2014年高考复习中空间几何体的关注点

2014-09-19 07:18杨海兰日坛中学北京100025
中学教研(数学) 2014年3期
关键词:棱锥棱柱直角坐标

●杨 平 胡 芳 杨海兰 (日坛中学 北京 100025)

2014年高考复习中空间几何体的关注点

●杨 平 胡 芳 杨海兰 (日坛中学 北京 100025)

高考中的多面体考什么?《普通高中数学课程标准》指出,几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科.人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,并培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学课程的基本要求.影响几何体形状的垂直与平行及其大小的面积与体积、角与距离是必考的内容.

1 影响几何体形状的元素——垂直与平行

在空间点、线、面位置关系问题中,涉及到的垂直与平行元素很多,如线线垂直(有相交线垂直,还有异面直线垂直)、线面垂直、面面垂直;有线线平行、线面平行和面面平行,这些垂直与平行元素又导致几何体的形状特征很特殊,因此,在几何体中研究垂直与平行的价值也就显得更有意义了.

在历年数学高考中,垂直与平行元素是必考的内容之一.

图1

例1如图1,在直棱柱ABC-A1B1C1中,是BC的中点,点 E在棱BB1上运动.证明:AD⊥C1E.

(2013年湖南省数学高考文科试题改编)

解因为 E为动点,所以需证 AD⊥平面CBB1C1.因为 ABC-A1B1C1是直棱柱,所以 BB1⊥平面ABC,且AD⊂平面ABC,得BB1⊥AD.又因为△ABC是等腰直角三角形且D为BC的中点,所以BC⊥AD,从而 AD⊥平面 CBB1C1,又 C1E⊂面CBB1C1,得 AD⊥C1E.

评注此题背景是直三棱柱,直接问题是直线与直线垂直问题,一般通过直线与平面垂直来解决,尤其是异面直线的垂直问题.另外,此题有个隐含条件,即点E在棱BB1上运动,说明C1E是动直线,若要AD与动直线C1E垂直,则AD就需与C1E扫过的平面BCC1B1垂直.

例2如图2,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.证明:PB⊥CD.

(2013年全国数学高考大纲卷文科试题改编)

证明取BC的中点E,联结DE,则ABED为正方形.过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.

联结OA,OB,OD,OE,因为△PAB 和△PAD 都是等边三角形,知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点 O为正方形 ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD,从而PB⊥CD.

图2

图3

评注这个几何体看似不规则,也没有一条侧棱垂直于底面的特征.我们先研究一下底面(如图3),这是一个特殊的直角梯形,有垂直、平行的元素,还有正方形、等腰直角三角形等信息;另外,由题意可得,PA=PB=PD,说明点P在平面ABD上的射影落在△ABD的外心,即Rt△ABD的斜边的中点O.

这个四棱锥P-ABCD也可以是由一个正四棱锥P-ABED和一个三棱锥P-CDE组合而成.

例3如图4,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图5所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'O=.证明:A'O⊥平面 BCDE.

(2013年广东省数学高考理科试题改编)

图4

图5

分析这是一个翻折问题,翻折后得到四棱锥A'-BCDE,翻折后的最终结果是侧面 A'CB⊥面BCDE,怎样才能保证平面与平面垂直呢?这里隐含着A'O⊥平面BCDE,也就是点A'在平面BCDE上的射影落在BC的中点O上.

在翻折前后的不变量有:

因为O是BC的中点,故等腰直角三角形△ABC中,OE=OD,所以△A'OD≌△A'OE.如图 4,在,由余弦定理可得所以

得A'O⊥OD,同理可得 A'O⊥OE,故 A'O⊥平面BCDE.

不难发现,考题中给出的几何体中有三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱,有的棱锥有一条侧棱垂直于底面,有的棱锥是正棱锥与其他棱锥的组合体;柱体中有直棱柱,还有斜棱柱;几何体的底面也是形形色色的.这些都只是载体而已,在内涵丰富的几何体中,巧妙地把影响空间几何体形状的垂直和平行元素蕴含其中,既能考查空间想象能力,又能考查推理论证能力.

