解决分式相关问题的十五种常用策略

莫芬利 刘清泉

［摘要］ 解决与分式相关的问题时，常常要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．其中有很多方法具有典型性和代表性，本文就相关问题的解答梳理其中的常用策略.

［关键词］ 分式问题；常用策略

分式是初中数学的一个重要内容，竞赛中与分式化简、求值、证明、变形和方程等相关的试题，求解时通常技巧性很强． 笔者就近几年的热点试题，归纳其中使用频率较高的技巧和方法．

■ 分组求和

例1（2002上海）计算：■+■+…+■+…+■=________．

解析?摇 由■+■=■=2，

易知，可对所求式分组求和，易得答案为99．

■ 约分先行

例2?摇 化简： ■+■+■.

解析?摇 原式=■+■+■

=■+■+■

=1

■ 分组通分

例3?摇 求证：■+■+■=■+■+■+■.

证明?摇 由■－■+■－■+■－■

=■+■+■=■，得证．

■ 分步通分

例4（2004希望杯）代数式=■+■+■+■，化简的结果为_________．

解析?摇 原式=■+■+■=■+■=■．

■ 分离整式

例5?摇 化简：■+■－■.

解析?摇 原式=■+■－■

=2－■+2+■－4－■=■.

■ 同取倒数

例6（2009天津）已知■=2，■=3，■=4，求7x+5y-2z的值．

解析?摇 由已知可得■=■+■=■，■=■+■=■，■=■+■=■，

则■=■，■=■，■=■，解得x=■，y=■，z=24，则7x+5y-2z=0．

■ 等比设“k”

例7（2008北京）若■=■=■=■，求■+■+■+■的值.

解析?摇 设■=■=■=■=k，则k（y+z+u）=x，k（z+u+x）=y，k（u+x+y）=z，k（x+y+z）=u. 于是3k（x+y+z+u）=x+y+z+u. 所以x+y+z+u=0或k=■. 当x+y+z+u=0时，易求所求式=－4；当k=■时，由y+z+u=3x，z+u+x=3y，u+x+y=3z，x+y+z=3u易得x=y=z=u，此时所求式=4．

点评?摇 本题亦可利用等比的性质求解，不过需要分x+y+z+u是否等于0进行讨论．

■ 裂项相消

例8（2007全国竞赛） 已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则■+■+…+■=________．

解析?摇 由a■+a■+…+an=n3及a■+a■+…+a■=（n－1）3，得a■=n3－（n－1）3=3n2－3n+1，则■=■=■■－■，则■+■+…+■=■·1－■+■－■+…+■－■=■．

■ 排序放缩

例9（2011全国竞赛）设S=■+■+■+…+■，则4S的整数部分等于________．

A. 4?摇?摇?摇?摇?摇B. 5?摇?摇?摇?摇?摇 C. 6?摇?摇?摇?摇?摇D. 7?摇

解析?摇 当k=2，3，…，2011时，■<■=■■－■，得1

点评?摇 此类问题常借助裂项相消达到放缩的目的，特别地，有时结合轮换对称的特性需要先排序再放缩．

■ 逆代相关

例10?摇 （2012全国联赛）已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，■+■+■=■，则a2+b2+c2＝________．

解析由abc=-1，■+■+■=■，得■+■+■=■，则■+■+■=■. 于是■+■+■=■，所以■+■+■=■. 化简得－■=1－a－b－c+ac+bc+ca－abc，所以2ab+2bc+2ca=－■. 所以a 2+b 2+c 2=（a+b+c） 2－（2ab+2bc+2ca）=■．

■ 整体换元

例11?摇 （2014北京）求证：对任意两两不等的三个数a，b，c，■+■+■是常数.

证明?摇 设a+b－c=x①，b+c－a=y②，c+a－b=z③，①-②得a－c=■，②-③得b－a=■，③-①得c－b=■．

所以原式=■+■+■

=■

=■

=■

=■

=4.

点评?摇 本题通过对较为复杂的分子整体换元，达到了使分式形式更为简单的目的，从而易于对分式变形．

■ 整体代入

例12?摇 （2006江苏）如果■=■，那么■=_________．

解析?摇 由■=■得■=■，从而x2+■=3，所以所求式=■=4.

■ 整体求值

例13（2012全国竞赛）如果a，b，c是正数，且满足a+b+c=9，■+■+■=■，那么■+■+■的值为_________．

解析?摇 由已知可得■+■+■=10，则■+1+■+1+■+1=10，故■+■+■=7．

■ 因式分解

例14 （2009全国联赛）已知正数a，b，c满足如下两个条件：a+b+c=32，■+■+■=■. 证明：以■，■，■为三边长可构成一个直角三角形．

解析?摇 由■+■+■=■得■+■+■=■，化简得abc－128（a+b+c）+8（a 2+b 2+c 2）=0（﹡）. 由（a+b+c） 2=（a 2+b2+c2）+2（ab+bc+ca）=32 2得a 2+b2+c2=1024－2（ab+bc+ca），代入（﹡）式，得abc－16（ab+bc+ca）－128·（a+b+c）+8192=0，所以abc－16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）－4096=0. 对左边以a为主元分组因式分解，得a（bc－16b－16c+256）－16（bc－16b－16c+256）=0，所以（a－16）（b－16）（c－16）=0. 所以a=16或b=16或c=16. 又a+b+c=32，所以，a=b+c，b=c+a，c=a+b至少有一个成立，证毕．

点评?摇 很多与分式相关的题目，通常通过“去分母”转化为整式问题，从而利用整式的相关解题方法（特别是因式分解）加以解决．

■ 借助函数

例15?摇 a，b，c互不相等，证明：■+■+■=x 2．

解析记等式左边为f（x），显然，f（a）=a 2，f（b）=b 2，f（c）=c 2. 易知，点（a，a 2），（b，b 2），（c，c 2）都在f（x）的图象上，又都在g（x）=x 2的图象上，由不在同一直线上的三个点确定一条抛物线，可知f（x）=g（x）=x 2，证毕．

本文中，笔者结合与分式相关的初中竞赛试题，例析其中的常见类型及其解决策略，并力求将相关的策略封闭，不过，其中有些案例的解决另有它法，同时，与分式相关的其他问题，由于缺乏普遍性、代表性，此处不再赘述．