在高中数学思维课堂的研究中成长

● 高 峰

2013年12月26日，青岛二中分校一年一度的教学工作会议如期召开了。我很荣幸能作为理科代表，上了一节主题为“重塑价值，激活思维”的展示课，二中本校数学教研组长、省特级教师于世章老师对这节课给予了高度评价。可我知道这堂课的成功不是偶然的，它凝聚了我对数学教学的理解和26年来我对数学思维课堂研究孜孜以求地探索。数学是思维的体操，数学是思维的工具，数学语言与符号是思维训练的载体，数学教育的重要目的就是培养学生的思维能力，促进学生思维的发展是数学课堂教学的灵魂，教师要像火把那样去点燃学生数学思维的火花。至今，我还清楚地记得探究思维课堂的过程中遭遇的困惑和纠结以及在解决这些困惑时带给我的灵动。

一、有趣的情境像磁铁，吸引学生打开思维之门

思维从直接经验的情境而起，人们不会无故思维，思维不会凭空而起，在学校里，思维训练最大的困难是，学校里缺少可以引起思维的经验的情境，我们要打开学生思维之门，就要为他们创造这样的情境，贴近生活的情境最生动也最有趣。领悟到的这一点却不是一蹴而就的。

1987年我大学毕业了，但不幸却突然降临到我的头上。5月的一天，一向身体强健的父亲突发心梗不幸去世，照顾两腿患股骨头缺血坏死的母亲的重担立马落到我的肩上。由于母亲单位宿舍离二中太远，我只能放弃去二中母校任教的机会，来到离家不到500米的青岛二十五中。据说那里的教学状况不容乐观，但对我这个高、初中都在二中这样的优质高中上学的人来说，还是没有什么概念。开学没几天我就感觉出校园的氛围好像哪里不对，由于学生学习基础相对较差，没有养成良好的学习习惯，老师上课经常要停下课维持纪律。这是我始料未及的。印象中，做老师很美，可以带着一群孩子跑来跑去，欢声笑语；可以在黑板上挥洒自如，知识便随着粉笔淌出，涓涓不停。直到自己做了老师，才发现美是需要付出很多代价的，老师自身要有满腹的学问，缜密的思维以及较强的管理能力。这些对于刚刚踏上讲台的我来说简直要成了天底下最困难的事。

我第一个想到的是去向老教师请教。环顾数学组内男老师居多，下了课他们一般没什么话，默默地点上一支烟抽起来，我小心的与邻近的几位老师提出听课学习的要求，基本遭到婉拒：“没什么好听的。这些学生教的好不好结果都一样！”只有对桌的孙老师允许。随着上课铃声响起，孙老师一上课就强调：“两手放在桌子上，眼睛看着我的脸！”。孙老师严厉的声音果然奏效，随眼神迷茫但少有学生做小动作，感觉孙老师总结的几个题型也很不错，下课刚想张口要她的备课本学习下，却看见她麻利的锁紧办公室的抽屉，我突然发现那是一本旧的前后都退色并卷了边的教案，直觉告诉我这本教案也许用了好久……我该怎么办？我职业的价值何在？难道我的未来也要重复昨天的故事吗？这个念头深深的刺痛了我，我不甘啊！我想既然数学以它高度的抽象性令学生们望而生畏，也许可以从改变孩子们心底里枯燥的数学开始。没有语文的诗情画意，没有英语的异域风情，数学课堂如何才能变得“情趣盎然呢”？那时，教室里有了幻灯机，我每节课都亲自设计幻灯片，从黑白到彩色，从静止到动态。后来，学校里有了电脑，使我如鱼得水，因为信息技术可以充分发挥其在音、视、声等各个方面的优势，动态地显示出知识的演变过程，精心制作的课件能使课堂变静为动，变无声为有声，使教学难点由复杂变为简单，大大激发了学生的学习兴趣。

上述生动和趣味性的学习材料，就连几个常开小差的学生也安静了下来，下课铃响时，一个声音传来：“啊！这么快就下课了！”，我的心中一阵窃喜，我终于找到了打开学生思维之门的钥匙了！回到办公室，我静静的回味这节课，通过情景教学把枯燥无味的传授知识变为主动有趣的获取知识，使学生在愉快中学习，在兴趣中记忆，收到了事半功倍的效果。思考的结论正如数学家张寿武所说：“乐趣才是数学研究的持久动力。”

