小型航天器浸入与不变自适应反步姿态跟踪

张 超，张胜修，蔡光斌，侯明哲

(1.第二炮兵工程大学控制工程系，710025西安;2.哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心，150001哈尔滨)

随着航天器应用领域的不断扩展，对小型低造价航天器的需求逐步提升，而小体积低造价意味着航天器控制能力有限且更易受干扰的影响，这就要求姿态控制系统在不断增强鲁棒性的同时考虑控制饱和的影响.目前，广泛研究和应用于非线性航天器姿态控制的方法主要有动态逆［1-2］，滑模变结构控制［3-4］和反步法［5-8］.因为反步法没有时标分离的假设和抖振现象，且递推过程基于具有严格收敛和稳定性的Lyapunov函数，在增强控制鲁棒性和自适应性方面，反步法的结构也具备很大的灵活性［9］，所以本文选择反步法设计基础姿态控制器.

对于受多种不确定性因素影响的在轨航天器控制问题，可采用两种自适应反步结构以提高控制器的性能:一是基于调节函数的自适应反步(adaptive backstepping with tuning functions，TFAB)，该方法通过Lyapunov函数的递归推导来构造不确定参数的自适应律，克服了过参数化估计问题，具有强稳定性，但更新律结构和控制律形式复杂，特别是参数估计不能保证真值收敛，且系统动态与参数更新律动态强耦合，不可预知的参数更新动态可能导致非期望的闭环瞬态响应，因而对于复杂系统，TFAB控制器参数调节困难［9-10］;二是基于估计的分块自适应反步(modular adaptive backstepping)，分别设计鲁棒控制律和非基于Lyapunov的估计器，如正交最小二乘估计器等［5-6，11］，估计器直接在线估计并补偿不确定性的影响.但对于非线性系统，由于难以保证确定等价原则，所以需要引入非线性阻尼项以克服参数估计的时变特性，然而非线性阻尼导致了不期望的高增益控制，可能引起数值稳定性问题，且闭环系统的输入-状态稳定性相对于方法一来说也损失了强稳定性.

最近，文献［10，12-14］提出了一种新的基于系统浸入和流形不变(I＆I)的非线性自适应控制和状态观测器设计方法，对于参数严反馈系统该观测器可用于对未知参数进行估计，并使参数估计误差具有期望的一致稳定动态，因而闭环系统具有控制与估计两个稳定系统级联的分块自适应控制结构，相对前述传统自适应反步法，其参数调节更容易，且不需要非线性阻尼项，极大的改善了自适应系统的性能.因而，本文基于I＆I设计非线性估计器对“总干扰”(外干扰和惯性参数摄动引起的干扰力矩)进行实时估计补偿，以提高反步控制的鲁棒性和精度.

由于航天器作动器物理饱和与系统状态约束的存在会严重降低闭环系统的性能，所以在设计控制器时还必须考虑输入受限问题［3，7，15］.本文采用指令滤波反步法［16］(command filtered backstepping，CFBS)设计反步控制器，通过指令滤波器来施加系统状态和控制输入的幅值及速率约束，并对跟踪误差进行修正以消除饱和约束对跟踪误差收敛性的影响，同时得到虚拟控制量导数以简化设计过程.最后，将本文基于I＆I的分块自适应约束反步控制器(I＆I based modular adaptive constrainted backstepping，IIACB)与非自适应的CFBS和基于调节函数的约束自适应反步控制器［17］(constrained adaptive backstepping，CABS)进行比较仿真，验证了本文方法在小型航天器高精度姿态控制中的有效性.

1 航天器MRP姿态模型

修正罗德里格参数(MRP)是通过投影法由四元数推出的描述姿态运动的三参数全局非奇异方法，能够表示|θ|＜360°的特征轴转动，参数较少，计算量小［18］.

