解法剖析：“小题大做”同样精彩

☉江苏省如皋市磨头镇初级中学 冯建全

解法剖析：“小题大做”同样精彩

☉江苏省如皋市磨头镇初级中学 冯建全

题目在数-5，1，-3，5，-2中任取三个数相乘，最大的积是________，最小的积是____________.

简析：本题是人教版七年级上册第一章“1.4.1有理数乘法”（第2课时）的一道练习题，呈现这道练习时，学生已经学完了多数连乘的解题方法，并归纳出了“多个不是0的数连乘，负因数个数为奇数时，积为负数；负因数个数为偶数时，积为正数”.教者将此题在一般方法归纳后呈现，主要是对已经获得的知识进行即时巩固.

一、教学过程实录

教师：请同学们认真审题，并试着给出答案.

学生审题并解题，教师巡视，并就学生中出现的问题加以指导.3分钟后，教师组织学生开始全班交流.

教师：说说你的结果及解题思路吧！

学生1：我得到的最大的积是75，最小的积是-30.

教师：你是怎么得到的？

学生2：我将这里的数字三个一组组合，逐一相乘得出了15，-25，10，75，-30，50，-15，6，-10，30等10种结果.然后从中选出最大的积和最小的积填入相应的空格中.

教师：是10种结果吗？

学生3：是的！

教师：何以见得？

学生4：我是按照一定顺序对这5个数字排序的.

教师：什么顺序呢？

学生5：为了保证我的结果不重不漏，根据这些数字原先出现的顺序，我先确定第1个数，然后再确定2，3两个数.比如，第1个数为-5时，第2个数取1时，第3个数可以是-3，5，-2，这样就有“-5，1，-3；-5，1，5；-5，1，-2”3种情况了；第2个数取-3时，我们“往后看”，也就是不考虑1了，此时有“-5，-3，5；-5，-3，-2”2种；当第2个数取5时，只有“-5，5，2”这一种情况了.接下来，按照向后看的原则，再讨论第1个数为1、-3时候的情形.除了上面6种情况外，还有“1，-3，5；1，-3，2；1，5，-2；-3，5，-2”等4种情况.将这10种情况逐一连乘，就得出了我刚才的10种结果了！

教师：说得真棒！用逐一有序列举的方法，不重不漏地呈现所有可能的结果，在对比中，最大（小）的积也就自然出现了.还有其他方法吗？

学生6：我觉得可以应用今天学的知识来解决本题！

教师：是吗？

学生7：是的.这里给出了5个数，2个正数，3个负数.很明显，最大的积应该是正数，最小的积应该是负数.所以，我们从3个因数入手进行分析.

教师：能说具体点吗？

学生8：首先看符号，多个非0数连乘，要想积为正数，负因数的个数应该为偶数.所以，本题中取最大积时，要么没有负因数，要么就是两个负因数.

学生9（很激动）：不可能没有负因数！

教师：为什么？

学生10：本题中没有三个正数，所以三数相乘，至少有一个负因数.

学生11：是的，所以，取最大积时，应该是两个负因数.

教师：那怎么确定是哪几个因数呢？

学生12：这就是我接下来要说的.无论是最大的积，还是最小的积，都与这些因数的绝对值有关，绝对值越大，乘积的绝对值就越大.所以，想要得到最大积，就应该取绝对值最大的两个负数和一个正数，也就是-5，-3和5.三数相乘，积为75.

教师：太好了！那我们该如何确定得到最小的积三个因数呢？

学生13：同样的，我们还是先从符号入手！多个非0数连乘，要想积为负数，负因数的个数应该为奇数.所以，积取最小值时，负因数要么是1个，要么是3个.

教师：看来，和刚才一样也需要分类讨论喽！

学生14：是的！分两种情况讨论：当负因数为1个时，取绝对值最大的1个负数和绝对值大的2个正数，即-5，5，1，乘积为-25；当负因数为3个时，只有“-5，-3，-2”这种情形，积为-30.两者相比，取-30填入题中.