“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情。”一个好的开端是师生间建立感情的第一座桥梁，它能引起学生的兴趣，又能激发学生的求知欲望，使教学活动进行的生动、活泼、自然。这次的成功使我领悟到：兴趣是开启数学思维之门的金钥匙。教学一旦引起了学生的兴趣，启动了学生的思维之门，就会对学科产生强烈的求知欲望，短短几年，我所教的学生就被我这个年轻的“小老师”所“征服”，教育教学成绩特别显著，所教班级在全校或全市同类学校中名列前茅。我在1998年、2000年连续两次被评为青岛市青年教师优秀专业人才称号。

二、请君入瓮，思维活动贯穿于课堂始终

教数学一定教思维的，因为思维课堂是探索教学本质，理性思考课堂文化的教育实践。思维课堂突出思维培养，追求人人走向深度学习。它包括个体思维的深入挖掘与集体思维的快乐共享，只有做到兼顾思维的个体发展和集体提升，才能走进真正意义上的思维课堂。问题导学、深度思维，是思维课堂的重要特征，也是思维课堂的必然要求。可你信不信，现在看来似乎浅显的不能再浅显的道理，对我来说也是画着一段弧线才认定的。

正当我为自己的教学成绩沾沾自喜的时候，一次和班里的后进生谈话，学生怯怯地说：“老师，你讲的数学挺有意思，我比以前喜欢数学了，可是我们学这些究竟有什么用呢？”我一下子被问住了。是啊！花这么大的力气学会这些数学公式、定理，难道仅仅为了应付考试？对将来不从事数学专业的人，是否没有任何意义？这个疑问使我十几年的积攒的骄傲几乎丧失殆尽。事后我试图从教材每一章节的内容中，寻找数学与生活的关系，期待联系学生已有的生活经验和已有知识进行教学，唤起学生已有的感性认识，如：立体几何中可以利用学生所在的教室讲解正方体；数列里可以设计“家里买房买车用分期付款的方法，算算用10年还是20年付款划算”等。这种回归生活学数学的方式让数学自身的魅力得到了进一步的展现，也让学生感受到数学有用，数学就在我们身边。一学期过去了，在期末考试中，我所教的学生的整体水平却看不出任何变化，为什么这次学科生活化的努力，并没有必然导致学生学习效率的提高呢？原来数学知识源于生活，但并不等于生活本身的摹本。它是对生活中的数量关系与空间形式的提炼。因此，它高于生活、概括生活，具有高度的抽象性。这个结论迫使我思考更深层次的问题：数学本身的魅力到底在哪里？当学生们把在学校里学习的数学公式、定理都忘掉的时候，剩下的究竟是什么呢？

爱因斯坦说过：“如果人们已经忘记了他们在学校里所学的一切，那么所留下的就是教育”。物理学家劳厄有句名言：“重要的不是获得知识，而是发展思维品质和能力。”是的，没有什么比思维品质的培养更为重要的了，数学学科的使命是培养学生的思维能力！我们先人的智慧有 “三思而后行”，“吾日三省吾身”，思维的价值之一，即在于能延缓不可挽救的行动的采取，有思维习惯的人，总是把自己的行动尽量地当做试探的，去观察，思考，推理，不盲目行动，即使实际行动的结果否定了原来的假说，对有思维习惯的人来说，这种失败也不只是失败，而是教训。在数学里，我们可不靠感觉的观察，而得到观念的联络。数学是推理的典型，无论几何学还是代数学，处处充满着联合观念而推理成功的著例。于是，我对自己提出了新的目标，打造思维课堂，培养学生数学思维能力！

2004年，高中新课程改革的启动给我带来了及时雨，新课程标准要求教师在备课的过程中必须精心创设教学情境，有效地调动学生主动参与教学活动，使其学习的内部动机从好奇逐步升华为兴趣、志趣、理想以及自我价值的实现。数学学习不仅仅是记忆一些重要的数学结论，还要发展数学思维能力和积极的情感态度。反思自己以往的做法，我欣喜的对自己的教学经历做出下面的判断：用情景的设计激发学生的兴趣，用数学生活化方式沟通学生已有知识与新学知识之间的联系、使新课的学习切入学生的经验系统，竟然冥冥之中和新课改要求相吻合，高兴之余，发现了自己教学水平停滞不前的原因，这成为我突破自我进入教职生涯第二个阶段的突破口，那就是：我只注意了课堂导入时思维的启迪，而没有使思维活动贯穿于课堂学习的全过程。那么，什么可以作为引领学生思维活动于课堂始终的力量呢？如果我借“题”发挥，设置开放性问题进行引领，也许可以使思维活动贯穿于课堂始终。在直线与圆锥曲线的位置关系的教学中，我做了大胆的尝试，把一个常规问题进行这样设置的：“直线y=3x+m与抛物线y=x2相交于A、B两点，_____，求直线AB的方程。你能对直线补充一个恰当的条件，使直线方程得以确定吗？”此题一出示，学生的思维马上活跃起来，补充的条件也形形色色，如：

