选好问题 多元表征 变式拓展 提升能力

●张明远 薛丰满 张 博 (陇西县第二中学 甘肃陇西 748100)

选好问题 多元表征 变式拓展 提升能力

●张明远 薛丰满 张 博 (陇西县第二中学 甘肃陇西 748100)

著名数学教育家波利亚曾说过：“掌握数学意味着善于解题.”善于解题是数学教师必需的基本功，也是数学教学追求的重要目标，更是高三师生共同追求的最高愿望.波利亚也说过：“选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.”这样的问题能让各类学生有工作可干，扩大了课堂上数学活动的参与面;对问题深入研究，将问题多元表征，会有效地扩大知识的联系面;尝试对问题一题多解，体验一题多解成功的愉悦.

教师应有意对问题进行变式拓展，引导学生探究、认识问题本质，在探究中体验数学思想方法的普适面;应恰当地、不露痕迹地帮助学生，顺应学生的“原生态”的思路，对问题多角度思考，广泛联系，并进行类比、拓展、延伸;应有意给学生时间和机会，让学生尝试、交流、展示，是提高解题能力的有效途径.

图1

例1如图1，正方形ABCD的边长为1，延长 BA至点 E，使 AE=1，联结 EC，ED，则 sin∠CED= ( )

(2012年四川省数学高考理科试题)

问题呈现后，让学生阅读题目，独立思考，理解题意，审条件、审结论;广泛联系，由已知看可知，由未知看需知，寻求已知和未知之间的联系.教师要忍得住不讲，在巡视中发现学生的不同想法和解法，让不同层次的学生说自己的思路和展示自己的解法.笔者在课堂中发现了学生们不同的解法，分别展示如下：

生4：(向量的坐标法)分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E( －1，0)，从而

生5：(解析法)同生4的解法建立坐标系，∠CED可以看成是直线EC到直线ED的角，则由到角公式得

学生们展示了7种不同的解法，让师生深感惊讶和满足，笔者引领其他学生欣赏和领略了这7种解法的解题过程，体验了解析法、向量法、三角法与方程思想的数学魅力.接着，趁热打铁，笔者设计了以下2个变式让学生思考，通过类比、思考，上述方法仍然适用.

变式1将正方形ABCD改为矩形，且AB=a，BC=b，AE=c，求 sin∠CED.

变式2将正方形ABCD改为平行四边形，且AB=a，BC=b，∠BAD=θ，AE=c，求 sin∠CED.

笔者适时抛出如下问题，让学生体验解题成功的快乐.

生2：(坐标法)分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，依题意可设A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，从而

图2

图3

在教师的启发下，课后一名学生对例1进行了一般化的研究，现将结果展示如下：

拓展1将2个全等的四边形(正方形、长方形、平行四边形等)拼在一起，联结原来四边形的对角线和拼接后四边形的对角线，求它们之间夹角的正弦值.

(1)2个四边形为全等的正方形.

如图3，正方形ABCD，ADFE拼成矩形BCFE，求正方形对角线DE和拼接成的矩形对角线CE的夹角.

特别地，当a=b，即2个四边形为全等的正方形时，即为拓展1的情形(1).

图4

图5

拓展2将2个不全等的四边形(正方形、长方形、平行四边形等)拼在一起，联结原来四边形的对角线和拼接后四边形的对角线，求它们之间夹角的正弦值.

(1)2个四边形为不全等的长方形.

设AB=a，BC=b，AE=c，则

特别地，当a=b=c，即2个四边形为全等的正方形时，即为拓展1的情形(1);当a=c，即2个四边形为全等的正方形时，即为拓展1的情形(2).

(2)2个四边形为不全等的平行四边形.

针对复习内容和学生实际，在学生的最近发展区，选好题目，关注每个学生的发展，使得课堂不仅仅是培养尖子生的学堂，更是大多数学生学习数学、体验成功的乐园.这一切源于教师的精心选题，扩大了学生在课堂上数学活动的参与面、动手面;也源于教师忍住不讲，有意让学生展示、交流，将体验成功的机会还给学生，使他们真正成为解题的主人、解题的实践者、享受解题成功的愉悦者.学生不再是课堂上的看客，不再是教师表演“绝技”时的欣赏者;陆游说得好：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”经教师的启发、引导，对问题多元表征，扩大了知识的联系;引领学生对问题变式拓展，深入探究，对结果进行恰当的点评，不仅实现了回顾反思，而且达到激发兴趣之目的.在教育教学实践中，体验了“如果教师用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣，并交给他们某些方法”的重要意义.

(本文为甘肃省教育科学“十二五”规划课题“师生活动中生成性教育资源开发和运用的研究”成果之一，项目编号：2012(GSG591).)