结构系统可靠度分析的SVC抽样迁移算法

白 冰， 李 乔， 张清华

（西南交通大学土木工程学院，四川成都610031）

结构系统可靠度分析的SVC抽样迁移算法

白 冰， 李 乔， 张清华

（西南交通大学土木工程学院，四川成都610031）

为有效避免结构系统可靠度计算过程中复杂的约界分析处理，针对系统可靠度问题多失效模式的固有特点，引入了系统极限状态曲面的概念，并利用支持向量分类算法（support vector classification，SVC）对该失效曲面进行了直接重构.在此基础上，结合LHS（Latin hypercube sampling）抽样迁移策略，提出了计算结构系统可靠度的SVC抽样迁移算法.通过对比分析两个典型算例表明：本文算法具有较高的抽样效率和收敛性能，与传统Monte Carlo法相比，其抽样工作量减少87%，计算结果相对误差不超过1%，且可有效避免现有β约界算法中需要人为假定失效状态的缺陷，更适用于实际结构可靠度问题的分析求解.

系统可靠度；系统极限状态方程；支持向量分类机；迁移抽样；失效模式

现代大型结构及大型桥梁等均为高次超静定结构系统，其构件组成复杂，部分构件的失效并不一定导致结构整体的最终破坏.因此，采用传统构件可靠度理论不能对结构整体安全性能进行有效评价.系统可靠性理论作为研究结构整体安全性能的理论方法，其评价结果更为全面合理，是揭示上述复杂结构系统全过程失效机理的重要途径之一.其理论的发展和完善对于相关规范的制定更新、结构设计以及健全性评估等均具有重要意义.

不同于构件可靠度理论，系统可靠度理论的研究对象为多个构件、多种失效模式的结构整体失效.因此，传统系统可靠性理论的研究主要包括以下内容：

（1）结构系统主要失效模式的搜寻和识别；

（2）由识别的主要失效模式计算系统的失效概率或其上下界［1］.

针对这两部分内容的研究已取得了大量研究成果.文献［2］基于失效树思想提出了系统失效模式识别的广义承力比最大准则；文献［3］提出了β约界法和分枝-约界法，初步建立了系统主要失效模式搜寻的方法体系.在此基础上，文献［4］引入了新的全局约界准则，进一步完善并提出了全局β约界法和全局临界强度分枝-约界法，显著提高了失效模式的搜寻效率，推动了系统可靠性理论在实际工程中的应用.在系统失效概率分析方面，Ditlevsen基于布尔代数体系推导并考虑了失效模式之间的相关关系，最早提出了2阶窄可靠度上下界理论［5］，初步解决了上述概率计算问题.但在很多情况下，其界限范围仍会因过宽而失去实际意义.针对该问题，文献［6］从模式极限状态方程出发，发展了直接计算结构体系失效概率的微分等价递归算法.但计算表明，随着递归的进行，其体系失效概率的计算误差仍会逐渐增大.为克服这一缺陷，文献［7-8］分别基于经验公式修正方法，对上述算法进行了改进与修正，有效控制了递归误差的累积，使计算精度得到显著提高.

上述研究对于结构系统可靠性理论中的各关键问题均进行了深入探讨，有效推动了其理论框架体系的不断发展与完善.但是对于现代大型复杂结构系统，现有方法理论仍存在计算量过大和需要人为干预的问题［9］，难以实现系统可靠度问题的自动化求解运算.因此，其应用范围具有极大的局限性.为解决该问题，在引入系统极限状态曲面的基础上，利用支持向量分类算法（support vector classification，SVC）的小样本优秀分类性能，并结合LHS（Latin hypercube sampling）抽样迁移策略，基于SVC方法构造了系统失效的极限状态方程，实现了对于结构系统可靠度问题的直接求解.算例计算结果表明，该算法具有较高的计算效率和较强的稳定性，可为系统可靠度的进一步研究提供新的思路和方法，对于促进该理论的工程应用和发展具有积极意义.

1 基于SVC方法的系统极限状态曲面重构

1.1 结构系统极限状态曲面

系统可靠度问题本质上是多个功能函数（极限状态方程）的结构可靠度问题.每一功能函数均代表结构的某种失效模式，典型多失效模式的系统可靠度问题如图1所示.以图1为例，其结构系统具有3种不同的失效模式，各模式的极限状态方程分别为

式中：Z1＝0对应于极限状态曲面ADA′；

Z2＝0对应于极限状态曲面BD′B′；Z3＝0对应于极限状态曲面CDD′C′.

