一类具临界指数的分数阶拉普拉斯方程对称解的存在性*

沈 慧1, 王桂云2, 沈自飞1

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004;2.浙江交通职业技术学院 数学教研室,浙江 杭州 311112)



一类具临界指数的分数阶拉普拉斯方程对称解的存在性*

沈 慧1, 王桂云2, 沈自飞1

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004;2.浙江交通职业技术学院 数学教研室,浙江 杭州 311112)

研究了一类分数阶拉普拉斯方程

解的存在性问题.其中,2*(s)=2N/(N-2s),N>2s,s∈(0,1),函数f:RN×R→R对于u次临界增长.运用变分方法建立了方程对称解的存在性定理.

分数阶拉普拉斯算子;变分法;临界非线性;对称解

0 引 言

近年来,分数阶拉普拉斯算子方程解的存在性问题引起了很多学者的关注,这类问题来自于一些不同类的实际问题,比如阻碍问题、金融市场问题、相位变换问题、反常扩散问题、晶体脱位问题、软薄膜问题、半透膜问题、极小曲面问题、材料科学、水波问题，等等.

文献[1]研究了带分数阶拉普拉斯算子的非线性薛定谔方程

式(1)中:0<α<1;N≥2;f:RN×R→R是超线性的且对于u次临界增长.分数阶拉普拉斯算子可以被刻画为F((-Δ)αφ)F(ζ)=|ζ|2α(φ)(ζ),其中F表示傅里叶变换.文献[1]证明了正解的存在性,并且分析了解的正则性、退化性和对称性.

本文考虑以下方程:

式(2)中:2*(s)=2N/(N-2s);N>2s;s∈(0,1)是固定的;Hs(RN)是分数阶Sobolev空间,被定义为

其范数为

(-Δ)s是分数阶的拉普拉斯算子,被定义为

若对任意φ∈Hs(RN),有

(3)

则称u∈Hs(RN)是方程(2)的弱解.

方程(2)的能量泛函被定义为

下面给出方程(2)中函数f:RN×R→R的假设:

(f0)f:RN×R→R是Carethéodory函数.

(f2)对于任意的x∈RN,t∈R,存在a1,a2>0,q∈(2,2*(s)),使得

|f(x,t)|≤a1+a2|t|q-1.

(f3)对于任意的M>0,sup{|f(x,t)|,x∈RN,|t|≤M}<+∞.

(f4)存在μ>2,使得对于所有的t>0和x∈RN,

0<μF(x,t)≤tf(x,t),

为方便起见,记

本文的主要结果是:

定理1如果N>2s,s∈(0,1),函数f满足假设(f0)～(f4),那么方程(2)至少存在一个非平凡径向对称解.

1 一些概念及引理

引理1[1]如果2≤q≤2*(s)=2N/(N-2s),那么

且当 2≤q<2*(s),Ω⊂RN是一个有界区域时,Hs(Ω)中的任意有界序列{uk}在Lq(Ω)中有一个收敛子列.

由引理1 知,式(4)所定义的Ss是有意义的,且Ss>0.

引理2[1]设R>0,N≥2,2

那么在Lp(RN)中uk→0.

证明 对任意的x∈RN,R>0,记m(x,R)是球心在以|x| 为半径、原点为球心的球内,且以R为半径的不相交球的最大个数.易知,当|x|→∞时,有m(x,R)→∞,且对任意的u∈L2(RN),r>0,有

且

于是,对于q∈(2,2*(s)),由 式(5)、式(6)和引理2可知,在Lq(RN)中,有

unj→0,j→∞. (8)

即{un}有收敛子列.引理3 证毕.

引理4[2]如果f满足假设(f0)～(f4),那么对于任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0，使得对于任意的x∈RN,t∈RN,有

|f(x,t)|≤2ε|t|+qδ(ε)|t|q-1. (9)

且进一步有

式(10)中:F由假设(f4) 给出;q∈(2,2*(s)).

