用导数研究函数图像与性质时的几个细节
——以2013年部分函数高考题为例

●李金兴 (萧山中学 浙江杭州 311201)

用导数研究函数图像与性质时的几个细节
——以2013年部分函数高考题为例

●李金兴 (萧山中学 浙江杭州 311201)

导数作为研究函数的重要工具，能对一些函数的单调性作“精确”地描述.但导数并非万能，有些函数的导数自身比较复杂，在用导数研究函数的图像与性质时，还需要综合运用“数形结合、等价转化、放缩变换、分类讨论”等方法才能简化解题过程.解决这类问题需要在一些细节的处理上积累经验.本文以2013年部分函数高考题为例，归纳几个使用导数的细节，以期抛砖引玉.

细节1利用图像的对称性，简化解题过程

(1)图像的对称性与函数的极值.

图形直观显示，如果函数y=f(x)的图像关于直线x=x0对称，则x0是f(x)的极值点.利用这一细节，为研究四次函数带来便利.

例1若函数f(x)=(1－x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值为＿＿.

(2013年全国数学高考理科试题第6题)

图1

分析由图像关于直线x=－2对称，易知函数有4个零点：－5，－3，－1，1，从而可设

f(x)=(1－x2)(x+3)(x+5)，即f(x)=(1－x2)(x2+8x+15)，于是f'(x)=－4(x4+6x2+7x－2).又由图像关于直线x=－2对称，易知f'(－2)=0(－2是f(x)的极值点，如图1所示)，因此

反思本题利用四次函数图像的对称性，不仅简洁地求得了解析式，而且克服了对导函数(是一个三次函数)分解因式的困难.由对称性得到－2是函数f(x)的极值点是成功解题的关键.当然，如果不用导数，而用不等式方法也能求出f(x)的最大值，过程如下：

例2已知a∈R，函数f(x)=x3－3x2+3ax－3a+3.

(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;

(2)当 x∈［0，2］时，求|f(x)|max.

(2013年浙江省数学高考理科试题第22题)

分析(1)略.

(2)因为 f'(x)=3(x2－2x+a)，所以

①若a≤0 或a≥1，则f(x)在［0，2］上单调，从而

②若0＜a＜1，则 f(x)在［0，x1］上单调递增，在［x1，x2］上单调递减，在［x2，2］上单调递增(其中而曲线 y=f(x)关于点(1，1)对称，于是f(x1)＞1＞f(x2)且f(x1)－1=1－f(x2)＞0，因此

综上所述，|f(x)|max=max{|f(x1)|，|f(2)|}(如图2和图3所示). (1)

图2

图3

反思在第(2)小题的情况②中，利用图像的对称性得到结论(1)，从而避免了最值可能在x=0或x=x2处取到的讨论，大大简化了解题过程.而化简|f(x1)|得到结论(2)时，合理地代入消元也是运算的关键.

细节2合理代入消元，化简解析式

除了数的计算外，运算能力也体现于式子的运算与化简中.如果对函数(值)表达式的化简过程不合理，也会造成解题的困难.

例3设函数f(x)=x3－kx2+x(k∈R).

(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间;

(2)当k＜0时，求函数 f(x)在［k，－k］上的最小值m和最大值M.

(2013年广东省数学高考文科试题第21题)

细节3讨论字母系数的范围时，先用必要性缩小讨论范围

在确定符合题意的字母系数范围时通常需要分类讨论，如果先用必要性缩小讨论范围，可避免一些不必要的讨论，简化解题过程.

例4设函数 f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(1)求 a，b，c，d 的值;

(2)当 x≥ －2时，f(x)≤kg(x)，求 k的取值范围.

(2013年全国数学高考理科试题第21题)

分析(1)f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，过程略.

(2)取x=－2和x=0时，f(x)≤kg(x)成立，解得1≤k≤e2.设 F(x)=2kex(x+1) －(x2+4x+2)(x≥ －2)，则

由 F'(x)=0，解得 x1= －2，x2= －lnk.

①若k=e2，则 F'(x)≥0(x≥ －2)恒成立，F(x)在［－2，+∞)上单调递增，从而

②若1≤k≤e2，易知 x2∈( －2，0］且 F(x)在［－2，x2)上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增，从而 F(x)≥F(x2).而

因此F(x)≥0成立.

综上所述，仅当1≤k≤e2时符合题意.

反思“取x=－2和x=0时，f(x)≤kg(x)成立，解得1≤k≤e2”缩小了k的取值范围，既避开了排除k＜1或k＞e2所带来的困难，又为讨论指明方向.

细节4利用熟知结论ex≥x+1和lnx≤x－1进行放缩

通过构造函数能证明许多不等式，有些不等式作为经典结论可广泛应用于证明其他不等式，比如结论ex≥x+1和lnx≤x－1，在证明某些不等关系时能出奇制胜.

例5已知函数f(x)=ex－ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性;

(2)当 m≤2时，证明：f(x)＞0.

(2013年全国数学高考理科试题第21题)

分析(1)略.

(2)由结论ex≥x+1，知仅当x=0时等号成立.两边取对数易知lnx≤x－1，从而

仅当m=2，x=－1时2个等号都成立.

因为ex≥x+1与ln(x+m)≤x+m－1≤x+1不能同时取等号，所以

反思严格说来，结论ex≥x+1也需要证明，而结论lnx≤x－1可直接由ex≥x+1变换得到.

细节5转化问题，构造合适的函数

在用导数解决实际问题时需先构造函数.通常同一问题可作系列等价转化，所对应的函数也有系列不同形式，那么采用合理的函数形式便成为解题的关键.

例6若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是 ( )

A.(－∞，+∞) B.(－2，+∞)

C.(0，+∞) D.(－1，+∞)

(2013年全国数学高考文科试题第12题)

解法1设f(x)=2x(x－a)，则

从而f(x)在(－∞，a－log2e)上单调递减，在(alog2e，+∞)上单调递增.因此当x＞0时，

①当a≤log2e时，(x)＞f(0)= －a，若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则 －a＜1，因此 －1＜a≤log2e.

②当a＞log2e时，

因为f(log2e)=e(log2e－a)＜0＜1，所以存在正数x使2x(x－a)＜1成立.

综上所述，a∈( －1，+∞).故选 D.

反思比较上述2种解法可知，解法2采用“分离系数法”转化了函数类型，使所要研究的函数变得简单，从而大大简化了解题过程.

结语解决一个稍难的导数题时往往需要综合运用多种细节技巧，形成一套“组合拳”才能制胜.作为教师，要在解题教学时重点讲解克服解题困难的关键细节，从而让学生更好地领悟方法、提高学习效率.