方法题中悟 巧用错题集

王庆欢

在数学教学中，一个较为常见的现象是学生对于曾经出现的错误，会反复出错，尽管教师再三强调，学生依旧会犯同样的错误。这对于有限的复习时间而言，无疑让人心怀隐忧。其实如果学生每次都能将做错的知识点及时总结、复习，保证下次不再犯同样的错误，学生的数学成绩就会青云直上。所以，教师要引导学生积极建立错题集，将错误转化为学习的资源，巧用错题集，提升学习成效。

一、建立错题集的意义

建立错题集，虽然看起来要花费一些时间，但是其意义和价值不可小视，主要呈现出以下四点意义。

1.运用认知规律，建立知识体系

布鲁纳的认知发展理论一直为一线的教育者所推崇，他提出学习是一种认知过程，学生接收新的知识点后，要打破头脑中原有的知识结构，让原有的知识点与新知识点进行整合，形成新的认知。但是这个过程不是一次完成的，而是要经过多次认证、反复实践来加以完成。而错题集有助于学生运用认知规律，来建立新的知识体系。

2.运用情感因素，树立积极态度

高中阶段的学生，仍处于身心发展的可塑阶段。特别是一些“学困生”、后进生，他们内心也有着强烈的进取观念，但是由于一些主客观因素，导致他们无法成为优等生。错题集的建立，有助于他们养成坚韧不拔的性格，培养踏实、严谨、刻苦的数学学习态度。所以建立错题集，有助于运用情感因素，让学生树立积极的学习态度。

3.通过反思错题，改善学习习惯

在教学中，作者发现不少学生的学习习惯不好，他们没有养成及时复习的学习习惯，题目做完就抛掷脑后，所以重复的错误总会反复出现。而错题集的建立，引导他们养成良好的学习习惯，对出现的错误，及时总结、及时纠正。

4.利用反思错题，节约复习时间

高中三年学习数学的时间较为有限，学生如果反复出现相同的错误，教师就只能反复去纠正、强调，无疑会浪费很多宝贵的复习时间。特别是在高考数学的总复习阶段，更不应该将时间浪费在反复出现的错题上，而错题集就能提升学生课堂及课后的效率，利用错题反思，达到举一反三、节约时间的目的。

二、建立错题集的方法

建立错题集，需要讲究一定的原则，必须要有错必集、及时纠正。哪怕是平日的小作业、小测试中出现了错误，学生也应该马上进行总结、记录。有一些小错误看起来不大，但如果不注意总结，就很可能导致下一次继续犯同样的错误，所以教师要引导学生正确看待小错误，发现错误及时进行纠正。建立错题集的方法主要分为以下三种。

1.分类整理

要对错题进行分类整理，作者建议在每一个错题的边上用红笔标注好类别，比如这道题属于“粗心大意”类，这道题属于“数形结合”类，这样在查看的时候一目了然，并且能够明白自己是在哪一方面知识上出的差错。如果某个知识点错误出现较多，学生可以结合具体情况复习相关知识点，有针对性地进行练习和巩固。

比如有学生将坐标系与参数方程的一些有代表性的错题放在一起进行记录和总结，如下：

例1：参数方程为x=t+y=2（t为参数）表示的曲线是（ ）

A.一条直线 B.两条直线

C.一条射线 D.两条射线

例2：圆ρ=5 cos θ-5 sin θ的圆心坐标是（ ）

A.（-5，） B.（-5，）

C.（5，） D.（-5，）

例3：曲线的参数方程是x=1-y=1-t（t为参数,t≠0），则它的普通方程为 .

学生将上面的例题放在一起，并在解题的时候将填空题、选择题的考查方式也适当进行了变换，如将选择题改成了填空题（将错误答案去掉，担心复习受到干扰）。这样，将一类题放在一起进行错题总结，有助于学生复习的精准性。

2.记录方法

在作业、试卷的讲评中，教师一般都会详细讲解解题的过程，包括考查的内容、思维方法、计算过程等；学生在错题的记录中也应如此，还应附上自己的心得、小结，总结得多了，对知识点就有了更精准的把握。

例4：作一直线l，要求经过点A(-5，-4) ，并且这条直线与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

解：设直线为y+4=k(x+5)，交 x轴于点（-5，0），交y轴于点（0,5k-4）.