1.1 姿态运动学方程

假设航天器在圆轨道上运行，则轨道角速率n为常值，由MRP表示的姿态运动方程为

其中:σ =［σ1σ2σ3］T∈R3为MRP姿态参数向量(文中‖·‖表示向量的2范数或矩阵的诱导2范数);N(σ)为MRP运动学矩阵;Ⅰ3×3是3×3单位矩阵;ω =［ω1ω2ω3］T∈R3为航天器相对于惯性系的角速度向量;ci(σ)，i=1，2，3是MRP方向余弦矩阵C(σ)的第i列向量，

C(σ)表示如下:

Sζ表示如下反对称矩阵:

1.2 姿态动力学方程

刚体航天器向量形式的欧拉转动方程为

其中:M=(Tg+Tc+Td)∈R3为航天器在本体坐标系上所受的总外力矩，Tg=3n2Sc3J0c3为非均匀重力场引起的重力梯度力矩，Tc为执行器控制力矩，Td=TdI+TdEX为总干扰力矩，TdI及TdEX分别表示惯性参数摄动引起的干扰力矩部分和受到的环境外干扰力矩部分;J0∈R3×3为航天器对称正定惯性张量矩阵的已知测量部分，则航天器标称姿态动力学方程为

其中未知干扰力矩Td的系数项J-10是常值回归项．

1.3 干扰力矩有界性

针对航天器姿态数学模型(1)和(3)，在全局范围内作如下假设:‖Td‖≤Mm，≤Mr成立，即时变的总干

假设1［19-20］存在正常数 Mm和 Mr，使得扰力矩Td及其导数是有界的．

假设1表明干扰属于有界慢时变形式，在实际航天背景下，航天器所受空间干扰项，包括了地球引力摄动、大气阻力、太阳光压以及日月三体引力等因素，这些因素取决于空间环境、轨道参数及星间相对状态等，可以在具体应用背景下通过相应的模型获得其大小［21］，虽然不同外干扰的大小差别很大，但是与航天器姿态控制力矩相比他们都非常小.文献［22-23］指出:一般在控制器设计中可将其作为有界的未知项处理，并通常具有偏差项与周期项相加的形式.因此，本文对Td中常值惯性张量偏差引起的干扰力矩TdI及其导数有界性进行证明．

在证明之前，首先给出以下2范数的定义和性质:向量 v∈Rn的2范数定义为，‖v‖ =，矩阵A∈Rm×n的诱导2范数为，并且对于有界的矩阵A和向量v满足如下性质:

其中γ为有限的正常数．

进一步对于向量的叉乘运算使用2范数可得

其中w∈Rn．

惯性张量模型由J=J0+ΔJ表示，其中J是实际惯性矩阵，J0和ΔJ分别表示已知测量部分和常值惯性张量偏差，进一步将实际惯性矩阵的逆用J0表示为J-1=J-10+ΔJ*，由式(3)可知，实际的航天器动力学模型应为

将上式中的不确定项分离并整理可得

可见，由惯性张量常值偏差ΔJ引起的干扰力矩TdI是时变的，可以用I＆I观测器进行估计．由于J和J-1均为有限常值非奇异矩阵，取式(7)的2范数并利用范数性质式(4)～(5)可得

其中γi为有限正常数．由于特征轴转动|θ|＜360°，MRP满足|σ|2＜ 1，因而向量ci(σ)，i=1，2，3有界，又因为在反步控制器设计中利用指令滤波器施加了控制输入Tc与状态ω的幅值饱和限制，所以Tc和ω均有界，因而从式(8)可知TdI有界．进一步TdI的时间导数为

对上式同样取2范数可得

其中γi为有限正常数，由于指令滤波器同样施加了速率限制，所以保证了和c的有界性．而由方向余弦矩阵(2)的泊松运动微分方程［18］

假设2 参考指令信号及其一阶导数存在且有界.

在实际跟踪控制系统中，参考指令信号通常均有界.将参考指令进行一阶滤波形成新的参考指令，则可使得其一阶导数存在且有界.

假设3 系统状态(姿态角σ，角速度ω)完全可知．

由于本文研究状态反馈控制律设计，所以提出该假设，实际工程中航天器姿态角和角速率也是可测的.

至此，本文控制器设计目标为:针对式(1)和(3)组成的6阶非线性严格反馈MRP模型，设计控制律Tc，使得在系统不确定性和干扰条件下航天器姿态σ跟踪光滑参考指令σr，闭环系统全局稳定且当t→∞时跟踪误差zi(i=1，2)收敛于包含零的可任意小的邻域内．

2 I＆I自适应反步控制

2.1 反步控制器设计

考虑系统(1)和(3)，首先定义跟踪误差向量

其中:x2，c是实际内环参考角速率，x2，c及其导数2，c可通过对= α1- χ2指令滤波后获得(α1是设计的内环虚拟控制律，χ2是由于滤波作用而定义的修正项)，对于文献［16］的指令滤波器可采用如下离散形式:

跟踪误差式(10)、(11)的动态为

为消除饱和约束对跟踪误差的影响，进一步定义修正跟踪误差为

注1虽然式(15)中z1，z1，χ1都是MRP表示的角度，但当参考指令连续光滑时，z1较小，且合理设计指令滤波器可使χ1比z1更小，因而可不采用形如式(10)的MRP代数运算，直接相减进行合理近似.