图1 多失效模式的系统可靠度问题Fig.1 System reliability problem with multi-failure modes

由于模式失效中并不存在闭合形式的失效域或可靠域，因此，其所对应的各极限状态曲面均为开口曲面［10］.该特性导致各模式功能函数之间会出现交叉情况，共同组成联合失效曲面ADD′B′将整个概率空间分隔为系统失效域和系统可靠域两部分［4，11］.根据概率可靠度理论可知，该失效曲面即可定义为结构的系统极限状态曲面.

与传统构件可靠度理论相同，系统失效曲面上同样存在有一个距离原点最近的设计验算点（design point）.定义该点所对应的失效模式为结构的首要失效模式，它反映了结构在一阶可靠度层面上出现的最重要的失效形态，相应的一阶可靠度指标记为βs，form.利用该点并结合Monte Carlo抽样方法，可以对整个结构系统可靠度指标进行更高精度的求解.

1.2 SVC重构极限状态曲面原理

根据系统极限状态曲面的概念，理论上可通过抽样方法对该失效曲面进行直接重构.但与构件及模式可靠性问题不同，当结构处于系统失效状态时，由于承载能力丧失，有限元计算将无法提供最终的后处理分析结果.因此，对于系统可靠性问题，此时仅存在两类不同的布尔输出：y＝1对应结构计算收敛，系统处于可靠状态；y＝－1对应结构丧失承载能力，系统失效.由上述输出特性可知，系统失效曲面的重构问题最终转变为寻找两类抽样点之间的最优分隔面问题.而支持向量机（support vector machine，SVM）作为当前最好的监督学习方法之一，具有优秀的小样本分类能力，可有效解决该问题.

支持向量机主要包括支持向量分类机（SVC）和支持向量回归机（support vector regression，SVR）两类算法［12］.对于具有输出响应的可靠度问题，当前多采用SVR算法进行研究.文献［13］利用该算法对于某类型涡轮增压器的使用寿命Benard概率公式进行了拟合，取得了较好效果.但对于土木工程领域，由于系统失效时无法提供有效的后处理输出，SVR算法对此并不适用，因此，采用SVC方法进行系统失效曲面的分析重构.

对于线性分类问题，给定结构训练样本集为（X1，y1），（X2，y2），…，（Xi，yi），…，（Xm，ym），Xi为结构的第i个抽样样本点，yi为表征系统失效与否的结果标签.则可定义一个超平面函数为

式中：

w为系数向量；

b为常数.

对这两类样本点进行分类，使其满足

但由于“离群样本点”的存在，训练样本并不能总是保证式（3）严格成立.考虑到这一情况，引入松弛因子ξi≥0对其进行修正，则式（3）变为

将式（4）进一步变形，可得

则根据结构风险最小化理论，可靠点与失效点之间存在一最优分隔超平面，使所有抽样点中距其最近的点具有最大的几何间距，如图2所示.

图2 SVC分类示意Fig.2 Schematic of sample classification by SVC

对于线性可分情况（不存在离群点），最优超平面仅与w有关，且使其达到最小值.对于线性不可分情况，还需考虑离群点的影响.则求解最优超平面问题最终转化为如下的二次规划问题：

式中：C＞0为事先选定的惩罚因子，用于表征对于离群点的重视程度.

为求解上述最优化问题，构造Lagrange函数：

式中：

αi和γi为Lagrange乘子.

利用KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件将上述问题进一步转化为其对偶问题，并利用SMO（sequential minimal optimisation）算法［14］最终可得最优分隔超平面的表达式为

对于非线性问题，此时样本点处于线性不可分状态，常规线性分隔平面无法有效处理这一情况.为此，可通过核函数（kernel function）K（Xi，X）将原始样本点映射到高维特征空间中，使之成为线性可分问题，即将式（8）中内积〈Xi·X〉映射为〈φ（Xi）·φ（X）〉，则式（8）变为

常用的核函数有：

（1）多项式核函数：

（2）高斯径向基（radial basis function，RBF）核函数：

（3）Sigmoid核函数：

高斯径向基核函数具有优异的非线性逼近能力［15］，可有效解决复杂系统失效曲面的高精度模拟问题，因此采用高斯径向基核函数对其进行重构求解.

但在优化求解过程中，惩罚因子C和核函数系数g仍需事先确定.其取值合适与否对失效曲面的最终构建结果具有重要影响.为避免陷入局部最优解和获得更高的分类处理性能，此处采用网格优化算法对于参数C和g进行寻优，使重构的系统失效曲面具有最佳的全局分类效果.