财务共享服务中心是一种全新的概念，很多企业都渴望利用财务共享中心来实现降低成本目标，这其实是对财务共享中心的概念不明确的表现，并不是所有企业都需要建立财务共享中心，也不是任何企业都可以建立财务共享中心。首先要明确，财务共享中心并不能帮助所有企业实现财务数据规范化和标准化，也并不能帮助所有企业降低财务成本，节省人力资源。施行财务共享服务中心首先要保障企业拥有足够的经济实力，并且要拥有一定数量且分布各地的分公司，每个分公司都拥有自己的办事处和销售点，而且在国外的分公司实行财务共享服务中心要收到当地的法律保护。目前而言，适合建立财务共享服务中心的企业多为金融企业、服务企业以及销售企业。

（2）OA⊥OB；

（3）线段AB被y轴平分；

（4）线段AB的中点到y轴的距离最短。

学生畅所欲言，涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、两条直线互相垂直的充分必要条件、数形结合思想等，学生不自觉地进入了自主学习状态。这是一个开放题，其目的在于通过学习提高学生发现问题、吸收信息，主动获取知识、重组应用的能力。这个案例告诉我：在思维课堂中，问题导学与深度思维相互促进，表现在学中问、问中思、思中动的深度学习过程中。问题导学可以发挥问题情境的优势，有效唤醒学生的内部动机，最大限度地发挥学习者的学习积极性和主动性；深度思维则能挖掘问题的本质，不断激发内部的潜力。

我还尝试了一题多变，一题多问以及一题多解等多种形式进行借“题”发挥，引导学生多方法、多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，从而在很大程度上培养了学生的思维开拓性。功夫不负有心人，我的课堂教学效益大大提高，教学成绩有了质的飞跃。如：2007年，我所教的高三10班在高三全市第一次模底考试中平均分高出市平线3.1分，名列全市第6名；二模平均分又高出市平线，名列全市第5名，及格率列全市第4名，受到校领导的表扬；在高考也取得了特别突出的成绩。在学生思维能力得到培养的同时，我自己也得到了成长。2005年9月，我获得青岛市教学能手称号，论文《新课程理念下的教学反思》在2005年市高中数学学科优秀论文评选获一等奖；同年8月被青岛市人事处教育人才培训学院聘请为“青岛市青年教师培训班主讲教师”，在指导青年教师提高课堂教学效果和能力等方面作出了突出的贡献；《突破椭圆焦点三角形中的思维定势》在2006年发表于《课程改革与实践》第5期；《如何在课堂教学中体现课程改革的精髓》在2006年海南人教普高数学课标实验经验交流会上交流并获一等奖；同年2月编写《中学教材·标准学案·人教A版数学必修4》担任主编；《中学教材·标准学案·北师大版数学必修4》担任副主编等。

三、反省思维在研究性实践活动中诞生

没有一个情景会带着问题同时出现，常言道：题目出的好，一半解答了。训练学生解决已经准备好的问题并不能培养他们自己发现和选择重要的问题。一直以来，我忽略了思维的一个重要形态，问题，将直接经验的、感觉理智化成为一个待解决的问题。一个没有训练的人，会乱猜，妄想，而受过思维训练的人，会根据观察找出真正的困难所在，形成一个明确的问题。要想真正培养学生的思维品质，教师不仅要教会学生如何解决问题，也要教会他们发现值得解决的问题。我找到了继续前进的方向。

