小议极限理论

王莎莎

【摘 要】本文主要总结了一些求一元函数极限的常用方法，以便深入的理解和掌握极限概念，并把极限的思想运用到更广泛的区域中。

【关键词】极限理论；归结原则；拉格朗日定理

一、引言

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。极限思想是微积分的基本思想，所谓极限思想，是用极限概念分析和解决问题的一种数学思想，用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算来得到这结果。所以证明极限存在和求极限的方法就需要我们去探究。

二、求一元函数极限的一般方法

1.极限定义求极限

定义1.1 设函数f在点xo的某个空心领域U·（xo；δ）内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-xo|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常数A就叫做函数f（x）当x→xo时的极限。

例1.1设f（x）=，证明f（x）=4。

证 由于当x≠2时，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故对给定的ε>0，只要取δ=ε，则当0>|x-2|<δ时有|f（x）-4|<ε.这就证明了f（x）=4。定义1.1设f为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有

|f（x）-A|<ε，

则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 证明=0。

证 任给ε>0，取=M，则当|x|>M时有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用两个重要的极限求极限

=1；=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用变量替换及等价无穷小量求极限

通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限，若后者是已知的，则问题就解决了。

（1）设φ（x）=+∞，f（u）=A，则f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用变量替换法，令x=，则

原式=[-]==

==

（2）常用的等价无穷小：当x→0时，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比达法则求极限

洛比达法则只直接适用于型和型不定式极限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等类型，经过简单变换，可化为型或型极限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式极限，有恒等xlnx=转化为型不定式极限。

所以，原式===0

5.利用归结原则求极限

归结原则：f（x）=A?对任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求极限

定理[1]若函数f（x）满足如下条件：

①在闭区间[a，b]上连续；

②在开区间（a，b）内可导。

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教学过程中可将这些求一元函数极限的方法充分运用于教学实践中，能使学生在解题过程中享受创造的乐趣，从而能够激发起学生的学习数学的兴趣和刻苦研究数学问题的热情和毅力，培养学生缜密的思维能力和运用数学思想解决实际生活中遇到的各类问题。

【参考文献】

[1]赵显曾，黄安才著.数学分析的方法与题解.西安：陕西师范大学出版社，2005.3

[2]华东师范大学数学系.数学分析.上册.北京：高等教育出版社，2006.8

[3]华东师范大学数学系.数学分析.下册.北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等数学：经济管理、计算机类.西安：西北工业大学出版社，2008.7

[5]数学.中国就业培训技术指导中心组织编写.北京：中国劳动社会保障出版社，2002.3

[6]李永乐，李正元.考研数学复习全书.国家行政学院出版社，2011.2

[7]陈文灯，黄先开.主编.考研数学复习指南.北京理工大学出版社，2012.1

（作者单位：陕西省商业学校）

【摘 要】本文主要总结了一些求一元函数极限的常用方法，以便深入的理解和掌握极限概念，并把极限的思想运用到更广泛的区域中。

【关键词】极限理论；归结原则；拉格朗日定理

一、引言

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。极限思想是微积分的基本思想，所谓极限思想，是用极限概念分析和解决问题的一种数学思想，用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算来得到这结果。所以证明极限存在和求极限的方法就需要我们去探究。

二、求一元函数极限的一般方法

1.极限定义求极限

定义1.1 设函数f在点xo的某个空心领域U·（xo；δ）内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-xo|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常数A就叫做函数f（x）当x→xo时的极限。

例1.1设f（x）=，证明f（x）=4。

证 由于当x≠2时，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故对给定的ε>0，只要取δ=ε，则当0>|x-2|<δ时有|f（x）-4|<ε.这就证明了f（x）=4。定义1.1设f为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有

|f（x）-A|<ε，

则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 证明=0。

证 任给ε>0，取=M，则当|x|>M时有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用两个重要的极限求极限

=1；=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用变量替换及等价无穷小量求极限

通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限，若后者是已知的，则问题就解决了。

（1）设φ（x）=+∞，f（u）=A，则f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用变量替换法，令x=，则

原式=[-]==

==

（2）常用的等价无穷小：当x→0时，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比达法则求极限

洛比达法则只直接适用于型和型不定式极限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等类型，经过简单变换，可化为型或型极限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式极限，有恒等xlnx=转化为型不定式极限。

所以，原式===0

5.利用归结原则求极限

归结原则：f（x）=A?对任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求极限

定理[1]若函数f（x）满足如下条件：

①在闭区间[a，b]上连续；

②在开区间（a，b）内可导。

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教学过程中可将这些求一元函数极限的方法充分运用于教学实践中，能使学生在解题过程中享受创造的乐趣，从而能够激发起学生的学习数学的兴趣和刻苦研究数学问题的热情和毅力，培养学生缜密的思维能力和运用数学思想解决实际生活中遇到的各类问题。

