高速列车齿轮传动系统参数振动稳定性

黄冠华， 张卫华， 付永佩， 梁树林， 王兴宇

高速列车齿轮传动系统参数振动稳定性

黄冠华1， 张卫华1， 付永佩1， 梁树林2， 王兴宇2

（1.西南交通大学牵引动力国家重点实验室，四川成都610031；2.中国北车集团长春轨道客车股份有限公司，吉林长春130024）

为了准确表达参数激励下高速列车齿轮系统振动的稳定性，利用有限元方法得到高速列车齿轮系统时变啮合刚度，并用傅里叶级数展开进行拟合.考虑齿轮啮合误差，建立了高速列车齿轮传动系统扭转振动模型.结合多尺度近似解析方法，推导了参激振动下高速列车齿轮系统的近似解析解，得到了系统的稳定性边界曲线，并分析了影响齿轮传动系统稳定性的相关因素.研究结果表明：齿轮系统的不稳定性区域随着列车运行的速度降低总体呈减小趋势，但是在发生参数共振速度处存在明显不稳定区域；增大阻尼有利于系统的稳定性，当阻尼系数从0.01增加到0.05时，处于稳定区域的刚度波动幅值从5%增加至20%；增加齿轮的重合度可以减小啮合刚度的谐波特性，从而增强系统的稳定性.

稳定性；参数振动；齿轮传动系统；多尺度法；高速列车

高速列车传动系统一般为齿轮传动系统，从动轮直接压装在车轴上，主动轮采用联轴节与牵引电机相连，通过齿轮箱悬吊在构架横梁上［1］.因此，齿轮系统的振动特性将直接影响着高速列车驱动传动系统的运行性能.在齿轮传动中，由于参与啮合的轮齿对数的周期变化，使得齿轮轮齿的综合啮合刚度也是周期变化的，所以在动力学模型中体现为周期性时变的弹性刚度.考虑这种因素后，齿轮动力学问题在力学上是参数振动问题，其分析的模型是参数振动方程［2］.

齿轮系统是一种参数振动系统，判定系统稳定性以及影响稳定性的因素是首要问题，众多齿轮方面的学者在这方面做了大量工作.文献［3-5］中利用数值方法分析了单自由度齿轮系统的稳定性和稳态响应，模型将齿轮啮合刚度假设为矩形波和正弦波，揭示了齿轮系统的谐波共振、概周期响应和混沌响应.文献［6-7］中利用直接积分算法对多自由度齿轮系统的稳定性进行了研究，并探讨了通向混沌的双周期分岔途径.文献［8-10］中运用Floquet理论对稳定性尤其是参数稳定性方面也有较多的研究［8-10］.

上述研究主要集中在一般机械领域，针对铁路车辆，尤其是高速列车传动系统的研究较少.

高速列车齿轮传动系统动态响应较为复杂，在特定频率激励往往出现超谐共振、亚谐共振等多种参数共振形式，对齿轮传动系统的服役将产生不利影响，严重的会导致系统的共振失效.为了准确表达参数激励下的高速列车齿轮系统振动稳定性，本文针对某型高速动车组齿轮传动系统，采用多尺度解析方法对齿轮系统方程作近似展开，得到系统稳定区的近似解析解，给出动力稳定性图谱，并从系统稳定性角度提出了高速列车齿轮传动系统参数选取建议.

1 齿轮啮合动力学模型

1.1 动力学方程

当忽略传动轴和支撑系统的弹性变形时，可将高速列车齿轮传动系统简化处理为齿轮副的扭转振动系统，如图1所示，图中：

θp、θg为主、被动齿轮的扭转振动角位移；

Ip、Ig为主、被动齿轮的转动惯量；

Rp、Rg为主、被动齿轮的基圆半径；

i为传动比；

e（t）为轮齿啮合传递误差；

km为啮合综合刚度；

cm为啮合阻尼；

Tp、Tg为作用在主、被动齿轮上的外载荷力矩.