2 基于SVC的抽样迁移算法

对于设计较为保守的结构，其可靠度指标βsys值较大.常规抽样方法由于仅考虑了抽样点的分布情况，忽视了样本集的整体位置，因此，抽样点大部分将会落入可靠域内，造成失效样本过少，训练集发生“偏斜”，最终导致SVC模拟精度降低.

为解决这一问题，并保证样本点的全概率覆盖，采用LHS方法对于结构系统进行抽样.在此基础上，通过不断迁移抽样中心至计算出的设计验算点，可使抽样范围整体向失效域偏移，从而大大增加了样本点落入失效域的概率，提高了抽样的效率和精度.与常规抽样方法相比，本文提出的算法具有较好的收敛性，能够有效避免局部优化问题，更适用于结构系统可靠度研究.该算法与常规抽样方法的对比如图3所示.

变量分布类型和抽样范围的选取，同样是影响SVC重构系统极限状态曲面的重要因素.对于各随机变量，结构失效与否仅与其具体抽样数值有关，与其分布类型并无关联.根据这一特性，为进一步缩减抽样方差，提高变量分布截尾区域的抽样效率，采用均匀分布U（μ－nσ，μ＋nσ）对于各随机变量进行抽样，其中，μ为变量原始分布的均值，σ为标准差.将其映射到标准随机空间中，抽样范围即为一以μ为中心、以2nσ为边长的矩形框.

随着抽样中心不断迁移，矩形框也不断地向失效域移动.对于具体抽样范围的选取，由于系统可靠度问题具有多个失效模式，其失效曲面较为复杂，为避免遗漏主要失效模式，对于最初几次抽样，应根据实际情况，选取一个较大的抽样范围.后续抽样中，为提高抽样效率，保证设计验算点附近的拟合精度，矩形框可不断缩小，直至迁移达到收敛.通过这种动态缩放的反馈抽样，系统极限状态曲面可有效地实现全局分类的最优重构，极大提高了结构系统可靠度的计算精度和结果的可信性.

图3 常规抽样方法与抽样迁移算法对比Fig.3 Comparison of traditional Monte Carlo method and migration sampling method

2.2 算法步骤

在获得系统极限状态曲面显式表达式的基础上，分别利用FORM（first order reliability method）和Monte Carlo法对其进行求解，可最终得到结构的首要失效模式以及系统的最终可靠度指标βsys.

本文算法的主要步骤如下：

步骤1根据问题实际情况，对于所有随机变量S选定初始抽样范围［μ－nσ，μ＋nσ］，并假定初始设计验算点X0*为其均值点.

观察组治疗有效率为92.00%，对照组为68.00%。与对照组相比，观察组的治疗有效率更高，差异具有统计学意义（P＜0.05）。详细见（表1）。

步骤2以设计验算点为中心进行LHS抽样，获取样本点Si.为保证失效曲面的重构精度，建议LHS抽样间隔一般应小于0.1σ.

步骤3将本次抽样的所有样本点带入有限元模型进行计算.若收敛，则表明结构处于可靠域，赋予其标签y＝1；若发散，表明结构丧失承载能力，则系统处于失效状态，赋予其标签y＝－1.

步骤4利用Rackwitz-Fiessler步骤［16］对各随机变量进行当量正态化（Si→Xi），然后，将变换后各样本点（Xi，yi）与之前样本集合并为（X，y）.以（X，y）为训练集利用网格优化算法对于参数C和g进行寻优，构建SVC分类模型.

步骤5将SVC模型还原为系统的极限状态方程，利用一阶可靠度算法［17-18］计算结构新的设计验算点X*i.

步骤6计算X*i和X*

i－1之间距离是否满足规定的误差要求.若满足，则停止迭代迁移，然后利用线抽样Monte Carlo法［19-21］计算结构的最终可靠度指标βsys；若不满足，则重新选定抽样范围，重复步骤2～6，i＝i＋1，直至计算达到收敛.

3 算法验证及算例分析

为验证本文提出算法的有效性，分别对两个典型标准算例进行系统可靠度计算.并将其计算结果与其他传统算法进行分析对比，以检验其计算效率及精度.

3.1 算例1

图4所示的双层双跨非对称框架结构为延性结构，对应19个节点有19个可能的塑性铰截面，各截面抗力及荷载的统计参数见表1和表2.