带饱和约束的指令滤波对跟踪误差z1、z2的效应由如下稳定线性滤波进行估计，即修正项χ1、χ2满足

至此，未经滤波的初始控制律设计为

其中增益矩阵k1，k2＞0，通常可选择内环增益k2大于外环增益是“总干扰”力矩估计值．实际执行器饱和约束下的控制力矩Tc由通过(12)指令滤波获得．

2.2 Ⅰ＆Ⅰ估计器设计

I＆I是利用定义的不变流形使得所有流形面上的解都收敛于平衡状态，为此，I＆I使用闭环目标动态来合理设计自适应控制的估计律［14］.对于航天器姿态模型，干扰项仅存在于动力学方程(3)中，首先定义流形外的估计误差为

代入动力学方程(3)，控制律(19)和修正项动态(17)，则d的动态为

消去式(21)的已知部分，则定义估计律为

这使得误差系统式(20)具有如下动态:

由于式(3)中回归函数J-10是常值，所以由文献［10］可知，β(ω)存在如下解:

其中γ＞0是估计增益，代入式(23)可得

至此，式(22)、(24)构成 I＆I估计律，式(25)是估计误差动态，且以下稳定性引理成立.

引理 对于误差系统式(23)和形如式(24)定义的光滑函数β(ω)，在假设1成立的条件下，估计误差动态式(25)一致全局有界，其解渐进收敛于集合S，

可见，当Mr，J0一定时的上界可以通过选择充分大的γ而任意小，即估计值d+β(ω)趋近于真值Td，并且注意到I＆I方法的特点，该结论的成立是独立于控制律设计的.

3 闭环稳定性证明

首先，分析闭环系统修正跟踪误差式(15)的动态，由式(13)可知:

进一步代入式(16)、(18)可得

同理，由式(14)、(17)、(19)可得

至此，选取闭环系统的Lyapunov函数如下:

其沿估计误差动态式(25)，修正跟踪误差动态式(29)、(30)的时间导数为

由式(27)可知

其中Λ =ΛT＞0，且如果满足如下条件:

则式(31)为

为使得增益γ满足条件(32)，且无需显式计算Λ，将式(32)两不等式结合可得

最终，小型航天器IIACB分块姿态控制结构框图如图1所示.

图1 I＆I分块自适应约束反步姿态控制框图

4 仿真结果与分析

针对航天器姿态机动，本文分别基于文献［16］带饱和约束的非自适应 CFBS，文献［17］中自适应的CABS以及本文的IIACB进行仿真比较.

CFBS控制器与IIACB的控制器部分相同，而由于干扰力矩的时变性质，CABS控制器的内环控制律需要增加非线性阻尼项来克服估计误差，以使得闭环系统输入 -状态稳定［24-25］，其中κ =κT＞0为鲁棒增益，而其调节函数估计律由修正跟踪误差z2驱动，如式(35)，增加光滑投影算子［26］Proj(·)用于保证估计误差有界，Γ＞0为自适应增益，

其中:δ＞0为小的常值;M是超球面集半径;τ表示估计律．

航天器轨道角速度n=1.078×10-3rad/s，惯性张量J=J0+ΔJ，Jii表示 J的第 i个对角元素［1］．

Td为航天器本体轴上的外干扰力矩［1］，且

航天器参考姿态分为重定向和扫描机动两部分.初始姿态σ0=［000］T，目标姿态为

为说明饱和约束的影响，首先，航天器从初始姿态σ0重定向到目标姿态σ1，过渡过程采用角速率1.5(°)/s并经一阶低通滤波的斜坡参考信号，其次，在目标姿态σ1与σ2之间进行周期T=110 s，峰峰振幅40°的正弦扫描机动.仿真步长0.01 s.为平等比较，CFBS，IIACB内环控制律同样加入非线性阻尼，并选择三种控制器具有相同的控制增益，