2 几何体大小的研究对象——面积与体积、角与距离

除了关心几何体的形状外,我们还关心其大小,常见的大小就是面积与体积、角与距离,涉及到的几何体均为柱、锥、台体或其简单的组合体.

2.1 面积与体积

准确记忆体积公式并观察几何体的特征(形状),进而找到相应的数量关系,是准确求解面积与体积问题的关键.

图6

例4如图6,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2013年数学高考课标卷文科试题)

(1)略.

(2)解取 AB的中点 M,联结 MC,MA1,△ABC与△A1AB都是边长为2的等边三角形,故

评注此题的背景为斜三棱柱,由于有第(1)小题的铺垫,即垂直的元素很多,故找此三棱柱的高相对容易一些.而三棱锥C-ABA1是一个常见的空间四边形模型,即共底等腰三角形,CA=CB,A1A=A1B,常见的处理方法是取底边AB的中点M,联结 MC,MA1,进而证明 AB⊥平面 MCA1.

2.2 角与距离

由于向量的引入,使得空间的角(线线角、线面角、面面角),以及距离就显得轻松了.

图7

例5如图7,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3.求点 B1到平面EA1C1的距离.

(2013年江西省数学高考文科试题改编)

评注这是一个空间点到平面的距离问题,通常的方法为等体积法或向量法,因为此三棱锥恰好在直三棱柱中,且一个面A1B1C1恰位于棱柱的底面,顶点E在另一个底面上,故易求体积,可以考虑用等体积方法;另外,这个几何体为直四棱柱,且,适合建立空间直角坐标系,用向量法求解亦很简单.

图8

例6如图8,在直三棱柱 A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.

(1)求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值;

(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.

(2013年江苏省数学高考试题)

分析此几何体为直三棱柱,且 AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,适合建立空间直角坐标系,并且图中各点均易得到坐标.

解(1)以A为原点、AB所在直线为x轴、AC所在直线为y轴、AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则 A1(0,0,4),C1(0,2,4),A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),故

评注向量法是求解立体几何中的角的问题、距离问题的好方法,思路简洁清晰,建立恰当的空间直角坐标系是关键.

3 空间直角坐标系中几何体的点的坐标与法向量

用向量法求解固然简单,但建立空间直角坐标系后,有些运算需要用到的点却不易求出,导致相应的向量求不出,影响了解题,怎么办?其实解决起来很简单,即利用向量相等的定义,找到与所求向量相等且易求的向量坐标,而有些动点的坐标可利用向量共线的充要条件求解.

例 7如图 9,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面 ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求证:AA1⊥平面ABC;

(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;

(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.

(2013年北京市数学高考理科试题)

图9

(1)(2)略.

(3)证明以A为原点、AC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴、AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(0,3,0),C1(4,0,4),A1(0,0,4).设D(x,y,z)是直线 BC1上的一点,

如何找空间一点的坐标呢?点 A1,C1,B,B1均在坐标平面上,其坐标相对容易找到,而点D不在坐标平面上,就不易找了.注意到一个重要条件:即点D是线段BC1上的动点,由此确定求点D的方案.

方案1求出BC1的方程,进而表示出点D的坐标,但不易实施,因为空间直线方程不好求,需找平面的交线.

方案2利用点D在BC1上,利用三点共线的充要条件,以向量法求解.

图10

例8如图10,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面

(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;

(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.

(2013年陕西省数学高考理科试题)

易知平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为锐角,因此 θ=60°.

评注此几何体中,点 O,A,B,C,D,A1的坐标易求,但点B1的坐标不易求,而在找平面OCB1的法向量时,必须用到点B1的坐标,这个问题是好解决的,因为求法向量时真正用的是向量而不是点B1的坐标,我们发现的坐标易求,同理可得可以用来求.

为了准确快速求解几何体问题,笔者建议:(1)要对形形色色的底面多边形注意研究,如常见的梯形、菱形、等腰三角形,解题时可以将此多边形移出几何体,画出平面图形,找到涉及的平行与垂直元素、数量关系;(2)熟练掌握常见几何体的性质,如正棱锥、直棱柱、正方体、正四面体以及4个面都是直角三角形的四面体;(3)理解概念本质,才能以不变的知识应对百变的试题.

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