于平淡处现“波澜”于无声处见“惊雷”
——对一道中考题的赏析与反思

☉山东省沂源县青少年学生校外活动中心 耿雷生

☉山东省沂源县实验中学 崔春近

于平淡处现“波澜”于无声处见“惊雷”
——对一道中考题的赏析与反思

☉山东省沂源县青少年学生校外活动中心 耿雷生

☉山东省沂源县实验中学 崔春近

教育部在《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”，所以开放性的问题在各地市中考题中层出不穷，常见的题型有：给出条件，探究出各种结论；给出结论，探究结论成立的条件；方案设计题；解题策略的开放问题……2015年淄博市数学中考题第17题，是命制开放性试题上的又一次新的突破，让人拍案叫绝、赞不绝口.笔者以此题为例，谈自己的一点粗浅认识.

一、题目

（2015年淄博市中考题·17）对于两个二次函数y1、 y2，满足时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式.（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）

二、题目特色赏析

本题与传统的开放性题型不同，不仅仅是答案不唯一，而且两个二次函数相加在日常练习中是没有出现过的，需要考生在熟练掌握教材基础知识的基础上，认真读题，细细分析，才能够理出思绪.基础较弱的学生没有耐心读完题，就宣告放弃了，部分中上游的学生，灵活运用所学知识的能力不够，匆忙下笔，左碰右碰，在乱战中败下阵来.由此可见，命题人的出题角度、设计的立足点可谓别出心裁、独具匠心，具体赏析如下.

1.立足教材，平中见奇

二次函数是初中代数的核心内容，又是高中教材圆锥曲线的基础，二次函数是中考的必考内容，但怎样考，从什么角度入手，怎样创新，是命题人一直探索的问题.本题给出了很好的范例，题目“脱去”了给出点的坐标求二次函数解析式的“俗套”，从二次函数的定义、二次函数图像上点的坐标与二次函数解析式的关系、二次函数与某点处具体函数值间的区别入手，从学生理解函数最薄弱的环节展开，重点考查二次函数顶点式的同时，将一元二次方程的解法融入其中.x=m时，y1=5，y2=3，所以求出m的值，这是解决本题的第一个关键.来源于教材最基本的知识，借助“y1+y2”这一“新”的形式，让题目展现了不一样的精彩，尽显命题人浓厚的知识功底和数学素养.

2.秉承传统，敢于创新

这道题来源于九年级上册二次函数部分，通过y1、y2两个函数相加得到一个新的复合函数，通过创新变式将函数与方程的关系、抛物线的顶点式、抛物线的顶点坐标、开口方向的考查融在了一道开放题中，出题人的高明之处在于：学生读完题之后，甚至经过认真分析之后，还不知道这是一道开放性题目，尽管题目中给出了很多的“暗示”，如“请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式”“要求：写出的解析式的对称轴不能相同”，都说明本题的答案不唯一.仔细分析并不难的一道题目，在命题人的创新设计下，却在考场中挡住了“千军万马”.

3.误区重重，精彩纷呈

中考结束后，笔者及时调查了本地区考生对本题的求解情况，根据考生的反馈，整理了6种理解的误区.

误区1：x=m时，二次函数y1的函数值为5，又因为y1+所以这一类学生直接把（这一类学生直接把y1看作是5，彻底混淆了函数与具体的x下的函数值之间的区别）写在了横线上.

误区2：x=m时，二次函数y1的函数值为5，又因为y1+，所以的最小值是，认定这个答案一定错误，就干脆放弃了.

误区3：设=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，然后根据题意，向两个函数代入数，由于所设的参数太多，对于参数间的关系理不清，费了半天的功夫，却徒劳无功.

误区4：部分优秀生能够很快准确把握题意，x=m时，二次函数y1的函数值为5，二次函数y2有最小值3，令Y= y1+y2，则x=m时，Y=8.所以所以m=0或，从而得到y2的顶点坐标为（0，3）或3），这部分同学离答案只有一步之遥，而他们却开始寻找另一个条件，想把y2的解析式直接求出，根本没有分析出这是一道开放性题目，从而走上了穷途末路.