现在想来，把思维教学上升到反省思维的高度得益于2010年我校改为青岛二中分校这一契机。受孙先亮校长教学理念的启迪，使我渐渐领悟到：好的教育不是给予，而是一种激发。在“青岛市中小学科研工作站第五届访学站”学习的一年里，在阅读经典的过程中，使我有顿悟的感觉。俗话说：一本好书就是一个好朋友，一个优秀的教育思想就是一位好老师。他们启迪了我的教育智慧，如果能把学生带到一个环境，帮助他们成为更好的学习者，感到需要问个 “为什么？ ”、“是什么？ ”、“怎么形成的？ ”、“如何变化的？ ”等，那么就能促进学生思维的真正发展。学生的问题意识越强烈，他们的思维就越活跃，越富有创造性。可我如何才能让学生会问问题呢？

原来，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验。虽然，有些问题他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，而是应当引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。因此要着力于把教学变成有意义的活动而不是完成繁忙的工作。

恰在此时学校要求开发校本课程，组织学科社团。我感觉这是个难得的“试验田”。正巧我讲到“正余弦定理”，利用周五社团活动时间，我托在建筑设计院的同学，借来了测量仪器，带领数理社团的“社员们”来到二中校园“静思湖”畔，请同学们设计一个方案：测量与计算位于两岸的A、B两处的距离。

这些思维活跃的孩子们一下子陷入了沉默，因为他们发现，这和平日课堂上的问题情景大不一样，课堂上的数学问题简单明了，一般都会具体指出让他们干什么，他们多么希望这次的问题也会这样清晰明确。可见，在现实生活中，问题解决的第一步是确定问题的存在。情境迫着他们去想，参照过去的经验，很快有人小声嘀咕起来（也就是反省思维所指的“暗示”）：这是一个解三角形的问题，初中学过解直角三角形，现在我们手里的工具有水平仪、测角仪和卷尺，可以测得陆地间的距离和夹角，因此，如果可以保证角C是直角，边AC、BC的长可测，则AB边长可求。马上有学生反驳道：“若角C不是直角又怎样求呢？这样勾股定理不能用了。若角C为锐角或钝角这个三角形还能解吗？”。社长梁子英马上回应：“当然可以！因为根据尺规作图原理，已知两边和一夹角一定可以确定一个三角形，所以理论上AB边的长是确定的。但是怎么求，我得想想”。学生们的思维渐渐归束到一个确定的问题，这就是反省思维的第三形态。在实际思维里，每一阶段，都有助于暗示的完成，而使它可以作为一个指导的臆说；都有助于问题的确定，而使它更明困难的所在。

带着这个问题孩子们拖着行李回家了。周一的数学课孩子们给我了一个大大的惊喜，那就是他们把上周五遇到的问题分别用不同的思路给出了解法——余弦定理的几种证明方法。从反省思维的“臆说”形态直接过渡到“推理”。又到了周五社团活动时间，我看到更多人来到水塘边观看、研究、验证利用余弦定理求不可到达A、B两点距离的过程。这件事使我认识到，学生至少可以懂得这样的道理：对于同一事物或困境，看到别人作出了与自己截然不同的反应，这将会激活学生对问题的好奇心，与此同时反过来成为发展自我、认识自我的一个契机。

正当大家欣喜若狂的告诉我最后结果时，我又指着水塘对岸的两个小亭子说：对岸（不可到达）两个亭子点之间的距离可不可以知道？这次大家思维的敏捷性明显高于上次，马上开始分头观察，围成一圈谈论起来，副社长杨占博根据自己画出的三角形ABC得出下列结论：一个三角形明显不够用的。可能需要构建多个三角形。可见，观念的修正又引导到新发现，新的事实而估量旧的事实。

这个观点马上被数学课代表连怀东质疑：“正余弦定理都是在一个三角形中成立的，那么这个题难道不能用正余弦定理来解决？”两个同学的话使大家转入到另一个暗示。这使我懂得，情境如果更复杂，思维自然也更缜密。不一会刘昕风同学就画出了上面那个图，并且标注出可以测量的边长DC，以及可以度量的∠ADB，∠BDC，∠BCA，∠ACD。

学生们下面的行为，令我更是目瞪口呆，只见他们为了解决这个问题，把思维过程分为以下几个递进的小问题：

1.是否可以用测得的量表示AC？

2.是否可以用你测得的量表示BC？

3.是否可以用你测得的量表示AB？

4.是否可以把已知量和待求量往某一个三角形内集中？

当他们把最后研究的成果交给我的时候，我发现了他们眼睛里闪烁的光芒！他们因为这次“创性的”解决了开始看起来“错综复杂，无从下手”的问题，他们懂得了真实世界的问题解决和书本问题的不同，它深深的扎根于多重背景之间，这些背景也影响了问题的解决，有时困难几乎笼罩了全部情境，必须经过仔细观察和反省，才渐渐归束到一个确定的问题，而这时才成为一个真正的问题。