假定表1和表2中各随机变量之间均统计独立，且均服从正态分布［22］.计算图4的系统可靠度指标.

由于随机变量数目较多，采用传统可靠度计算方法工作量较大.为提高计算效率，采用SVC抽样迁移算法对结构系统进行计算.经过4次迭代迁移，系统首要失效点最终达到收敛，此时结构共进行了1 300次抽样分析.其迭代迁移历史如表3所示.

由表3可见，本文算法具有较好的收敛性.首次计算所得到的设计验算点已接近最终精确解，表明该算法具有较高的计算效率.进一步分析可以发现，当结构处于极限状态验算点时，节点j2、j3、j5、j6、j8、j9、j14、j16和j18均已进入完全塑性状态，节点j1大部分截面此时也已出现屈服，结构整体刚度降低，最终引发结构系统发生大位移破坏.对于该失效模式，荷载值如表4所示.

图4 双层非对称框架结构体系（单位：m）Fig.4 Sketch of the two-story asymmetric rigid frame（unit：m）

表1 框架结构的抗力Tab.1 Resistance of the rigid frame structure

表2 荷载统计参数Tab.2 Statistical characteristics of loadsfor the rigid frame structure

表3 计算迭代迁移历史Tab.3 History of migration calculation

表4 引起首要失效模式的各荷载数值Tab.4 Loads for the happening of the primary failure mode

由表4可以看出，在引起首要失效模式的各荷载值中，P1和P2占有相对重要的地位，二者的变异性能对于其首要失效模式的产生具有重要影响.在获取βs，form的基础上，即可利用线抽样Monte Carlo法计算系统的最终可靠度指标βsys.经过1 000次抽样分析，最终可得

βsys＝1.631，

与其他常规算法的结果对比见表5.对比结果表明，相对于其他传统方法，本文算法具有更高的精度和计算效率，其准确性得到有效验证.

表5 不同算法计算结果对比Tab.5 Result comparison of different methods

3.2 算例2

某框架结构的结构形式和荷载状况如图5所示［3-4］，结构参数见表6.

根据Thoft-Christensen假设：

（1）所有单元采用梁单元模拟，其失效形式为弯曲失效；

（2）节点j1、j2、j7、j8的抗弯弯矩完全相关，即

节点j3、j4、j5、j6的抗弯弯矩完全相关，即

其他节点的抗弯弯矩统计无关；

（3）荷载和节点抗力均服从正态分布，且二者之间统计无关；

（4）荷载和节点抗力的变异系数均为0.10.

荷载F1和F2的均值分别为55和45 kN，材料为理想弹塑性材料，其弹性模量均为210 GPa.

图5 简单框架结构（单位：m）Fig.5 Sketch of a simple rigid frame structure（unit：m）

表6 简单框架结构相关参数Tab.6 Structural parameters of the simple rigid frame structure

首先采用全局β约界算法［4］对于上述结构系统进行分析.其约界准则为

式中：k为失效纵深层数.

经过4轮约界分析，最终可得结构至破坏时的系统主要失效树，如图6所示.图6方框中上方数为失效节点，下方为可靠度指标.

图6 系统至破坏时结构的主要失效树Fig.6 Structural fault tree for system failure

由图6可见，经过全局约界分析，系统最终保留了3个主要失效模式，其中可靠度指标最低的为模式j8→j7→j1→j2.利用微分等价递归算法，并结合相应的相关系数矩阵，最终可求得系统完全失效时的结构可靠度指标βsys＝4.19.

为与传统约界方法进行对比，采用SVC抽样迁移算法对于结构系统进行重新计算.经过650次抽样分析，系统设计验算点最终达到收敛，计算过程中抽样中心共更新迭代了2次.结构所对应的系统一阶可靠度指标βs，form＝4.065.

将上述设计验算点带入有限元进行分析，计算结果表明，由于大量塑性铰的产生，此时结构系统处于极不稳定的状态，稍有扰动计算即不收敛.βs，form对应的结构首要失效路径为j8→j7→j1→j4，与之前的全局β约界算法结果不同.为区别二者之间差异，探明结构最终收敛点是否落入局部最优，采用本文算法对全局β约界法中的首要失效模式j8→j7→j1→j2重新进行计算.计算结果表明，该失效模式一阶可靠度指标βj8－j7－j1－j2，form＝4.138，大于βs，form值，结构收敛点没有陷入局部最优，其首要失效模式可确认为j8→j7→j1→j4.在此基础上，利用线抽样Monte Carlo法最终可求得结构系统可靠度指标βsys＝3.934，与之前的β约界算法（β＝4.19）相比，其值略小.

