数学期望相同,游戏就一定公平吗?

刘静

［摘要］ 本文讨论了初中数学中通过数学期望来判定游戏公平性存在的一些问题，给出了判定游戏公平性的方法.

［关键词］ 数学期望；概率；游戏公平

北师大版数学九年级下册，第四章§3. “游戏公平吗”一课给出了培养初中生对于概率的初步认识和应用的问题，如下：

小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，

（1）当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分. 这个游戏对双方公平吗？

（2）当两枚骰子的点数之积为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？

课本中给出了如下解答方法：

（1）通过简单计算可知，两枚骰子点数之和为奇数的概率为■. 因此，小明和小刚得分的概率相同，都为■，得分也相同，都为1分. 这个游戏显然是公平的.

（2）计算可知，两枚骰子的点数之积为奇数的概率为■. 因此，每次游戏中，小刚得1分的概率为■，小明得1分的概率为■. 小明在每次游戏中得1分的概率高于小刚，所以游戏不公平.

在课本随后的内容议一议中提出：小刚发现上面游戏（2）的规则对自己不利，小明说：“那这样，当两枚骰子的点数之积为奇数时，你得2分，否则我得1分. ”你认为小刚应当接受这个规则吗？如何修改规则才能使游戏双方公平？

这时出现了两种常见的解答：

解答一，因为在一次游戏中，小刚和小明的得分概率不等，仍然为■和■，故不公平. 修改得分规定（有多种修改方式）如：数字之积小于10时，小刚得1分；数字之积大于10时，小明得1分.这样修改后，小刚和小明的得分概率都为■. 可能性相同，得分也相同，故显然是公平的.

解答二，因为在一次游戏中，小刚平均每次得分为2×■=■，小明平均每次得分为1×■=■，所以，对游戏双方不公平. 修改得分规定为：若数字之积为奇数时，小刚得3分，否则，小明得1分，则小刚每次得分的数学期望为3×■=■，小明每次得分的数学期望为1×■=■，两人每次平均得分相同，被认为是公平的.

受到这个例题的启发，游戏公平性问题作为概率理论中的一类典型问题，大量出现在中考试卷和教学参考书中. 如：山西、陕西、辽宁、山东等诸多省份近几年的中考题都出现过讨论游戏公平性的问题. 然而，对于上述解答二的正确性，也出现了不同的观点，引起了一些争议. 有些文献对两种判断游戏公平性的方式进行了讨论，有的对于用每次平均得分相同，即数学期望相等来认定游戏公平的方式提出了疑问，而有些文献则■认为数学期望相等的游戏肯定是公平的. 但是这些文章没有给出准确的解释. 因此，本文将指出数学期望不同，游戏一定不公平，但是数学期望相同，游戏不一定公平.

在解答二中，修改得分规定为：若数字之积为奇数时，小刚得3分，否则，小明得1分. 由于这个问题中没有规定游戏次数，可设游戏次数为n. 而修改规定后看得分高低来决定胜负. 设随机变量X为小刚在n次游戏中的总得分，随机变量Y为小明在n次游戏中的总得分. 由于游戏中掷骰子是多次重复独立，小刚和小明得分次数服从二项分布，即■~Bn，■，Y~Bn，■. 小刚和小明得分的数学期望都为■. 但通过简单计算可以发现，n取不同值时，小刚和小明获胜的概率并不相同. 如只进行一次游戏时，小刚和小明获胜的概率分别为：

P ｛X>Y｝=P｛X=3，Y=0｝=■，P｛Y>X｝=P｛Y=1，X=0｝=■.

进行两次游戏时，小刚和小明获胜的概率分别为：

P｛X>Y｝=P｛X=6，Y=0｝+P｛X=3，Y=1｝=■，P｛Y>X｝=P｛Y=2，X=0｝=■.

类似的，可以得到进行三次游戏时，获胜的概率分别为

P｛X>Y｝=■，P｛Y>X｝=■.

依次计算，虽然游戏次数变化时，小刚和小明得分的数学期望都为■，但是小刚和小明获胜的概率并不相同. 从前3次游戏看，进行一次或者两次游戏时小明获胜的可能性高于小刚，进行三次游戏时，小刚获胜的可能性高于小明. 所以在规则上，小刚和小明得分的数学期望相同，但是两人获胜的可能性并不相同.

对于解答二中出现的这种通过修改得分规则，只通过数学期望的值相同，就认定游戏公平的方法，是不正确的. 游戏的公平性应该从参与游戏双方的各方面入手. 只有两人获胜的概率相同，得分也相同，才能认为游戏公平. 解答二的这种方法实质上是对“公平”一词的一种误解. 在概率论中，经常将期望值为0的博弈称为公平博弈. 其实期望为0的博弈，对博弈双方来说只知期望相同，未必对双方是真正的公平. 如下例：

甲、乙两人掷一枚均匀骰子，规则如下：掷得1点或2点，甲输给乙2元，掷得其他点数，乙输给甲1元.

每次博弈过程中乙获利2元的概率为■，损失1元，即获利－1元的概率为■. 所以，每次博弈中，乙的平均获利为2×■+（－1）×■=0元. 类似地，每次博弈过程中甲获利1元的概率为■，损失2元，即获利－2元的概率为■，所以，每次博弈中，甲的平均获利为1×■+（－2）×■=0元. 从获利的角度看，我们发现甲、乙两人平均获利都为0元. 这在概率中被大家称为“公平博弈”.

但是，这里的公平博弈对甲、乙两人除期望值外，并不公平. 体现在以下几个方面：（1）每次博弈中，甲、乙两人获胜的概率不同. （2）甲、乙两人在博弈过程中的成本不同，每次博弈，甲的成本为2元，而乙的成本为1元. （3）甲、乙承担的风险不同，每次试验甲的损失风险为■，而乙的损失风险为■. 综合上面几个因素可以发现，这种期望为0的博弈，对双方并不公平. 要成为一个真正公平的博弈，只有让博弈双方的成本和风险都相同，才是对双方完全公平.

通过对上面两个问题的计算和分析可知，一个真正公平的游戏，应该是游戏双方在每次游戏中获胜的可能性相同，如果还有其他相关量，比如“得分”等都应该相同，才能说游戏对双方是公平的. 公平性应该体现在游戏双方在各个方面都处于同等地位. 因此，对于一个公平的游戏来说，游戏双方得分的数学期望肯定是相等的. 反之，当游戏双方得分的数学期望不等时，肯定是不公平的游戏. 这个判定方法其实在日常生活和概率理论中被经常用到. 例如，赌场在制定赌博规则时是不公平的，肯定对赌场有利，即通过赌场规则计算得到赌客的预期收益低于赌客的投入成本. 再如，保险公司和彩票销售中都有其不公平性，这些不公平性，都是可以通过投入与期望收益不等来判定的.

总而言之，我们可以通过期望不等来判定游戏或者其他问题规则的不公平性. 但是当双方期望相等时，是不能直接得出规则对双方是公平的，还需要做进一步分析.