S=×-5×|5k-4|=5，40--25k=10.

得25k2-30k+16=0,或25k2-50k+16=0.

解得k=，或k=.

所以2x-5y-10=0，或8x-5y+20=0为所求.

学生在错题集中标注这属于“解析几何”类知识点，这道题对几何、函数、不等式等知识点进行综合考查。解决这一类题的关键在于要巧妙运用整体思维，先观察全局，再从局部入手；既从宏观上把握解题要点，还要运用数形结合的思想，巧妙解题。

随后作者结合学生的错题，又出了一道类似的题：

例5：直线经过点A（1，2），并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有多少条？

解：当截距为0时，设y=kx，过点A（1，2），得k=2，即y=2x；

当截距不为0时，设+=1，或+=1，过点A（1，2）.

得a=3，或a=-1，即x+y-3=0，或x-y+1=0.

这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.

本题相对例4有一点难度，但是经过上一道题目的讲解以及学生对错题的消化，大部分学生都能解出本题的正确答案。

3.错题改编

错题改编环节对学生的要求较高，但是如果能达到这个境界，说明错题已经真正成为学生学习的资源了。本环节的工作量较大，学生可以试着去钻研和领悟。

例6：已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤2p．求a的取值范围.

解：直线l的方程为y=x-a，

得x2-2（a+p）x+a2=0．设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A（x1,y1），B(x2,y2)，

4(a+p)2-4a2>0,x1+x2=a2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,

所以|AB|==

]=.

因为0<|AB|≤2p，8p（p+2a）>0，所以0<≤2p，解得-

学会改编的学生在本环节不仅将详细的解题方法记录下来，而且通过数形结合法画出了函数图。作者发现有些学生还对这道错题进行了延伸：若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求 Rt△NAB面积的最大值为多少？

解：设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x3,y3）， 则由中点坐标公式，得

x3==a+p,y===p,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ为等腰直角三角形，

所以|QN|=|QM|=p，所以S△NAB=|AB|·|QN|=p|AB|≤p·2p=p2，即△NAB面积最大值为p2.

如此的延伸说明学生在整理错题的过程中已进行了深入细致的思考。不过也有个别学生的探究较为浅薄，或是虽然记录了一本“漂亮工整”的错题集，但是不过是将题目进行了“搬迁”，缺少个人的思考和总结。

三、怎样使用错题集

有的学生记录之后就将错题集束之高阁，这样既浪费了时间又没有起到积极的作用。所以作者主张错题集既要展现学生的个性及特点，又要发挥其积极的功效。所以作者建议采用以下几种方法使用错题集。

1.经常阅读

作者主张学生将错题集和教材放在一起，利用课余时间时常翻阅，这样才能常读常新。很多学生会在阅读时又产生一些新的心得体会，这时可以用不同颜色的笔进行标注。

2.同学交流

所谓“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，学生对错误的认识也是各不相同，所以同学之间相互交流错题集就颇有价值，能够便于学生之间取长补短、优势互补。一些学生还可以从别人的错题集中发现一些自己没有意识到的问题，特别是错题改编部分，通过相互交流，有助于开阔学生的思维。

3.师生交流

教师不定期查阅学生的错题集，特别是通过学生自己写的心得体会，及时了解学生的所思所想，了解学生还有哪些困惑、哪些疑问，抽出一些时间，为学生统一解惑、答疑。这样的师生交流有助于真正实现教学相长。

总之，如果能充分利用错题集，让错误成为学习的资源，可以带来很多的优势。作者也在学生们充满个性化的错题集中受益匪浅。方法题中悟，巧用错题集，真正让错误绽放五彩的光芒。

