试论初中阶段如何解一元二次不等式

刘粉喜

初中阶段，一元二次不等式的解题方法有很多种，只要方法选择得当，就能够快速、准确地解题，达到事半功倍的成效.

本文通过实例，对一元二次不等式的解题方法进行探讨.

一、一元二次不等式的因式分解法

这种方法的优点：易理解、易接受，思路清晰简单.具体操作如下：

第一，将一元二次不等式标准化为ax2+bx+c>0（<0），其中，a>0.

第二，如果在实数范围内ax2+bx+c>0被因式分解，就可以将其分解成为a（x-x1）（x-x2）>0（<0），其中，a>0，这样可以得到同ax2+bx+c>0（<0）等价的不等式组.

第三，如果在实数范围内ax2+bx+c>0无法进行因式分解，那么ax2+bx+c>0（<0）就只可能存在两种解：一是一切实数，二是空集.

注：分式不等式f（x）g（x）>0f（x）>0或者f（x）<0，

g（x）>0或者g（x）<0.

分式不等式f（x）g（x）≥0f（x）≥0或者f（x）≤0，

g（x）≥0或者g（x）≤0.

二、含参数的一元二次不等式解法

在面对含有字母系数的问题之时，不能刻意去做分类，而是应该注意到能不分类就不分类，根据规则到了无法继续解答的时候，再进行分类.同时，分类的标准也会相应出现.简单而言，就是以不变应万变.具体步骤如下：

第一，定下不等式的名分——属于一元一次不等式，还是一元二次不等式，而x2的系数是否为0决定了其属于一次还是二次.

第二，对于二次不等式，应该重视两个重要问题：其一，开口方向；其二，两根大小.

例如，解关于x的不等式ax2-（2a+1）x+2<0（a∈R）.

分析：考虑到x2的系数为a，所以，在解决不等式时有两个问题：第一，不等式属于哪一种类型；第二，相应的二次函数图象的开口方向以及两根具体的大小.所以，既要考虑系数a是否为0及其正负情况，还需要考虑到两根具体的大小.

解：原不等式可化为（ax-1）（x-2）<0.

第一， 当a=0时，得到-x+2<0，所以x>2.

第二，当a≠0时，方程（ax-1）（x-2）=0的两个根x1=1a，x2=2.

如果a<0，那么1a<2，且此时二次函数的图象开口向下，就可以得到x<1a或x>2.

如果a>0，那么1a-2=1-2aa；且此时二次函数的图象开口向上，

其中，如果1-2a>0，那么02，可以得到2

其中，如果1-2a<0，那么a>12，这时1a<2，可以得到1a

其中，如果1-2a=0，那么a=12，这时1a=2，则得到（x-2）2<0，所以x∈.

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x>2}；

当a<0时，原不等式的解集为：{x|x<1a或者x>2}；

当0

当a>12时，原不等式的解集为：{x|1a

当a=12时，原不等式的解集为：空集.

并非所有的不等式都能进行因式分解，这时的求根需要考虑到求根公式，并且并非在遇到任何的参数的时候，都需要将其与0进行比较，而是要根据具体的题目来决定是否进行分类，如何分类.比如，（x-a2）（x-a2-1）<0，考虑到a2

总之，在初中数学教学中，尤其是一元二次不等式教学，教师应该让学生掌握更加轻松的解题方式，这样才能够让学生不再对其产生为难情绪，在解决问题时也能够轻松应对，确保在今后的应用当中能够选择最短的路径或者是最恰当的解题方法来解决一元二次不等式.