对沪科版教科书多普勒效应演示实验的定量思考

田阳阳

(仪征市第二中学，江苏 扬州 211400)

沪科版普通高中课程标准实验教科书物理选修3-4第2章机械波的第5节多普勒效应中，分别按照观察者不动声源运动和观察者运动声源不动两种类别编排了2个演示实验.现对这两个演示实验定量思考如下.

图1

实验1.将一个哨子系在约1.5m长的细绳一端，另一端系在手上，让手臂晃动，使哨子在我们头上旋转.另一些人坐在凳子上，聆听哨声的音调变化情况.相互交换一次，亲身体验一下.(如图1所示)

(1)坐在凳子上的学生听到的哨声音调的变化规律.

如图2所示，设坐在凳子上的学生耳朵所在位置为B点，耳朵到哨子运动平面的距离h=1 m.哨子逆时针转动，取哨子经过A位置为计时起点，经过时间t哨子转动θ角运动到C点.设哨子发声频率f0=1000Hz，其圆周运动的速度为v，半径为r=1.5m，周期T=1s，声速vS=340 m/s.则由多普勒效应公式［1］可得坐在凳子上的学生听到的频率

其中α为v与CB之间的夹角.为计算需要我们在速度v的延长线上取一点D，使CD=r=1.5m，如图2所示.

图2

在△AOC中由余弦定理得

在△BAC中由勾股定理得

在△ACD中由余弦定理得

在△BAD中由勾股定理得

则在△BCD中由余弦定理得

将(7)式代入(1)式得

图3

(2)演示者听到的哨声音调的变化规律［2］.

图4

实验2.两位学生相隔一段距离(约10m)，一人手持小收音机播放音乐(或吹口哨)，另一人坐在秋千上来回摆动(如图5所示)，经过图中A、B、C、D、E 不同位置，体会一下音调是如何变化的.

如图6所示，设秋千绳长L=10m，初始摆动位置OP与竖直方向OR夹φ=为简单起见，设声源(小收音机)处在半径为L的圆周的M点，OM与OP夹

图5

图6

设坐在秋千上的人的质量为m，从静止开始沿顺时针运动，运动到与OP关于OR对称的OT位置，然后沿逆时针方向再次运动至OP位置，完成一个周期的运动.

解得

由几何关系易知

则由多普勒效应公式可得坐在秋千上的人听到的频率为

取 f0=1000Hz，声速 vS=340m/s，g=10m/s2，L=10m 代入(13)式得

图7

解得

由几何关系易知

则由多普勒效应公式可得坐在秋千上的人听到的频率为

取 f0=1000Hz，声速 vS=340m/s，g=10m/s2，L=10m 代入(18)式得

由Mathematica软件可以画出0≤θ≤π内f随θ变化的函数图像，如图8所示，此为一个周期T内f随θ变化的函数图像.由图像可见，θ=0时，f=f0=1000Hz(此时v人=0);在0＜θ≤内，f随角度θ的增大先减小到最小值，然后逐渐增大，至θ=时增大到初始值f=f0=1000Hz(此时v人=0);然后随θ的增大而继续增加至最大值后又逐渐减小;至θ=π时，f=f0=1000Hz;此时坐在秋千上的人回到起始位置P，完成了一个周期的运动.

图8

由Mathematica软件可以求出当θ=0.64663rad(约为37°)时 f取最小值;当θ=2.49496rad(约为143°)时f取最大值.

从图8很容易得到坐在秋千上的人经过图中A、B、C、D、E不同位置时音调是如何变化的.

当人沿顺时针方向经过 E、D、C、B、A时，从 E到 D，f逐渐减小，至DC之间某位置时达到最小值;然后从该位置经C到B再到A，f逐渐增大.

当人沿逆时针方向经过A、B、C、D、E时，从A到B再到C，f逐渐增大，至CD之间某位置时达到最大值;然后从该位置经D到E，f逐渐减小.

1 刘林.用多普勒声纳测量轮船的航速［J］.物理教学，2011(8):37.

2 田阳阳.对一个演示实验的思考［J］.物理教学，2010(8):32.