一类带位移的广义Riemann边值问题的封闭形式解

陈金玉

(重庆大学自动化学院，重庆 400044)

0 引言

设简单封闭的Lyapunov曲线L把复平面分为内域D+和外域D－两部分，原点0∈D+，α(t)是曲线L到它自身的同胚变换，称为曲线L上的位移，其中保持方向的称为正位移，否则称为反位移．寻求在D+和D－分片解析函数Φ(z)，要求按照边界条件

以上问题称之为带位移的广义Riemann边值问题．Litvinchuk［1］概述了问题(1)的Noether问题、稳定性和α(t)为正或反位移时问题的可解性．提出问题(1)的可解性理论，寻求更有建设性的结果具有很大意义．

当α(t)≡t时．上述问题可变为

本文研究简单封闭的 Lyapunov曲线 L下带位移的广义 Riemann边值问题(1)的求解．当G1(t)±之一为常数时，给出了问题(1)的封闭形式解情况．

1 问题的求解

考虑满足Φ－(∞)=0简单封闭的Lyapunov曲线L下带位移的广义Riemann边值问题(1)，其中α(t)为正位移，G1(t)，G2(t)，f(t)，α'(t)∈Hμ(t)，α'(t)，G1(t)≠0，t∈Γ，G1(t)±之一为常数时问题(1)的求解．

可以通过保形映射将边界条件变为单位圆周．事实上，假设函数ω=ω+(z)和ω=ω－(z)分别把区域D+和D－保角映射到圆周L1的内部和外部，用z+(ω)和z－(ω)表示逆映射．由保角映射的理论可知，在关于边界L所做的假定下，函数ω+(z)、ω－(z)和z+(ω)、z－(ω)分别连续地延拓到L和L1，同时在L和L1上满足Holder条件．

这样，问题(1)就化为单位圆域上的H问题．因此，不失一般性，可以认为曲线L为单位圆周，区域D+是单位圆域＜1．同时，为了下文求解的方便，假设=1，κ =ind［arg G1(t)］．

1．1 G1(t)+为常数

现假设G1(t)+=a+b i，a，b∈R．首先，对问题(1)两边取共轭后与问题(1)相加，然后化简后得到:

可设:

由文［15］，问题(5)的一般解可写成:

其中，c为复常数．由Plemelj公式，可得:

将式(7)代入问题(1)，化简后可得:

令

设β(t)为α(t)的逆同胚，由式(4)，有以下式子成立:

显然，求解问题(9)及问题(10)所得的Φ－(z)、Φ+(z)即为问题(1)的求解．现求解Riemann－Hilbert外问题(9)及问题(10)．由文献［16］，有:

1)当κ≥0时，问题(9)有解为:

等于零的Schwarz算子．Q(z)在D－内解析(除去无穷远点以外)，且可以表成:

将式(6)、(11)代入式(10)，得:

2)当κ＜0时，问题(9)满足以下可解条件，即:

问题(9)有唯一解:

将式(6)、(15)代入式(10)，得:

定理1 设G1(t)+为常数，带位移的广义Riemann边值问题(1)的求解问题．1)当κ≥0时，问题(1)无条件可解，其解由(11)、(13)式表示，且解线性地含有－2κ+1个任意常数;2)当κ＜0时，当且仅当2κ－1个条件的(14)式满足时，问题(1)有唯一解，其解由(15)～(16)式表示．

1．2 G1(t)－为常数

现假设G1(t)－=a1+b1i，a1，b1∈R．同1．1小节一样，先将问题(1)两边取共轭后与问题(1)相减，化简后得到:

同理，可设:

类似于1．1小节的处理，我们可以得到解Ψ1(z)，然后通过式(18)及问题(1)，得到问题的封闭形式解．

定理2 设G1(t)－为常数，类似于1．1节的处理，可以得到带位移的广义Riemann边值问题(1)的封闭形式问题．

2 实例与特殊情况

现给出一个满足论文题设条件问题(1)的求封闭形式解过程实例．

解 对应于问题(1)，有:

利用上节的讨论，可知

其中:C0为实常数．则问题(20)的封闭形式解为:

当进一步条件满足时，有以下的几个特例:

情况1 G1(t)+=0

于是问题(1)即转化为退化问题．可以利用文［11］进行求解，或把问题(1)归结为求解以下两个Hilbert问题，从而得出问题的封闭形式解．

这时可以不限定α(t)是否为正或负位移．

情况2 G1(t)－=0

同样，问题(1)转为退化问题，也可以利用文［11］进行求解，或把问题(1)归结为求解以下两个Hilbert问题，从而得出问题的封闭形式解．

同样，也可以不限定α(t)是否为正或负位移．

情况3 G1(t)±之一为常数，G2(t)为实数，且α(t)≡t时，问题(1)退化为文献［10］的一个特例，在此基础上求解问题(1)也可以得到问题的封闭形式解．

情况4 Mityushev［13］考虑简单封闭Lyapunov的问题:Φ+(t)=Φ－(t)+λ，其中λ为复常数，讨论了其特征解情况，得到了一个等价算子方程．显然，该问题是本文的一个特例，所以可以给出其封闭形式解．

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