谈高等数学中空间解析几何的教学

汪文军

[摘要]本文探讨在大学高等数学课程中有关空间解析几何的教学。空间解析几何具有高度的抽象性和广泛的应用性。本文主要阐述如何结合数学思想进行解析几何的教学，使学生能有效掌握并收到好的教学效果。

[关键词]空间解析几何 数学思想 空间曲线和曲面

高等数学中关于空间解析几何部分的知识具有高度的抽象性和广泛的应用性。这些都决定了这一部分知识在整个教学中的重要性。要让学生能够牢牢掌握这章知识，教师一定要选择适当的教学方法，使学生对抽象的东西感兴趣。笔者在近几年的教学中，对空间解析几何的教学做了积极的探索。在教学中有一些粗浅想法和初步积累。本文在此作一个总结，抛砖引玉，希望能和各位同仁交流和探讨。

一、 数学思想

数学思想是数学的灵魂。好的数学思想能够为解决问题提供巧妙的方法和崭新的思路。优秀的数学思想往往能让人惊叹于她的美丽。对于我们教师来讲，课前体会数学思想能够更深刻地理解要讲知识的结构和本质。有助于揭开数学的面纱，展示数学的美。对于学生来讲，明白了所学内容的思想，有助于他们对将要学习的知识建立起一个完整的知识框架，并能从一个别样的视角去品味数学之美。

关于空间解析几何这一部分内容的数学思想体现在以下两个方面：

1.一般到特殊，特殊到一般。

自然界是复杂和多样的。当面对现有知识解决不了的复杂问题时，我们应该何去何从？道德经上讲“曲则全”。要解决复杂问题，我们先对问题加限制条件使之简化但不失其原有的特征与本质。也就是我们常说的从一般到特殊的研究方法。我们正是按这一思想方法来理解空间解析几何这一章的知识结构。这一章中，面对空间中的曲线和曲面问题，其一般性和复杂性给解决问题带来了相当大的难度，我们首先将问题特殊化。从研究空间中特殊的曲线和曲面（即空间中的直线和平面）入手。关于空间中的直线和平面，我们得到一套完善的知识理论结构。反过来，有了这些之后，我们可以利用它们来研究空间中一般的曲线和曲面。只需要将曲线或曲面分割，将每一个小段曲线和小块曲面近似的看成是小段直线或小块平面来研究最后去极限即可。后面的过程就是通过特殊的来研究一般的。

2.几何到代数，代数到几何。

回顾数学发展的历史，我们知道解析几何的创始人之一是笛卡尔。那么为什么他的这一创举能够奠定这位众人皆知的伟大哲学家在数学界中不可动摇的地位？在笛卡尔时代，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位，代数仅仅是一个新兴的学科。在创立了坐标系后，笛卡尔成功地创立了解析几何学。本质上，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。它使得几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。反过来，代数的发展和完善为几何的研究勾勒出新的思想和方法。从几何到代数：给了曲面，建立曲面的方程；从代数到几何：已知方程，研究方程表示的曲面的形状。

二、 教学方法

我们课堂教学将时刻围绕着这两种思想来阐述。特别是从几何到代数再从代数到几何的螺旋式上升的思想。比如在这一章中关于曲面的教学中，如果知道了旋转曲面的几何图形，如何利用建立坐标系来推导方程就是几何到代数思想的体现。那么给了一个方程如何用截痕法画几何图形就是应用代数到几何的想法。以平面为例，如果知道平面π中的一个点M0（χ0，у0，z0）和平面π的法向量 ，就可以写平面π的方程形式

A（χ-χ0）+B（у-у0）+C（z-z0）=0.

或者知道平面与各个坐标轴的截距分别为a，b，c，就可以写平面方程的形式

反过来，如果知道了平面π的方程Aχ+Bу+Cz+D=0，我们可以利用平面方程给我们提供的信息来画平面的图形，即法向量 。若A≠0，则平面过点 。已知平面过定点和其法向量就可以确定平面的几何图形了。

另一方面，整章的知识结构就是从一般到特殊的形式。关于从特殊到一般的思想体现可以看后面关于偏微分方程的微分学的知识。

三、 例题讲解

主要讲如何从几何到代数与代数到几何的思想的角度来进行解题。

例.求过点M1（1，1，1），M2（1，2，3）且平行于χ轴的平面方程.

解法一： （利用从几何到代数的思想）

定点就取M1（1，1，1）.只要能够确定所求平面的法向量，就可以确定平面的位置了。法向量 垂直，所以可取法向量为 ， 其中 ，计算得 .

由点法式可知，平面方程为2（y-1）-（z-1）=0， 即2y-z-1=0.

解法二： （利用从代数到几何的思想）

设平面方程为

Aχ+Bу+Cz+D=0， （*）

那么通过方程的形式可以知道平面的法向量 .

又平面平行于χ轴，那么法向量应该于χ轴垂直，故

推得A=0.

因平面过点M1和M2，将这两点的坐标代入平面方程，可得方程组

解方程组可得B=-2D， C=D.

代入方程（*）可知，-2Dy+Dz+D=0.

又平面法向量为非零向量，故常数A，B，C不能同时为零， 因此D≠0.

从而可知平面方程为2y-z-1=0.

四、 总结

本文探讨在高等数学课程中有关解析几何的教学。围绕数学思想来进行教学，使教学中学生能很好的掌握这些知识收到好的教学效果。

[参考文献]

[1]同济大学数学系，高等数学第六版（下册），高等教育出版社，2007.

[2]M·克莱因，古今数学思想，上海科学技术出版社，1979.

[3]齐民友，重读微积分，高等教育出版社，2004.

（作者单位：上海理工大学理学院）