思维导向的数学导学案设计
——基于一则案例的分析

●唐恒钧 (浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004) ●周柳青 (油川初级中学 浙江永康 321306)

思维导向的数学导学案设计
——基于一则案例的分析

●唐恒钧 (浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004) ●周柳青 (油川初级中学 浙江永康 321306)

基于导学案的教学已成为当下比较流行的课堂教学模式［1］.近几年，笔者在参加浙江省初中的一些教研活动中发现，数学课堂中广泛地应用了导学案.应该说在数学课堂中应用导学案是很有价值的，这与数学这一学科的特殊性有关.首先，“问题是数学的心脏”，学生的数学学习就是在解决数学问题的过程中进行的，导学案则为学生的数学问题解决提供了载体.其次，数学学习需要学生的独立思考，导学案只有问题而没有答案的形式正好为学生的思考提供了合适的载体.

但笔者也发现，目前数学导学案还存在一些问题，特别是一些导学案变成了新的习题册，对学生导学、尤其是思维上的引导功能明显不足.下面以一个典型的导学案为例，分析其在思维引导上存在的不足，并以此为基础探讨改进的策略.

1 “一次函数复习”导学案概述

该课是在学生学完浙教版《数学》八年级“一次函数”一章后的复习课.导学案共包括复习和新知探究2个版块.

复习版块包括2个任务：第1个任务是学案给出6个空白的坐标系，让学生动手画一次函数y=kx+b的大致图像有哪几类;第2个任务是让学生填写以下空格，回顾表达式中k，b与图像有什么联系.

新知探究版块包含2个例题：其中例1是关于单个函数的解析式与图像间的关系，具体包括4个问题.

例1(1)这条直线经过(1，2)和(4，－4)，能求出这条直线的表达式吗?

(注：要求学生完成这一问题后，用4个字总结解这类题的4个步骤.)

这4个问题层层递进，第(1)小题是知道2个点的坐标求直线表达式，第(2)小题是知道表达式求特殊点，第(3)和第(4)小题则更进一步根据y或x的范围求x或y范围.例2的难度进一步提升，由1条直线增加为2条直线，包含2个问题.

例2(1)求直线 l1：y1= －2x+4 与 l2：y2=x－5的交点A的交点坐标：＿＿ .

(2)当x为何值时，①y1＞y2;②y1=y2;③y1＜y2.

2 思维导向视角下的分析与评价

该导学案的知识点遵循了如下设计逻辑：复习一次函数的图像(直线)与表达式间的关系，强化k确定直线方向，b确定直线与y轴的交点位置，k与b共同决定直线经过的象限;其次，例1是复习内容的进一步精细化，讨论通过点的坐标求直线的解析式，通过解析式求特殊点以及点横纵坐标的关系;再次，例2进一步讨论2条直线之间的关系，包括交点坐标、同一横坐标下纵坐标之间的关系等.因此，该导学案所建构的知识结构是清晰的、逐步推进的，这对于学生已有知识的整理是很有帮助的.

若进一步从数学思维角度看，则存在值得探讨的问题.第一，导学案都是以封闭问题出现.杨玉东博士曾将数学课堂上的问题分为指向教学内部的问题和指向教学外部的管理性问题，并将指向内部的问题细分为“旨在获得结论的问题”和“旨在引发思考的问题”.本学案中的问题均是旨在获得结论的问题.因此，学习结果是多数学生能解决问题，并获得相应结论，但对于为什么要解决这些问题并不清楚.比如，学生也许并不清楚例1中为什么要给出2个点的坐标，至少不会有意识地从解析式、方程等角度理解这一条件的必要性.具体地，学生并不能用“待定系数法解方程”这一角度来理解以下关系：有2个未知数k和b，就需要构造2个方程，从而需要给出2个点的坐标.事实上，相比于单纯地求出直线方程的学习结果，这一理解更具教育意义和数学方法论意义.后者在后续的学习中具有通用性.因此，在数学导学案的问题设计时应尽量采用开放式的、文字性的问题，在为学生提供思维背景的基础上，通过问题驱动学生的思考.这也是有学者提出的数学导学案应该具备的发展性特点［2］.

