ρ－混合序列部分和之和乘积精确渐近性的一般形式

邹 广 玉

（长春工程学院 理学院，长春130012）

0 引言与主要结果

部分和之和乘积理论在破产理论记录值分布中应用广泛，对其极限性质的研究已取得许多结果.文献［1］得到了ρ－混合序列部分和之和乘积的渐近分布；文献［2－3］分别得到了相伴及α－混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理等.精确渐近性［4－9］是近年发展起来的研究热点，但关于部分和之和乘积的精确渐近性却鲜有报道.本文讨论ρ－混合序列部分和之和乘积精确渐近性的一般形式.

定义1 设A和B是两个σ域，记Fba＝σ（Xt，a≤t≤b）.定义

本文假设以下条件成立：

（H1）g（x）为［n0，∞）上具有非负导数g′（x）的可导的正函数，且满足g（x）↑∞，x→∞；

本文主要结果如下：

其中N表示标准正态随机变量.

注2 满足假设条件（H1）～（H3）的g（x）有很多，可取g（x）＝xα，（log x）β，（loglog x）γ等，其中α＞0，β＞0，γ＞0为某些适当的参数.

1 引 理

证明：注意到b1，n～log n，由文献［1］中引理2.4易证结论成立.

2 定理的证明

2.1 定理1的证明

令b（ε）＝［g－1（ε－r）］，其中g－1（x）为g（x）的反函数，r＞1／s.

命题1 在定理1的条件下，有：

证明：只证明式（4）成立.式（5）的证明类似.考虑积分和级数之间的关系.如果φ（y）单调非增，则φ（y）P｛N≥εgs（y）｝也单调非增，从而有

进一步有

因此

再由式（6）可知

为简便，下面省略φ（x）的讨论过程.

命题2 在定理1的条件下，有：

证明：只证式（8），式（7）可由式（8）推得.由引理1知

命题3 在定理1的条件下，有：

证明：只需证明式（10）成立，由式（10）可直接推得式（9）成立.由于当n＞b（ε）时有εgs（n）＞ε1－rs.利用L’Hospital法则，并注意到r＞1／s，类似命题1的证明，有

命题4 在定理1的条件下，有：

证明：由于由式（12）可直接推得式（11）成立，因此只需证明式（12）成立即可.由于当n＞b（ε）时，有εgs（n）＞ε1－rs，因此要证明式（12）成立，只需证明下式成立即可：

而对任意的x＞－1，都有log（1＋x）≤x.因此要证明式（12），只需证明下式成立：

从而命题4成立.

由命题1～命题4及三角不等式可证明定理1成立.

2.2 定理2的证明

令d（ε）＝［g－1（Mε－1／s）］，其中g－1（x）为g（x）的反函数，M≥1.

证明：类似命题1的证明，考虑积分和级数之间的关系.如果h（y）单调非增，则h（y）P｛N≥εgs（y）｝也单调非增，从而有

进一步有

命题6 在定理2的条件下，有

证明：由引理1，注意到假设条件（H1）和（H2），与命题2的证明过程类似可证.

命题8 在定理2的条件下，有

证明：与命题4的证明过程类似.

由命题5～命题8及三角不等式可证明定理2成立.

［1］杨金英.ρ－混合序列部分和之和乘积的渐近分布 ［J］.吉林大学学报：理学版，2012，50（2）：258－262.（YANG Jinying.Asymptotic Distribution of Products of Sums of Partial Sums underρ－Mixing Sequences ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（2）：258－262.）

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［5］Gut A，Spǎtaru A.Precise Asymptotics in the Law of the Iterated Logarithm ［J］.Ann Probab，2000，28（4）：1870－1883.

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［7］谭希丽，邢楠，董志山.B值m相依随机变量列生成平均移动过程精确渐近性的一般形式 ［J］.吉林大学学报：理学版，2011，49（1）：27－32.（TAN Xili，XING Nan，DONG Zhishan.General Result on Precise Asymptotics for Moving Average Processes of m－Dependent B－Valued Elements ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2011，49（1）：27－32.）

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