例谈高考解析几何复习中题目的运用与讲解

●张传鹏 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

例谈高考解析几何复习中题目的运用与讲解

●张传鹏 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

解析几何是“以代数方法研究几何问题”，具有代数和几何双重学科特点，因此许多学生感觉有点难学，许多教师就让学生通过题海战术加以巩固.其实在解决解析几何问题的过程中，需要提高的不仅是运算技能和对知识本身的理解，更重要的是在这个过程中提升思维能力和养成良好的思维习惯.笔者在高考解析几何复习时对运用题目与讲解题目有以下几点做法，与同行交流.

1 进行题目变式

教师在进行高考复习时，经常会找一些历年高考试题让学生做.高考试题都是经过命题专家精心命制的，里面有许多好题，把这些好题讲给学生听，分析透彻，让学生有所受益.但是笔者认为只是做到这样是不够的，如果能对一些高考试题进行有效的改编，学生对问题将会有更加清晰的认识.

图1

例1如图1，直线y=kx+b与椭圆交于点 A，B，记△AOB的面积为S.

(1)求在 k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值;

(2)当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程.本题是2007年浙江省的数学高考试题，讲解此题后，教师可以继续以下变式：

变式1当|AB|=2时，求S△AOB的最大值.

变式2当点O到直线AB的距离为1时，求S△AOB的最大值.

变式1的2种解法如下：

时，S△AOB的最大值为1.

变式2的解答如下：

解设点O到AB的距离为d，则

通过这样的变式，可以让学生形成较好的认知结构，学生就会对这类最值问题的处理比较清晰，更加了解题目之间的内在联系，知晓数学知识的发生过程、概念的形成过程、结论的推导过程、问题的发现过程、规律的揭示过程、方法的思考过程、揭示知识间内在联系的过程.

2 多角度讲解、剖析

理性思维的形成是以数学题目为载体，在题目的解决过程中形成的.教师在讲解题目时，千万不能直接把答案写在黑板上，让学生看懂就行了，这样的教学过程只注重知识的强化，没有锻炼学生的思维和自主解决问题的能力.教师教给学生的不仅仅是会算，更要会想，要尊重学生的思维习惯，把复杂的问题最大限度地简单化，才是教学的真谛.讲解要多角度，思路自然、清晰，学生更多、更好的解法就会自然生成.

例2 给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于点A，B.

通过分析可以发现l在y轴上的截距就是直线斜率的相反数，因此可以从以下角度来考虑：

角度2利用求根公式，寻找直线斜率与λ的关系

角度3构造对偶式，利用韦达定理

角度4数形结合，利用抛物线定义

图2

过点 A作 AD⊥BB1于点 D，则BD=(λ －1)t，于是在△ABD 中，

3 寻找错解中的闪光点

学生解题有错误很正常，教师要让学生学会主动参与找错、议错、评错、赏错，对学生来说这是一种可贵的成功体验.有时候看似错误的解法中隐藏着教师意想不到的“大智慧”.

图3

(1)求双曲线的方程.

本题是笔者所任教学校一次月考中的试题，其中第(1)小题比较简单，所求双曲线的方程为3x2－y2=12，第(2)题的标准答案如下：

解法1设直线OP的方程为y=kx(k≠0)，联立双曲线方程得

第(2)题学生的得分率非常低，分析错误的原因是很少有学生想到设直线OP的方程为y=kx，而首先想到的是设直线OQ的方程为y=kx+m，与双曲线方程联立后，计算量非常大，导致大多数学生都做不下去.笔者分析了学生的答题情况，顺着学生的思路进行整理，产生了以下解法：

我们发现，解法2是最复杂的，也是许多学生想到的方法，联立后运用韦达定理代入，计算量大;而解法3通过引入点O到直线PQ的距离，使计算得到简化;解法4则有设而不求之感.