由上述计算结果可以看出，两种算法在失效模式识别以及系统最终可靠度指标计算方面均存在不同.进一步分析两种算法流程，可以发现其结果差异主要由以下两种因素引起：

（1）结构计算方法不同.对于全局β约界算法，采用的计算方法为简化的结构力学形式，结构失效状态的转移为释放节点自由度，并将已进入塑性状态的节点抗力转化为外在弯矩施加在结构上.而SVC抽样迁移算法采用的计算方法为现代有限元数值算法，可有效考虑结构的几何非线性和材料非线性.系统的失效准则以结构出现大位移、单元整体刚度过低导致计算迭代不收敛为判别依据，更符合结构的实际力学行为特性.

（2）微分等价递归算法的误差影响.对于全局β约界算法，由于该算法以构件可靠度理论为基础，采用构件→模式→系统的计算路径，因此在计算过程中，需要对结构构件以及失效模式进行大量的微分等价递归运算.由算法原理可知，直接利用该算法进行递归计算时，并联体系失效概率将会偏大，串联体系失效概率将会偏小［7］.因此随着递归的不断进行，其误差将会逐渐累积，最终导致计算结果发生偏离，影响约界的准确判断.而SVC抽样迁移算法直接利用结构系统作为问题的研究对象，通过高精度的重构结构系统的最终极限状态曲面，可直接获取结构系统的整体失效概率，避免了采用上述算法对结构系统失效曲面进行逐步微分等价递归分析，因此，不受这一误差的影响.

相对于其他传统算法，SVC抽样迁移算法具有更高的精度，且可有效避免现有算法的固有缺陷，具有良好的应用前景.

4 结束语

（1）对于系统可靠度问题，提出了一种联合应用支持向量分类（SVC）和LHS迁移的计算方法.SVC可有效解决结构失效时系统无后处理输出导致响应面拟合困难的问题，LHS迁移则为结构系统极限状态方程的高精度重构奠定了重要基础，二者联合应用有效克服了既有系统可靠度分析方法计算繁琐的缺点.

（2）相比其他传统分析方法，本文算法具有较高的计算精度和收敛性能.算例分析表明：该算法计算结果与Monte Carlo法结果极为接近，且可有效避免既有微分等价递归算法在降阶时误差累积的缺点，更适用于实际结构系统的分析研究.

（3）SVC抽样迁移算法以现代有限元数值算法为计算依据，可有效克服全局β约界算法对于构件失效状态需事先假定的缺点，计算效率更高，适用范围更广泛，具有良好的应用前景.

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（中文编辑：秦萍玲 英文编辑：兰俊思）

Support Vector Classification Algorithm by Migration Sampling for Structural System Reliability Evaluation

BAI Bing， LI Qiao， ZHANG Qinghua
（School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

In order to avoid the cumbersome bounding operation during system reliability evaluation procedures，a concept of system limit state surface was introduced on account of the characteristic of system multi-failure modes.Employing the support vector classification（SVC）algorithm to divide the security domain and failure domain，reconstitution of the system limit state surface could be achieved.On this basis，a migration sampling strategy using Latin hypercube sampling（LHS）was combined together with the SVC algorithm，finally leading to a new system reliability evaluation method of SVC migration sampling.Two widely used illustrative examples were introduced and analyzed by different methods for comparison.The results show that the SVC migration sampling algorithm possesses good sampling efficiency as well as superior convergence property.Compared with traditional Monte Carlo sampling methods，the algorithm presented can reduce sampling times by 87%with a relative error of less than 1%.The gross assumption of component failure state by β-unzipping method can also be avoided，which is more suitable for practical application to actual structure assessment.

system reliability；system limit state function；support vector classification（SVC）；migration sampling；failure modes

O213.2；TU311.1

：A

0258-2724（2014）06-0987-08

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.009

2014-03-17

国家自然科学基金资助项目（50908192，51178394）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（2682014CX078）

白冰（1989－），男，博士研究生，研究方向为大跨度斜拉桥结构施工全过程可靠度，E-mail：bbai89＠126.com

李乔（1954－），男，教授，博士，研究方向为桥梁结构空间行为及桥梁结构健全性评估，E-mail：ql-ql＠home.swjtu.edu.cn

白冰，李乔，张清华.结构系统可靠度分析的SVC抽样迁移算法［J］.西南交通大学学报，2014，49（6）：987-994.