动力学方程可表示为［11］

图1 齿轮动力学模型Fig.1 Dynamic model of a gear pair

为了消除系统刚性位移，定义系统动态传递误差和静态传递误差的差值为

将式（1）、（2）相减，得到单自由度系统的动力学方程为

式中：

me为当量质量，

1.2 齿轮啮合刚度和传递误差

齿轮啮合刚度的获取方法有很多种，通常先计算出啮合刚度的峰值和平均值，然后按啮合频率将啮合刚度简化成矩形波周期函数，略去高阶项后再将其展开成傅里叶级数［12］，即

式中：

Ks为平均刚度；

Kj为刚度波动幅值；

j为刚度有限谐波项数；

φj为相位角；

ωe为齿轮副的啮合圆周频率，

ωe＝2πZ1n1／60＝2πZ2n2／60，

其中，

Z1、Z2分别为主、被动轮的齿数，

n1、n2分别为主、被动轮的转速.

上述方法简单易用，但是对于轮齿刚度的时变表达不够精确.事实上，轮齿综合啮合刚度定义为使一对或几对同时啮合的轮齿在1 mm齿宽上产生1 μm挠度所需的载荷［13］.根据这一定义，建立高速列车轮齿三维实体接触有限元模型，本文建立的齿轮传动的轮齿接触有限元模型如图2所示.

图2 轮齿接触的三维有限元模型Fig.2 3D finite element model of gear pair contact

在可能接触区域部分进行网格加密，得到的模型共有68 460个单元，86 750个节点.将主动轮和被动轮的齿面定义为接触对，在齿轮轴线上建立参考点，并在参考点和大小齿轮内圈和剖面间建立耦合约束，将转矩载荷、约束施加在主动轮和被动轮的参考点上.计算随时间变化的啮合轮齿之间弹性变形和受力，得到齿轮啮合刚度，并采用傅里叶级数对时变刚度进行拟合.

图3为小齿轮在4 200 r／min转速下，采用有限元方法和傅里叶级数拟合的齿轮时变啮合刚度曲线.

轮齿啮合误差通常采用齿轮啮合频率的傅里叶级数表示［12］，即

式中：

e0、ej分别为齿轮误差的常数和幅值；

θj为相位角.

1.3 运动方程的无量纲化

将式（4）、（5）代入式（3），令x＝bu（b为特征尺寸），对其进行无量纲化，可得

式中：K1＝Kj／Ks；

图3 时变啮合刚度曲线Fig.3 Time-varying curve of mesh stiffness

2 稳定性分析

引入小参数ε，则有：

ξ＝εμ； kj＝εK1.

式（6）的齐次形式可表示为¨u＋2εμ˙u＋

使用多尺度法［14］，讨论式（7）的一次近似解.设零次近似方程的解为

式中：

T0、T1、Ti为多尺度法的时间变量；

A为待定的复函数.

一次近似方程表示为

式中：

cc为前面各项的共轭复数.

将式（10）代入到式（9）中，消除久期项，得

设

分离实部和虚部，得

式中：

其中，

b1、b2为常数，

λ为特征值.

特征方程为

由式（13）可知，当λ具有正实部时，系统不稳定，由此可得系统稳定性边界的临界曲线方程为

3 实例分析

根据上述结果，对某型高速列车齿轮系统的稳定性进行分析.齿轮副的相关参数如表1所示.

表1 齿轮副参数Tab.1 Parameters of gear couples

图4（a）为不考虑啮合阻尼，展开项数j取1～6项时，系统在kj-¯ω平面上的稳定性图谱，V形区域内为不稳定区域（以下同）.

从图4（a）可以看出，随着项数j的增大，啮合刚度的谐波特性会降低，系统的不稳定性区逐渐减小；在啮合刚度不变时，随着参数激励¯ω的减小，不稳定区域也会减小，出现不稳定区域的重叠.

图4（b）为相应的速度稳定性图谱.

从图4（b）可以看出，齿轮啮合频率随着列车运行速度的降低而减小，不稳定的区域总体呈减小趋势，但在发生参激振动的转速时，不稳定的区域明显更大，在实际运行中应引起注意.

图4 齿轮系统稳定性Fig.4 Stability of gear system

图5 为阻尼系数对稳定性的影响.从图5中可以看出，系统阻尼对稳定性有较大的影响，阻尼可以减小系统的不稳定区域，改善系统的动态特性.当阻尼系数从0.01增加到0.05时，处于稳定区域的刚度波动幅值从5%增加至20%.