【参考文献】

[1]赵显曾，黄安才著.数学分析的方法与题解.西安：陕西师范大学出版社，2005.3

[2]华东师范大学数学系.数学分析.上册.北京：高等教育出版社，2006.8

[3]华东师范大学数学系.数学分析.下册.北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等数学：经济管理、计算机类.西安：西北工业大学出版社，2008.7

[5]数学.中国就业培训技术指导中心组织编写.北京：中国劳动社会保障出版社，2002.3

[6]李永乐，李正元.考研数学复习全书.国家行政学院出版社，2011.2

[7]陈文灯，黄先开.主编.考研数学复习指南.北京理工大学出版社，2012.1

（作者单位：陕西省商业学校）

【摘 要】本文主要总结了一些求一元函数极限的常用方法，以便深入的理解和掌握极限概念，并把极限的思想运用到更广泛的区域中。

【关键词】极限理论；归结原则；拉格朗日定理

一、引言

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。极限思想是微积分的基本思想，所谓极限思想，是用极限概念分析和解决问题的一种数学思想，用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算来得到这结果。所以证明极限存在和求极限的方法就需要我们去探究。

二、求一元函数极限的一般方法

1.极限定义求极限

定义1.1 设函数f在点xo的某个空心领域U·（xo；δ）内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-xo|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：

|f（x）-A|<ε或f（x）→A

那么常数A就叫做函数f（x）当x→xo时的极限。

例1.1设f（x）=，证明f（x）=4。

证 由于当x≠2时，|f（x）-4|=|-4|=|x-2|

故对给定的ε>0，只要取δ=ε，则当0>|x-2|<δ时有|f（x）-4|<ε.这就证明了f（x）=4。定义1.1设f为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有

|f（x）-A|<ε，

则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作

f（x）=A或f（x）→A（x→∞）

例1.2 证明=0。

证 任给ε>0，取=M，则当|x|>M时有

|-0|=<=ε

所以=0.

2.利用两个重要的极限求极限

=1；=e

例2.1 求（1+2x）。

解（1+2x）=[（1+2x）.（1+2x）]=e2。

3.利用变量替换及等价无穷小量求极限

通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限，若后者是已知的，则问题就解决了。

（1）设φ（x）=+∞，f（u）=A，则f[φ（x）]=f（u）=A，（u=φ（x））。

例3.1 求[x-x2ln（1+）]

解 用变量替换法，令x=，则

原式=[-]==

==

（2）常用的等价无穷小：当x→0时，sinx～x，tanx～x，（1+x）α～1+ax，arctanx～x，1-cosx～，ln（1+x）～x，ex-1～x。

4.用洛比达法则求极限

洛比达法则只直接适用于型和型不定式极限，0·∞，1∞，0o，∞o，∞，-∞等类型，经过简单变换，可化为型或型极限。

例4.1求x·lnx

解 由是0·∞型不定式极限，有恒等xlnx=转化为型不定式极限。

所以，原式===0

5.利用归结原则求极限

归结原则：f（x）=A?对任何xn→x0（n→∞）有f（xn）=A。

6.利用拉格朗日中值定理求极限

定理[1]若函数f（x）满足如下条件：

①在闭区间[a，b]上连续；

②在开区间（a，b）内可导。

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（1）

或者f（b）-f（a）=f′（a+θ（b-a））（b-a） （0<θ<1）（2）

在教学过程中可将这些求一元函数极限的方法充分运用于教学实践中，能使学生在解题过程中享受创造的乐趣，从而能够激发起学生的学习数学的兴趣和刻苦研究数学问题的热情和毅力，培养学生缜密的思维能力和运用数学思想解决实际生活中遇到的各类问题。

【参考文献】

[1]赵显曾，黄安才著.数学分析的方法与题解.西安：陕西师范大学出版社，2005.3

[2]华东师范大学数学系.数学分析.上册.北京：高等教育出版社，2006.8

[3]华东师范大学数学系.数学分析.下册.北京：高等教育出版社，2006.6

[4]李志林.高等数学：经济管理、计算机类.西安：西北工业大学出版社，2008.7

[5]数学.中国就业培训技术指导中心组织编写.北京：中国劳动社会保障出版社，2002.3

[6]李永乐，李正元.考研数学复习全书.国家行政学院出版社，2011.2

[7]陈文灯，黄先开.主编.考研数学复习指南.北京理工大学出版社，2012.1

（作者单位：陕西省商业学校）