合得很好。图7还表明：D5-95对DSF的影响与T和ξ有关。随着T的增长，D5-95对DSF的影响越显著；ξ越远离5%，D5-95对DSF的影响越显著。这与前文的统计分析结果是相一致的。

图6 残差相对于D5-95的分布Fig.6 Residuals versus D5-95

以下算例进一步说明所建议模型的有效性及模型中考虑持时影响的必要性。在408条地震地面运动中选用50条记录，其矩震级和到断层面最近距离分别在7～8和50～100 km范围内(Mw=7～8,Rrup=50～100 km)。50条记录的平均相对能量持时为42.904 s。设有一单自由度体系，自振周期为3 s，阻尼比为30%。将50条记录作为输入，通过分析可求得该体系精确的阻尼调整系数中值为0.471。对式(5)取指数，可求得不考虑持时影响的阻尼调整系数模型的阻尼调整系数中值为0.579。由本文所建议的考虑持时影响的阻尼调整系数模型所求得的阻尼调整系数中值为0.458。由上述计算可见，采用不考虑持时影响的阻尼调整系数模型计算的阻尼调整系数中值所产生的误差为23%；采用本文建议的考虑持时影响的阻尼调整系数模型计算的阻尼调整系数中值所产生的误差仅为-2.8%,在工程允许的误差范围内。以上分析说明了本文模型的有效性及模型中考虑持时影响的必要性。

由于在各国规范中均未提供持时这个参数，所以本文的回归方程是不便于工程运用的。为了在实际工程中考虑持时对DSF的影响，可对工程所在场地执行概率地震危险性分析，然后分解所计算出的地震危险性，找出工程所在场地最可能的设计地震，将该设计地震所对应的震级、距离等参数代入D5-95的预测方程，求出D5-95，再运用本文的回归方程便可得出考虑了D5-95影响的阻尼调整系数。

图7 本文模型和数据的DSF中值对比Fig.7 Comparison between median DSFs of the model and data

5.2 标准差σln(DSF)

对于二元线性方程，在Ti和ξj处，σ(ξj,Ti)ln(DSF)的无偏估计可用下式[18]计算：

(14)

(15)

图8给出了在T=0.1 s和3 s处式(15)的拟合结果。由图可见，DSF相对于ξ存在异方差性且随着ξ越远离5%，DSF的离散程度越大。这与前文统计分析结果中所观察到的现象相一致。各周期点处回归系数的估计值列于表1。

图和拟合曲线 and the fitted curve

6 结 论

本文对408条地震地面运动记录的DSF进行了统计分析，并在此基础上提出了考虑相对能量持时D5-95影响的回归模型，得出以下结论：

(1)D5-95对DSF的影响与T和ξ有关；在长周期范围内，当ξ<5%时，DSF随着D5-95的增长而增长；当ξ>5%时，DSF随着D5-95的增长而减小。随着T的增长，D5-95对DSF的影响越显著；ξ越远离5%，D5-95对DSF的影响越显著。在短周期范围内，D5-95对DSF无显著影响。

(2)DSF相对于ξ存在异方差性，且随着ξ越远离5%，DSF的离散程度越大。

(3) 本文所提出的回归方程能体现长周期范围内D5-95对DSF的影响。模型的标准差能体现DSF相对于ξ的异方差性。

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