从以上分析可以看出，可以通过以下途径增加高速列车齿轮传动系统稳定性：降低啮合谐波刚度比值、合理选取系统的参激频率（啮合频率与固有频率的匹配）以及增大轮齿的啮合阻尼.在实际的设计过程中，首先应该保证列车常用的运行速度避开固有频率与啮合频率容易发生参激共振时的转速（从图4（b）看应尽量避免240 km／h的常速行驶），增大啮合阻尼主要依靠材料的选取或采用附加阻尼的方式，降低啮合谐波刚度比值可以通过增大齿轮的啮合重合度.

式（15）是端面重合度与啮合刚度均值的表达式［15］，

式中：

εα为端面重合度；

c′为单对齿刚度.

图6为端面重合度分别取1.2和1.9时，采用数值直接积分对式（6）进行求解得到的位移随时间变化图，从图中可以看出，当端面重合度分别取1.2和1.9时，系统趋于不稳定和稳定，这也是高速列车齿轮系统参数设计中普遍采用高重合度的原因.

图5 不同阻尼下齿轮系统参数振动稳定性Fig.5 Parametric vibration stability of gear system with different dampings

图6 不同端面重合度系统时间历程图Fig.6 Dynamic response time history of gear system with different transverse contact ratios

4 结 论

本文从理论上分析了高速列车齿轮系统在参数时变啮合刚度下的稳定性问题，通过对时变啮合刚度的傅里叶展开，运用非线性多尺度近似解析方法得到了齿轮系统的稳定性图谱，从系统稳定性的角度得到了齿轮设计时应考虑参激频率、刚度的谐波特性以及啮合阻尼三方面因素，主要结论如下：

（1）齿轮系统的不稳定性区域随着列车运行的速度降低总体呈减小趋势，但是在参激频率处存在明显不稳定区域，应根据系统的固有频率合理地制定运营速度.

（2）系统的阻尼比和啮合刚度的谐波分量对系统的稳定性影响较大.增大阻尼有利于系统的稳定性，通过增加齿轮啮合的重合度可以减小啮合刚度的谐波特性，从而减小系统的不稳定区域，当端面重合度从1.2增加到1.9，对系统直接数值积分也验证了这一结果.

（3）文中从稳定性的角度分析了齿轮啮合引起的参数振动，分析模型可为高速列车驱动传动系统动力学等研究提供借鉴.

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（中文编辑：秦 瑜 英文编辑：兰俊思）

Stability Analysis of Parametric Vibration for Gear Transmission System in High-Speed Train

HUANG Guanhua1， ZHANG Weihua1， FU Yongpei1， LIANG Shulin2， WANG Xingyu2
（1.State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.CNR，Changchun Railway Passenger Vehicle Company，Changchun 130024，China）

In order to study the stability of the gear transmission system in high-speed trains，a dynamic model describing the torsional vibration behaviors of the gear system was developed.In this model，the time-varying mesh stiffness of meshing teeth pairs was calculated through finite element analysis，and the mesh stiffness and transmission error were expanded using the technique of Fourier series.Based on this model，the multiple scales method was used to solve the nonlinear differential equations of gear systems，and the approximate analytical solution and transition curves that separate stable from unstable regions were obtained.In addition，the main factors that influence the stability were discussed.The results show that the unstable regions decrease with the decrease of the train＇s running speed，but an unstable region always exists at the speed where parametric resonance occurs；increasing the damping is effective to reduce the unstable regions：as the damping increases from 0.01 to 0.05，the amplitude of mesh stiffness fluctuation in stable regions increases from 5%to 20%；and，an increase in the contact ratio can help suppress the harmonic characteristics of mesh stiffness so as to improve the stability of system.

stability；parametric vibration；gear transmission system；method of multiple scales；high-speed train

U270.1

：A

0258-2724（2014）06-1010-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.012

2013-09-18

国家自然科学基金和铁道部高速铁路基础研究基金联合资助项目（U1234208）

黄冠华（1987－），男，博士研究生，研究方向为高速列车传动系统动力学，E-mail：hgh7735＠126.com

黄冠华，张卫华，付永佩，等.高速列车齿轮传动系统参数振动稳定性［J］.西南交通大学学报，2014，49（6）：1010-1015.