对“一腰长等于两底之和”梯形性质的探究

王琦

〔关键词〕 数学教学；梯形；性质；探究

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）18—0123—01

梯形是在学生了解了相交线、平行线、角、三角形、平行四边形等相关知识的基础上进行研究的一类特殊四边形，它实际上是前面这些内容的综合和拓展.笔者对人教版八年级教材上设置的一类特殊梯形问题进行了一些探究，有一些心得，与各位同仁交流.

问题1：如图1，AB//CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.

问题2：如图2，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB+CD=BC，E是AD的中点， 求证：BE⊥CE.

一、解析

两个问题在求证结论或已知条件中均有式子BC=AB+CD，由此猜想它们之间是否有某种联系？

问题1：如图3，在线段BC上截取BF=AB，连接EF.由AB=BF，∠1=∠2，BE公用，知ΔABE≌ΔFBE（SAS），所以∠AEB=∠FEB，AB=BF，AE=EF①；由AB//CD知∠ABC+∠BCD=180°，又BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠2+∠3=90°，由此∠BEF+∠FEC=90°，那么∠AEB+∠DEC=90°.联系∠AEB=∠FEB可得∠FEC=∠DEC.再由∠3=∠4，CE公用可知ΔFEC≌ΔDEC（ASA），所以FC=CD，EF=ED②.所以BF+FC=AB+CD，即BC=AB+CD.

问题2：如图4，延长BE交CD延长线于点F，由AB//CD得∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，由E是AD的中点得AE=ED，因此ΔABE≌ΔDFE（AAS），所以AB=DF，BE=EF，所以CF=CD+DF=CD+AB.已知BC=AB+CD，故BC=CF，即ΔBCF是等腰三角形，由BE=EF得CE⊥BE（三线合一）.

二、归纳

1.解法比较.问题1采取“截长法”，综合运用平行线的性质，角平分线定义，等角的余角相等等知识点，通过两次三角形全等证明了结论； 问题2采取了“补短法”，综合运用垂线性质，线段中点定义，通过三角形全等证明新构造的三角形为等腰三角形，再根据三线合一性质证明结论.

2.内在联系.问题1的题设是“在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上”，结论是“（1）BC=AB+CD；（2）E是AD的中点；（3）BE⊥CE”；问题2的题设是“在梯形ABCD中，AB//CD，BC=AB+CD，E是AD的中点（点E在AD上）”，结论是“（1）BE平分∠ABC，CE平分∠BCD；（2）BE⊥CE”.很显然，有下列关系存在：在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上? BC=AB+CD 且E是AD的中点，可见，它们是一对互逆命题.由以上讨论知道，它们都是真命题.现概括如下：

定理1：如果梯形同一腰上两个内角的平分线交点在另一腰上，那么此梯形一腰长等于两底之和，两内角的平分线的交点是另一腰的中点.

定理2：如果梯形一腰长等于两底之和，那么该腰端点与另一腰中点的连线必平分同一腰上的两个内角.

三、拓展

1.面积公式和中位线长.S梯形=腰长×高=中位线×高，其中位线长=腰长.

2.面积恒定与上下底长的可变性.对一般梯形而言，高不变时，如果上下底长度至少有一个量变化，则其面积会随之变化；对满足定理1、2的特殊梯形，当高不变时，如果把“另一腰”绕它的中点E顺时针（逆时针）方向旋转，它的面积恒定不变.

编辑：谢颖丽endprint