在数学教学中，一个较为常见的现象是学生对于曾经出现的错误，会反复出错，尽管教师再三强调，学生依旧会犯同样的错误。这对于有限的复习时间而言，无疑让人心怀隐忧。其实如果学生每次都能将做错的知识点及时总结、复习，保证下次不再犯同样的错误，学生的数学成绩就会青云直上。所以，教师要引导学生积极建立错题集，将错误转化为学习的资源，巧用错题集，提升学习成效。

一、建立错题集的意义

建立错题集，虽然看起来要花费一些时间，但是其意义和价值不可小视，主要呈现出以下四点意义。

1.运用认知规律，建立知识体系

布鲁纳的认知发展理论一直为一线的教育者所推崇，他提出学习是一种认知过程，学生接收新的知识点后，要打破头脑中原有的知识结构，让原有的知识点与新知识点进行整合，形成新的认知。但是这个过程不是一次完成的，而是要经过多次认证、反复实践来加以完成。而错题集有助于学生运用认知规律，来建立新的知识体系。

2.运用情感因素，树立积极态度

高中阶段的学生，仍处于身心发展的可塑阶段。特别是一些“学困生”、后进生，他们内心也有着强烈的进取观念，但是由于一些主客观因素，导致他们无法成为优等生。错题集的建立，有助于他们养成坚韧不拔的性格，培养踏实、严谨、刻苦的数学学习态度。所以建立错题集，有助于运用情感因素，让学生树立积极的学习态度。

3.通过反思错题，改善学习习惯

在教学中，作者发现不少学生的学习习惯不好，他们没有养成及时复习的学习习惯，题目做完就抛掷脑后，所以重复的错误总会反复出现。而错题集的建立，引导他们养成良好的学习习惯，对出现的错误，及时总结、及时纠正。

4.利用反思错题，节约复习时间

高中三年学习数学的时间较为有限，学生如果反复出现相同的错误，教师就只能反复去纠正、强调，无疑会浪费很多宝贵的复习时间。特别是在高考数学的总复习阶段，更不应该将时间浪费在反复出现的错题上，而错题集就能提升学生课堂及课后的效率，利用错题反思，达到举一反三、节约时间的目的。

二、建立错题集的方法

建立错题集，需要讲究一定的原则，必须要有错必集、及时纠正。哪怕是平日的小作业、小测试中出现了错误，学生也应该马上进行总结、记录。有一些小错误看起来不大，但如果不注意总结，就很可能导致下一次继续犯同样的错误，所以教师要引导学生正确看待小错误，发现错误及时进行纠正。建立错题集的方法主要分为以下三种。

1.分类整理

要对错题进行分类整理，作者建议在每一个错题的边上用红笔标注好类别，比如这道题属于“粗心大意”类，这道题属于“数形结合”类，这样在查看的时候一目了然，并且能够明白自己是在哪一方面知识上出的差错。如果某个知识点错误出现较多，学生可以结合具体情况复习相关知识点，有针对性地进行练习和巩固。

比如有学生将坐标系与参数方程的一些有代表性的错题放在一起进行记录和总结，如下：

例1：参数方程为x=t+y=2（t为参数）表示的曲线是（ ）

A.一条直线 B.两条直线

C.一条射线 D.两条射线

例2：圆ρ=5 cos θ-5 sin θ的圆心坐标是（ ）

A.（-5，） B.（-5，）

C.（5，） D.（-5，）

例3：曲线的参数方程是x=1-y=1-t（t为参数,t≠0），则它的普通方程为 .

学生将上面的例题放在一起，并在解题的时候将填空题、选择题的考查方式也适当进行了变换，如将选择题改成了填空题（将错误答案去掉，担心复习受到干扰）。这样，将一类题放在一起进行错题总结，有助于学生复习的精准性。

2.记录方法

在作业、试卷的讲评中，教师一般都会详细讲解解题的过程，包括考查的内容、思维方法、计算过程等；学生在错题的记录中也应如此，还应附上自己的心得、小结，总结得多了，对知识点就有了更精准的把握。

例4：作一直线l，要求经过点A(-5，-4) ，并且这条直线与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

解：设直线为y+4=k(x+5)，交 x轴于点（-5，0），交y轴于点（0,5k-4）.