引理5[3]如果f满足假设(f0)～(f4),那么存在2个正可测函数m=m(x)和M=M(x),使得对于任意的x∈RN,t∈R,有

式(11)中:F由假设(f4)给出;2<μ<2*(s);m,M∈L∞(RN).

2 定理1 的证明

泛函I的Fréchet导数为

为了证明定理1,还需要下面的引理:

其中,C4,C5和C6是适当的正数.

即引理6成立.引理6证毕.

再由假设(f4)和式(4)可知,存在t0>0,使得

引理7证毕.

特别地,可取

式(16)中:u0由式(13)给出;t0>0充分大.

容易看出,I(0)=0<β,其中β由引理8给出.设

式(18)中:

e=t0u0由引理8给出.

引理9[2]如果N>2s,s∈(0,1),f满足假设(f0)～(f4),那么式(18)中的常数c满足

式(20)中:β由引理6给出;Ss由式(4)定义.

且

证明 分以下几步证明引理10.

事实上,对于任意的j∈N,由式(21)和式(22)知,存在C1>0,使得

进一步,由式(23)和式(24)可知

由假设 (f4),有

(27)

由2<μ<2*(s)及式(25)、式(26)可知,序列{uj}在L2*(s)(RN)中是有界的.又因为L2*(s)(RN)是自反空间,所以序列{uj}存在子列,使得在L2*(s)(RN)中有

uj⇀u∞,j→∞. (28)

对于任意的ν∈(2,2*(s)),由引理3知,{uj}存在子列,使得在Lν(RN)中有

|uj|2*(s)-2uj⇀|u∞|2*(s)-2u∞,j→+∞. (30)

又由引理4可知

现取ε=1,则存在常数C1,C2>0,使得

容易看到,当j→+∞时,

特别地,当j→+∞时,有

(36)

因此,u∞使得式(3)成立.

3)以下不等式成立：

于是由假设(f4)便有

(38)

且

因此,

(40)

(41)

由〈I′(u∞),u∞〉=0和〈I′(uj),uj〉→0可得

定理1的证明 由引理6、引理8、引理10和Mountain Pass定理,即可知定理结论成立.定理1证毕.

[1]Felmer P,Quaas A,Tan J G.Positive solutions of nonlinear Schrödinger equation with fractional Laplacian[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2012,142(6):1237-1262.

[2]Servadei R,Valdinoci E.A Brezis-Nirenberg result for non-local critical equations in low dimension[J].Commun Pure Appl Anal,2013,12(6):2445-2464.

[3]Servadei R,Valdinoci E.Mountain Pass solutions for non-local elliptic operators[J].J Math Anal Appl,2012,389(13):887-898.

[4]Brézis H,Nirenberg L.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents[J].Comm Pure Appl Anal,1983,36(4):437-477.

(责任编辑 陶立方)

Existence of symmetry solutions for a fractionalLaplacian equation with critical nonlinearity

SHEN Hui1, WANG Guiyun2, SHEN Zifei1

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.MathematicsTeachingandResearchSection,ZhejiangInstituteofCommunications，HangzhouZhejiang311112,China)

The existence of solutions for the following nonlocal fractional Laplacian equation was studied,

with critical exponent 2*(s)=2N/(N-2s),N>2sands∈(0,1).f:RN×R→Rhad subcritical growth with respect tou. The existence of symmetry solutions for the equation was obtained by using variational method.

fractional Laplacian; variational method; critical nonlinearity; symmetry solutions

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.004

2014-06-05；

：2015-02-03

国家自然科学基金资助项目(11271331)

沈 慧(1988-),女,河南信阳人,硕士研究生.研究方向：非线性泛函分析.

沈自飞.E-mail: szf@zjnu.cn

(-Δ)su+u=|u|2*(s)-2u+f(x,u),x∈RN

O175.25

：A

：1001-5051(2015)04-0379-08

(-Δ)su+u=|u|2*(s)-2u+f(x,u),x∈RN