在社团活动这块“试验田”上取得的对思维活动的进一步认识是：教学中教师和学生的互动，并不只是简单的“你问我答式”的形式的互动，而是教师与学生在教学内容上的“思维互动”或“深层互动”。以此为契机，我把这个方法逐渐引入到课堂教学，2012年10月，我成功总结出——小班化高中数学新授课模式为“疑、思、探、归、用”五字教学法，其中最关键的一个字就是“疑”，学生要尽量自己发掘问题，这种能充分调动、发挥学生主体性的探究式学习方式，改变了传统教学压抑学生兴趣和热情，影响学生发展思维和智力的状态，使每个学生的学习兴趣和主动意识得以长久的保持。让学生在自主的学习环境下，自主探索，讨论总结，获得成功。不但学会倾听，学会讨论，而且也学会表达，学会组织，对学生情感态度价值观的培养与渗透，也许可以延续到学生的一生的发展。

辛勤的劳动终于换来丰硕的成果。2012年11月21日，我通过举行“全市高中数学学科小班化教学策略与研究”研讨与交流会，把课题研究一年来的经验总结并编辑印刷成册，为全市小班化趋势下的课堂教学起到很好的引领和推动作用。我的课堂教学改革和教育科研也进入了一个崭新的境界。如2011年《校本课程应重点体现学生数学思维能力的培养》发表于《中学数学杂志》，荣获山东省教学能手称号；2012年在学校期中总结会上做“讲述自己的教育故事”发言；被学校推荐 《青岛市优秀教师风采录》（第十七集）人选。《普通高中数学小班化教学策略与研究》阶段性报告获山东省优秀成果一等奖。在学校“校园人物”评选中荣获“精彩人物”和“学生最喜欢的老师”称号和奖杯。2013年在青岛市中小学教师“十二五”读书实践工程被评为“先进个人”“十佳教育读书人物”，数学组被评为青岛市中小学教师“十二五”读书实践工程“十佳教师读书团队”，荣获山东省特级教师称号。

学生总说喜欢上我的课，说我的课与别人不同，能引发他们思考，我的课堂教学中的什么因素使得学生倾心于我？我重新审视自己的26年的教职生涯，慢慢地找到答案。总结出来，我对思维课堂教学追求这样三个特点：有趣；有情；有灵动。一个学生或许是空虚而怠惰的，或者虽有兴趣而兴趣不属于功课。教师的首要任务是打动他的心情，传到于他以一种理智的奋激。能够唤醒一种理智的兴趣，或能够传到对于一项知识或技能的探求的热诚。其次，思维是积极的探索、搜索、研究以求发现新事物或获得已知的事物的新理解。思维实在就是一种疑问。一个有生气的讨论，会把问题的中心显示出来。在我的课堂中，学生可随时发表问题及见解，平等的交流，耐心的倾听，及时捕捉学生的思维的闪光点，把握稍纵即逝的教学机遇，使课堂学习成为再发现，再创造的过程，让“质疑、解疑”成为课堂教学的主旋律。思维课堂最根本的特点，是教师与学生双方的生命体验，而不是一堆知识的罗列。教师引领的关键是让学生确定学习作为自己的目标，而不是争取完成任务。放手让学生独立思考、大胆地尝试解决新问题，在进行想法的交流和思维的碰撞，是让学生产生问题的有效方法。

教育是生命之间的对话，在这个对话中，可以超越一切尘世的干扰，而达到精神的愉悦。生命境界的教师把学生作为一个个单独的生命主体去看待，他能够深入学生的生命内质，把握学生个体生命的特质，从而引导每个生命的成长。回想26年的教育经历，我感到一个人生命的高度不在于他每天的忙碌，而是取决于他的追求和梦想。没有梦想，生命会原地踏步，会像驴子拉磨一样重复绕圈子。有了梦想，我们才会去追求，才会有实现梦想的重要时刻。我的教育思想在思维课堂的研究中日渐丰富，我的教育教学生活，在实践中引领教师服务学生愈加丰盈充实。我用我的生命践行着我的教育梦想。