S=×-5×|5k-4|=5，40--25k=10.

得25k2-30k+16=0,或25k2-50k+16=0.

解得k=，或k=.

所以2x-5y-10=0，或8x-5y+20=0为所求.

学生在错题集中标注这属于“解析几何”类知识点，这道题对几何、函数、不等式等知识点进行综合考查。解决这一类题的关键在于要巧妙运用整体思维，先观察全局，再从局部入手；既从宏观上把握解题要点，还要运用数形结合的思想，巧妙解题。

随后作者结合学生的错题，又出了一道类似的题：

例5：直线经过点A（1，2），并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有多少条？

解：当截距为0时，设y=kx，过点A（1，2），得k=2，即y=2x；

当截距不为0时，设+=1，或+=1，过点A（1，2）.

得a=3，或a=-1，即x+y-3=0，或x-y+1=0.

这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.

本题相对例4有一点难度，但是经过上一道题目的讲解以及学生对错题的消化，大部分学生都能解出本题的正确答案。

3.错题改编

错题改编环节对学生的要求较高，但是如果能达到这个境界，说明错题已经真正成为学生学习的资源了。本环节的工作量较大，学生可以试着去钻研和领悟。

例6：已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤2p．求a的取值范围.

解：直线l的方程为y=x-a，

得x2-2（a+p）x+a2=0．设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A（x1,y1），B(x2,y2)，

4(a+p)2-4a2>0,x1+x2=a2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,

所以|AB|==

]=.

因为0<|AB|≤2p，8p（p+2a）>0，所以0<≤2p，解得-

学会改编的学生在本环节不仅将详细的解题方法记录下来，而且通过数形结合法画出了函数图。作者发现有些学生还对这道错题进行了延伸：若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求 Rt△NAB面积的最大值为多少？

解：设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x3,y3）， 则由中点坐标公式，得

x3==a+p,y===p,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ为等腰直角三角形，

所以|QN|=|QM|=p，所以S△NAB=|AB|·|QN|=p|AB|≤p·2p=p2，即△NAB面积最大值为p2.

如此的延伸说明学生在整理错题的过程中已进行了深入细致的思考。不过也有个别学生的探究较为浅薄，或是虽然记录了一本“漂亮工整”的错题集，但是不过是将题目进行了“搬迁”，缺少个人的思考和总结。

三、怎样使用错题集

有的学生记录之后就将错题集束之高阁，这样既浪费了时间又没有起到积极的作用。所以作者主张错题集既要展现学生的个性及特点，又要发挥其积极的功效。所以作者建议采用以下几种方法使用错题集。

1.经常阅读

作者主张学生将错题集和教材放在一起，利用课余时间时常翻阅，这样才能常读常新。很多学生会在阅读时又产生一些新的心得体会，这时可以用不同颜色的笔进行标注。

2.同学交流

所谓“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，学生对错误的认识也是各不相同，所以同学之间相互交流错题集就颇有价值，能够便于学生之间取长补短、优势互补。一些学生还可以从别人的错题集中发现一些自己没有意识到的问题，特别是错题改编部分，通过相互交流，有助于开阔学生的思维。

3.师生交流

教师不定期查阅学生的错题集，特别是通过学生自己写的心得体会，及时了解学生的所思所想，了解学生还有哪些困惑、哪些疑问，抽出一些时间，为学生统一解惑、答疑。这样的师生交流有助于真正实现教学相长。

总之，如果能充分利用错题集，让错误成为学习的资源，可以带来很多的优势。作者也在学生们充满个性化的错题集中受益匪浅。方法题中悟，巧用错题集，真正让错误绽放五彩的光芒。