第二，尽管教师在设计导学案时具有清晰的数学知识逻辑，但由于学案问题过于封闭，这种知识逻辑被掩盖在题目背后.学生通过该学案的学习，并不能理解与体会教师所设计的思维逻辑.事实上，就学生数学素养的发展而言，这比单纯会解这些问题和获得结论性的认识更为重要.这是因为，上述知识的内在逻辑其实是思考数学问题的一般过程，这些内容的体验与学习将有助于学生数学活动经验的丰富和数学思维的提升.因此，在学案设计中要让学生体会数学思考的脉络，学会用具有普遍意义的数学视角思考问题.比如，该课要让学生体会到函数研究的一些基本视角：既然初中函数讨论的是2个变量之间的依存关系，则研究函数就要分析当自变量取特殊值或具有某种特定的变化趋势时，应变量的取值或变化特点;函数可由3种方法来刻画，考虑这3种方法之间的相互转化;在考虑单个函数的基础上，还要分析多个函数之间的关系，等等.同时，在问题链的设计中要蕴含数学思维，比如这节课中反复应用的数形结合思想，在用图像讨论解析式特点时用到的分类比较思想、从特殊到一般、从一般到特殊的思想等.

此外，从某种程度而言，导学案是为学生的自主学习设计的，是为学生的学服务的，因此导学案的表述应考虑这一特点.导学案不能只有数学问题，而需要一些铺垫性的语言，来引导学生的数学思考或为学生的数学思考提供脉络.

3 基于思维导向的“一次函数复习”导学案

这一章中我们学习了一次函数的相关知识.函数实际上是研究一个变化过程中，2个变量之间的依存关系，即对于x，y这2个变量，当x取每一个确定的值时，y都有唯一确定的值.函数有3种表示方法：解析法、图像法和列表法.一次函数的一般的解析式为y=kx+b，图像为一条直线.

问题1由一次函数的图像，你能获得什么结论?

问题1-1(出示一个经过第一、二、三象限的一次函数图像，图略.)从x和y的关系出发，你能得到哪些结论?

结论预设这是一次函数y=kx+b.

问题1-2你还能画出哪些一次函数的图像?有哪些结论?

结论预设学生根据平移图像等方法，获得相关的结论.其中一个特殊情况为图像经过原点时，函数为正比例函数，由此使学生认识到正比例函数是一次函数的特殊情形.

问题2刚才是用函数图像来理解函数的性质，特别是解析式中k，b的取值问题.可见函数的几种表达式之间是内在一致的，且可以相互理解.在小学时学习过“2个点确定1条直线”，你能用一次函数的图像与解析式作进一步理解吗?

问题2-1为什么要给出2个点的坐标才能确定1条直线呢?

结论预设学生利用待定系数法从求方程的角度理解这一问题.

问题2-2你能自己设定2个点的坐标，并求经过这2个点的直线表达式吗?

问题3刚才研究的是坐标系中只有1条直线的情况，现在让我们来研究2条直线的情况.2条直线有哪些可能的关系?如果用解析式来理解，有什么结论?

问题3-1如果设2条平行直线的解析式分别为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2，你能获得哪些结论?

问题3-1-1k1与k2之间有什么关系?

问题3-1-2b1与b2之间有什么关系?

问题3-2如果设2条相交直线的解析式分别为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2，你能获得哪些结论?

问题3-2-1交点坐标是什么?

问题3-2-2在交点右边，当x取某一确定值时，y1与y2的关系如何?

问题3-2-3在交点左边，当x取某一确定值时，y1与y2的关系如何?

［1］谭瑞军.数学“导学案”教学的再思考［J］.教学与管理，2013(1)：49-51.

［2］陈蓓.数学学案教学研究综述［J］.教育实践与研究，2011(12B)：42-46.