一类非局部扩散方程组解的爆破

郑露璐，曾有栋

(福州大学数学与计算机科学学院，福建福州 350116)

0 引言

主要研究一类非局部扩散方程组解的性质，方程组形式如下:

近年来，许多学者研究了单个方程的解的性质，而本文主要扩展为方程组，得出两个结论:

定理1(解的局部存在定理) 对任意u0(x)，v0(x)∈L1(RN)∩L∞(RN)，那么方程组(1)存在唯一解(u，v)∈C(［0，T］;L1(RN)) ∩L∞(［0，T］;L∞(RN)) × C(［0，T］;L1(RN)) ∩L∞(［0，T］;L∞(RN))

1 预备知识

引理1［1］非局部扩散方程:

当初值满足w0(x)=δ0(x)时，那么方程的基本解可以表示为:S(x，t)=e－tδ0(x)+K(x，t)，其中K(x，t)是光滑的，且 K(x，t)= ∫RN(et(^J(ξ)－1)－ e－t)eix·ξdξ(是 Fourier变换)．式(2)的解可以表示为

定理1的证明 考虑与式(1)相关的积分方程:

定义:

对T＞0，定义集合:

其中

X(T)是Banach空间．

定义:

首先证明Ψ是从E(T)∩B(R)到自身的映射，令

通过计算可得

所以 Φ1［v］(t)XT≤6M+6TRp，取充分大的R和充分小的T，使得6M+6TRp＜R 4，同样地，可以证明 Φ2［u］(t)XT＜R 4，由此可以证明Ψ(u，v)是从E(T)∩B(R)到自身的映射．又

其中:0 ＜ η ＜ 1，因此 Φ1［v1］(t)－ Φ1［v2］(t)XT≤C(p)R T v1(t)－ v2(t)XT，选取充分大的R和充分小的T，使得C(p)Rp－1T＜1 4，同理，可以证明

由Banach空间的不动点理论，证明方程组(1)存在唯一解．

［2］，得出正性引理和比较原理．

引理3［2］(正性引理) 假设w(x，t)和z(x，t)是非平凡的，c1，c2是有界函数，并且满足

若对于x∈RN，w(x，0)≥0，z(x，0)≥0，那么对于x∈RN和t＞0，有w(x，t)≥0，z(x，t)≥0．

证明 要证明w(x，t)≥0，z(x，t)≥0，利用反证法，假设在某些点，w(x，t)＜0成立，并且假设δ1=inf{w(x，t)}，δ2=inf{z(x，t)}，令θ=e－λtw(x，t)，其中λ ＞ 0，假设在点(x0，t0)，θ达到负的最小值，当 λ ＞supδ2δ1时，有 θt(x0，t0)= － λe－λtw(x0，t0)+e－λtwt(x0，t0)＞ 0．这与假设矛盾，因此，θ(x，t)≥0成立，所以w(x，t)≥0．同理，可以证明z(x，t)≥0．

其中:0＜η＜1．再由引理3知，ω(x，t)≥0，ϑ(x，t)≥0，由此引理得证．

2 主要结果证明

参照文献［3］，引入关于非局部扩散方程的特征值与特征函数的问题:

Ω是RN中的光滑有界区域．

引理5［3］(特征值和特征函数) 问题(4)存在一个特征值λ1(Ω)和相应的特征函数φ∈C(Ω)，并且特征值λ1(Ω)是唯一的，且满足0＜λ1(Ω)＜1，而且该特征值可以表示成

选择R＞0，令φR是式(4)的一个正的特征函数，对应的特征值为λ1(BR)，并且其规范化范数为φRL1(BR)=1．将方程组(1)的两个方程分别乘以φR，并且在BR上积分，有

由Fubini定理，利用J的对称性，有

再利用Jensen不等式，得

将λ1(BR)简记为 λ1，令 f，g∈ C0(［0，T)∩ C1(0，T)) ，T为解的最大存在时间，考虑方程组:

显然(F(t)，G(t))是式(9)的上解．

引理6 定义Q={(f，g)∈R2+;(2λ1f)1p＜ g ＜ (2λ1)－1fq}，令 (f(t)，g(t)) 是式(9)的解，如果 (f(0)，g(0)) ∈Q，那 么 (f(t)，g(t)) ∈Q，对所有t∈［0，T)成立，其中T为解的最大存在时间．

证明 因为(f(0)，g(0))∈Q，即(2λ>1f(0))＜ g(0)＜ (2λ>1)－1fq(0)，所以有

存在ε1＞0，使得∀t∈(0，ε1)，有f'(t)=－λ1f(t)+gp(t)＞0，g'(t)=－λ1g(t)+fq(t)＞0，又

接下来，要证明式(11)对所有t∈(0，T)都成立．用反证法，假设存在t1∈(0，T)，使得对∀t∈(0，t1)，式(11)成立，并且f(t1)=f(0)．首先计算式(9)．因为eλ1t1＞1，所以λ1f(0)≥gp(0)，这与式(10)产生矛盾，所以t∈(0，T)时，f(t)＞f(0)．同理，可以证明对所有t∈(0，T)，g(t)＞g(0)．

接下来，要证明对所有t∈(0，T )， (f(t)，g(t)) ∈Q．因为f(t)，g(t)在t=0连续，那么存在ε2＞0，使得对

下证:

采用反证法，假设存在t2∈(0，T)，使得 ∀t∈［0，t2)，(f(t)，g(t)) ∈Q成立，并且有2λ1f(t2)=gp(t2)．通过计算，得出:对∀t∈(t2－ε，t2)，有2λ1f(t)＞gp(t)．这与原假设矛盾，因此∀t∈(0，T)，2λ1f(t)＜gp(t)成立．同理可证，∀t∈(0，T)，2λ1g(t)＜fq(t)成立．

定理2的证明选择θ0，使其满足θ0qμ－ν＞2λ1，θ0pν－μ＞2λ1，当θ＞θ0时，由qμ－ν＞0和pν－μ＞0，可知 (f(0)，g(0)) ∈Q．利用引理6，有(f(t)，g(t)) ∈Q对所有的t∈［0，T)．由式(9)，对所有的t∈［0，T)，有

再考虑常微分方程组:

那么 (f(t)，g(t)) 是式(13)的上解．通过计算可得y'(t)≥C1(p，q)yq(p+1)(q+1)(t)，其中C1(p，q)=((q+1)(p+1))q(q+1)，所 以 (x(t)，y(t)) 在有限时刻爆破．

接下来还可以对爆破时间进行上界估计，通过直接计算得 y(t)的爆破时间的上界估计T≤Cθ－2νβ(C ＞0)．

另一种情况，当xq+1(0)(q+1)≤yp+1(0)(p+1)时，同样地可得T≤Cθ－2μα．

参考文献:

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