由于I＆I估计器是根据闭环动态设计，并使得闭环系统为两稳定系统的级联分块结构，所以相比于CABS，I＆I自适应设计参数调节更容易，增大观测器增益γ不仅使估计更快，而且能改善闭环动态性能(实际仿真误差还受限于由数值稳定性决定的时间步长).由估计误差上界式(26)和参数条件式(34)可知，γ的选择与名义航天器模型惯性矩阵J0及控制增益k2的大小有关，所以选择I＆I估计器参数为γ=50．

对于调节函数估计律式(35)，虽然仅要求增益Γ为正，但如引言对TFAB的论述，闭环瞬态性能受估计误差影响，所以Γ选择过小则系统性能降低，选择过大则系统出现震荡，经反复调整，调节函数估计增益为Γ=diag{6，6，6}·J0．

根据执行器物理约束及航天器所载仪器对其状态的限制［27］，指令滤波器参数为:内环x2，c限幅1(°)/s，速率限制0.2(°)/s2，控制力矩Tc限幅0.05 N·m，速率限制5(N·m)/s.由于约束自适应反步法(CABS)使用指令滤波器施加了控制力矩的约束限制，避免了闭环系统在约束条件下不稳定，所以可以适当放宽选择投影算子的参数M=0.1 N·m和δ=0.001 N·m，使得估计律能够更准确的估计干扰力矩的大小，以提高闭环的干扰抑制性能.

仿真结果如图2～6所示，其中，IIACB姿态跟踪如图2(a)和图3(a)所示，图2(b)和图3(b)给出了CFBS，CABS和IIACB的跟踪误差比较，θe=4arctan(‖σe‖)为式(37)所示特征轴转角θ的跟踪误差，‖ωe‖为角速率跟踪误差的2范数．

图2 MRP姿态角跟踪

图3 姿态角速度跟踪

图4 IIACB 控制力矩变化

图5 Ⅰ＆Ⅰ估计器干扰力矩估计

可以看出在给定输入状态约束下，尽管航天器跟踪设计的参考姿态出现了角速率和控制力矩饱和，由于引入了指令滤波和修正跟踪误差，3种控制器均能实现稳定跟踪，但非自适应的CFBS对惯性参数摄动和周期性干扰的抑制能力较弱，并且受外加常值干扰的影响，θe和‖ωe‖均产生了稳态跟踪误差，自适应控制器 IIACB和CABS跟踪效果更好，但相比之下CABS内外环跟踪误差较大，而IIACB的跟踪更精确，性能主要受饱和约束影响.

上述定性分析的结论，可以使用均方根RMS(root mean square)进一步定量比较三种控制器的姿态跟踪误差和干扰估计误差，如表1所示.

表1 控制器性能比较

从图4控制力矩变化可知，IIACB控制律对干扰的抑制并不以较大的控制量为代价，定义航天器能量消耗的量度如下［18］(单位J):

其中ωi和Tci分别表示角速率ω和控制力矩Tc的第 i个分量，则 PCFBS=0.280 3，PCABS=0.277 6，PIIACB=0.276 1，IIACB能量消耗更小.

从图5I＆I观测器对干扰力矩的估计可以看出(图5(a)中Tdi表示干扰力矩Td的第i个分量)，其能迅速准确地跟踪“总干扰”的变化，所以干扰补偿更有效，而CABS的调节函数估计律由Lyapunov函数得出，以保证闭环系统稳定为前提，估计性能不可预知，其干扰力矩估计d如图6所示，可以看出的分量和耦合，整体估计效果较差，两者估计误差d2范数的均方根比较见表1．

5 结论

1)本文针对小型刚体航天器在模型不确定性、外部扰动和饱和约束情况下的姿态跟踪问题，利用反步法和I＆I理论，在MRP描述的数学模型基础上，设计了分块自适应约束反步姿态跟踪控制器;利用Lyapunov理论证明了闭环系统输入状态稳定和估计误差的收敛性.

2)由于I＆I估计器具有独立于控制律设计的稳定性，使得反步控制器和I＆I观测器组成分块自适应控制结构，相比传统自适应反步法，其调节更容易且闭环瞬态性能不受估计律动态的影响.

3)在反步控制中引入了指令滤波器，很好地解决了状态执行机构饱和约束条件下的姿态机动问题和传统反步法虚拟控制导数的计算膨胀问题.

4)比较仿真表明，由于I＆I估计器的稳定性质和对干扰的准确在线估计补偿作用，姿态控制的鲁棒性和精度显著提高.

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