在数学教学中，一个较为常见的现象是学生对于曾经出现的错误，会反复出错，尽管教师再三强调，学生依旧会犯同样的错误。这对于有限的复习时间而言，无疑让人心怀隐忧。其实如果学生每次都能将做错的知识点及时总结、复习，保证下次不再犯同样的错误，学生的数学成绩就会青云直上。所以，教师要引导学生积极建立错题集，将错误转化为学习的资源，巧用错题集，提升学习成效。

一、建立错题集的意义

建立错题集，虽然看起来要花费一些时间，但是其意义和价值不可小视，主要呈现出以下四点意义。

1.运用认知规律，建立知识体系

布鲁纳的认知发展理论一直为一线的教育者所推崇，他提出学习是一种认知过程，学生接收新的知识点后，要打破头脑中原有的知识结构，让原有的知识点与新知识点进行整合，形成新的认知。但是这个过程不是一次完成的，而是要经过多次认证、反复实践来加以完成。而错题集有助于学生运用认知规律，来建立新的知识体系。

2.运用情感因素，树立积极态度

高中阶段的学生，仍处于身心发展的可塑阶段。特别是一些“学困生”、后进生，他们内心也有着强烈的进取观念，但是由于一些主客观因素，导致他们无法成为优等生。错题集的建立，有助于他们养成坚韧不拔的性格，培养踏实、严谨、刻苦的数学学习态度。所以建立错题集，有助于运用情感因素，让学生树立积极的学习态度。

3.通过反思错题，改善学习习惯

在教学中，作者发现不少学生的学习习惯不好，他们没有养成及时复习的学习习惯，题目做完就抛掷脑后，所以重复的错误总会反复出现。而错题集的建立，引导他们养成良好的学习习惯，对出现的错误，及时总结、及时纠正。

4.利用反思错题，节约复习时间

高中三年学习数学的时间较为有限，学生如果反复出现相同的错误，教师就只能反复去纠正、强调，无疑会浪费很多宝贵的复习时间。特别是在高考数学的总复习阶段，更不应该将时间浪费在反复出现的错题上，而错题集就能提升学生课堂及课后的效率，利用错题反思，达到举一反三、节约时间的目的。

二、建立错题集的方法

建立错题集，需要讲究一定的原则，必须要有错必集、及时纠正。哪怕是平日的小作业、小测试中出现了错误，学生也应该马上进行总结、记录。有一些小错误看起来不大，但如果不注意总结，就很可能导致下一次继续犯同样的错误，所以教师要引导学生正确看待小错误，发现错误及时进行纠正。建立错题集的方法主要分为以下三种。

1.分类整理

要对错题进行分类整理，作者建议在每一个错题的边上用红笔标注好类别，比如这道题属于“粗心大意”类，这道题属于“数形结合”类，这样在查看的时候一目了然，并且能够明白自己是在哪一方面知识上出的差错。如果某个知识点错误出现较多，学生可以结合具体情况复习相关知识点，有针对性地进行练习和巩固。

比如有学生将坐标系与参数方程的一些有代表性的错题放在一起进行记录和总结，如下：

例1：参数方程为x=t+y=2（t为参数）表示的曲线是（ ）

A.一条直线 B.两条直线

C.一条射线 D.两条射线

例2：圆ρ=5 cos θ-5 sin θ的圆心坐标是（ ）

A.（-5，） B.（-5，）

C.（5，） D.（-5，）

例3：曲线的参数方程是x=1-y=1-t（t为参数,t≠0），则它的普通方程为 .

学生将上面的例题放在一起，并在解题的时候将填空题、选择题的考查方式也适当进行了变换，如将选择题改成了填空题（将错误答案去掉，担心复习受到干扰）。这样，将一类题放在一起进行错题总结，有助于学生复习的精准性。

2.记录方法

在作业、试卷的讲评中，教师一般都会详细讲解解题的过程，包括考查的内容、思维方法、计算过程等；学生在错题的记录中也应如此，还应附上自己的心得、小结，总结得多了，对知识点就有了更精准的把握。

例4：作一直线l，要求经过点A(-5，-4) ，并且这条直线与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

解：设直线为y+4=k(x+5)，交 x轴于点（-5，0），交y轴于点（0,5k-4）.