误区5：部分优秀学生仅仅抓住“x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3”这一句话，而x=0时，y1=5，y2=3正好符合y1+y2=8，所以x=0时，y2有最小值3，可以让y2=x2+3，对于另一个则认为只要a不同就可以了，忽视了括号内的要求.（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）

误区6：分析出x=0时，y2有最小值3，就认为二次项的系数可以任意取值，有个别同学取a=2，例如：让y2=2x2+ 3，这一部分同学只研究y2，忽略了验证y1也是二次函数，还有个别同学忙着高兴自己找到了y2的对称轴是y轴，而忽视了y2的开口应该向上.

4.能力立意，引领教学

命题人云鹏老师曾多次强调要重视教材研究，倡导命题的开放取向，这道创新型中考开放性题目，为一线教师下一步的创新教学指明了方向，也能够促使教师在日常教学中研究培养学生的学习习惯与思维能力，对师生转变教与学的方式发挥了较好的导向作用.

一道好的中考题，就是一面“镜子”，就是下一步教学的“指向标”.本题进一步引导教师不能仅仅局限在教材基本知识的传授讲解上，而应该在知识的融合和变式教学中下大力气，让数学真正“活”起来；在问题探究中，使问题的结构和本质得到揭示（像本题中函数图像上点的坐标与函数的关系），吃透概念，把握住本质，让学生做到以不变应万变，才能够让学生在有限的解题教学中达成“做一题，会一类，通一片”的教学追求.

三、正确解法

由误区4中的部分内容可得y2的顶点坐标为（0，3）或则y2=ax2+3或（a为不等于2的正值即可）.

四、几点反思

1.准确把握数学基础知识，深化理解数学的本质

部分教师，对于教材中基础知识的重视程度不够，片面地认为：没有必要在基础知识上“浪费”太多的时间，片面地追求“难”题、“偏”题，试想没有好的“根基”，如何谈“高层建筑”？哪一道中考难题不是取材于教材中的基础知识？有大学教授曾建议：“中学数学教学应该重视教材的开发与利用，重数学本质的揭示与思维过程的暴露，重知识的形成过程与知识间的逻辑关系，重数学概念的理解和内化，重数学思想方法的总结和提炼.”

2.注重整合教材，构建立体的知识框架

曾听过一节“求二次函数解析式”的复习课，教师按部就班地展示一组常规的题目，通过练习强化了学生对三种解析式求法的掌握，如果是新授课后的一节复习巩固课，还可以理解，但作为一节面临中考的课来讲解，就显得平淡低效了.复习教材的基础知识是必须的，但如果仅仅停留在基础知识的复习上，缺少对知识的再认识，没有整合再生，就不能完善学生的认知结构，元认识能力也得不到提升.有一位数学教师出过这样一道题：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是（2，5），还经过点（1，0），试用三种方法求二次函数的解析式.此题目就很好地整合了教材中求二次函数解析式的三种办法，学生比较容易想到用顶点式求解，而如何用一般式和交点式，又是对学生灵活运用所学知识的一次检验.将二次函数的开口方向、顶点坐标公式、对称轴、一元二次方程与二次函数的关系等知识融在了一道求二次函数解析式的题目中，“小”题目，发挥“大”作用.许多教师谈到学生解题能力的提升，都认为不是靠大量的重复机械的训练形成的，而如何设计思维含量高的题目，为学生构建立体知识框架，是教师主导作用的重要体现.

3.注重学生的思维提升，注重变式创新

不少一线的数学教师在教材的“表面”处理上，很“深”，很“透”，对于一些常规题目反复演练，但在变式创新上做的不够，致使学生在遇到“新”题目背景的时候，就找不到解题思路了.只有教师自己具有变式创新的意识，才能在学生的思维最近发展区域内提出具有挑战性的数学问题，引发学生实质性的思考；才能设计出激起学生探究欲望，激起思维碰撞“火花”的问题，让学生分析完题目后，有一种“哦，原来如此”的“新”感觉.笔者认为，教师创新意识的转变，每一节变式的创新教学课，都能够化为学生内在的力量，为学生在数学学习上的进步与提高搭建桥梁.

五、写在最后

命题组用开放题型，是想告诉广大备考的师生，从开放题走向“开放的数学教学”.每位教师都是富含宝藏的矿山、技艺高超的园丁，应着力引领学生去学“活”的数学，而不是死记概念、公式的数学，力争让每一名学生都根据自己的性格特点，在数学上得到个性的发展.Z