S=×-5×|5k-4|=5，40--25k=10.

得25k2-30k+16=0,或25k2-50k+16=0.

解得k=，或k=.

所以2x-5y-10=0，或8x-5y+20=0为所求.

学生在错题集中标注这属于“解析几何”类知识点，这道题对几何、函数、不等式等知识点进行综合考查。解决这一类题的关键在于要巧妙运用整体思维，先观察全局，再从局部入手；既从宏观上把握解题要点，还要运用数形结合的思想，巧妙解题。

随后作者结合学生的错题，又出了一道类似的题：

例5：直线经过点A（1，2），并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有多少条？

解：当截距为0时，设y=kx，过点A（1，2），得k=2，即y=2x；

当截距不为0时，设+=1，或+=1，过点A（1，2）.

得a=3，或a=-1，即x+y-3=0，或x-y+1=0.

这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.

本题相对例4有一点难度，但是经过上一道题目的讲解以及学生对错题的消化，大部分学生都能解出本题的正确答案。

3.错题改编

错题改编环节对学生的要求较高，但是如果能达到这个境界，说明错题已经真正成为学生学习的资源了。本环节的工作量较大，学生可以试着去钻研和领悟。

例6：已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤2p．求a的取值范围.

解：直线l的方程为y=x-a，

得x2-2（a+p）x+a2=0．设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A（x1,y1），B(x2,y2)，

4(a+p)2-4a2>0,x1+x2=a2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,

所以|AB|==

]=.

因为0<|AB|≤2p，8p（p+2a）>0，所以0<≤2p，解得-

学会改编的学生在本环节不仅将详细的解题方法记录下来，而且通过数形结合法画出了函数图。作者发现有些学生还对这道错题进行了延伸：若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求 Rt△NAB面积的最大值为多少？

解：设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为（x3,y3）， 则由中点坐标公式，得

x3==a+p,y===p,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.

又△MNQ为等腰直角三角形，

所以|QN|=|QM|=p，所以S△NAB=|AB|·|QN|=p|AB|≤p·2p=p2，即△NAB面积最大值为p2.

如此的延伸说明学生在整理错题的过程中已进行了深入细致的思考。不过也有个别学生的探究较为浅薄，或是虽然记录了一本“漂亮工整”的错题集，但是不过是将题目进行了“搬迁”，缺少个人的思考和总结。

三、怎样使用错题集

有的学生记录之后就将错题集束之高阁，这样既浪费了时间又没有起到积极的作用。所以作者主张错题集既要展现学生的个性及特点，又要发挥其积极的功效。所以作者建议采用以下几种方法使用错题集。

1.经常阅读

作者主张学生将错题集和教材放在一起，利用课余时间时常翻阅，这样才能常读常新。很多学生会在阅读时又产生一些新的心得体会，这时可以用不同颜色的笔进行标注。

2.同学交流

所谓“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，学生对错误的认识也是各不相同，所以同学之间相互交流错题集就颇有价值，能够便于学生之间取长补短、优势互补。一些学生还可以从别人的错题集中发现一些自己没有意识到的问题，特别是错题改编部分，通过相互交流，有助于开阔学生的思维。

3.师生交流

教师不定期查阅学生的错题集，特别是通过学生自己写的心得体会，及时了解学生的所思所想，了解学生还有哪些困惑、哪些疑问，抽出一些时间，为学生统一解惑、答疑。这样的师生交流有助于真正实现教学相长。

总之，如果能充分利用错题集，让错误成为学习的资源，可以带来很多的优势。作者也在学生们充满个性化的错题集中受益匪浅。方法题中悟，巧用错题集，真正让错误绽放五彩的光芒。