教师：这种方法很不错哦！从“多个非0数连乘”的法则入手，抓住因数的绝对值与最大（小）积之间的关系，通过对可能出现的情形分类讨论，从而得到想要的最大（小）的积.这一解法将本课所学知识与前面的知识融合在一起，现学活用，值得表扬！

二、实录简析

教学需求，是教师教学设计的动力.上面的片断，显然是经过教者精心预设的.抛出这样一道练习，学生的解法是可以预见的.“列举法”或“法则法”，哪一种方法出现，抑或是两种方法同时出现，都不意外.教者的教学期待，通过3分钟学生的自主探究转变为现实.一名学生首先展示了用“列举法”探究结果的全过程，教者对学生如何“有序”呈现结果进行了追问，在这种一问一答中，个体思维的序被展露无余.虽然这种解法看似复杂，但作为化解问题的常用方法，还是得到了老师的肯定，这也为接下来的继续交流营造了良好的氛围.第2种方法紧扣法则和绝对值定义，让学生将近期学习的知识通盘梳理.师生、生生的互动交流依然在解题的“序”上做文章，先是法则应用，以获取“最大（小）的积”中负因数的个数，然后是分两大类进行逐一讨论，让法则和绝对值的应用落在了实处.学生自始至终能感受到数学知识在问题解决中的巨大作用，充分体会到数学知识的应用价值.总的来说，两种解法都在教师“掌控”之下进行了有序的交流，从交流的成效看，学生的求解是有序的，他们所呈现的解题思路和解题过程是有序的，这为其他学生化解此类问题提供了可以参照的“标准”.事实上，这道例题的价值并不在于问题解决本身，有序的解答和有序的交流会有力地推动学生有序思维习惯的形成.这一解题与交流方式的强化，会让学生在今后的问题解决中有章可循，有序可依，成效显著.

三、几点启示

1．“小题”剖析同样精彩

在很多老师眼中，填空题、选择题属于小题，一般求解过程较为简洁，不需要进行解法交流.笔者认为，这种观点是不对的.在数学教学中，题越小，数学化程度越高，涉及的非数学的知识也就越少，认真利用便能很好地体现数学的价值.因此，在教学中，我们应抓住小题信息量小、涉及知识点少、思路分析简洁等特点，展开“短、平、快”式的交流，以期实现“四两拨千斤”的成效.以本文中这道小题为例，整题文本只有30个字，没有生活情境的参与，数学化程度很高.这道题中给出的所有文本信息，几乎都直接指向了近期学习的有理数的乘法.前阶段（前几课和这课的前半课），学生已经获得了有理数乘法的很多知识，具备了化解本题充足的知识基础和技能基础.正是这样的情形，此题的教学有了充足的铺垫，加之题目本身融合了近阶段的很多知识，如果在教学中进行剖析，将是一次极好的巩固、回忆、提升的契机，因此，教师有意将此题设计为课堂例题，通过学生求解历程的详细交流，让两种截然不同的解法成为了教学的“生长点”，小题的独特魅力在教学中得到了尽情展示.

2．教学交流应关注通法分享

共性解题方法，又称通法，它是学生解题中最为常用的方法，也是对学生数学思维发展影响最大的方法.在解法剖析与解法交流中，应关注此类方法作为交流的重点加以呈现，让它们走上教学前台，成为课堂的“主角”.本文中，化解这道小题的两种方法都是学生最为常用的解题方法.列举法不仅是这道题目的解题方法之一，也是后面化解概率问题的常用方法，是学生后续学习中获取知识和解决问题的重要工具，应该引起教师的重视；“法则法”，从近期教学出发，知识与技能都是“新鲜”的，交流在师生熟悉的氛围中展开，知识的提取与应用都易于引发参与者的共鸣，这种基于课时教学需求的解法交流对课时目标的达成是十分有效的.我们再来看看教学交流的效果，学生的自主探究已经经历了不同解法碰撞的过程，对这两种解法有了一个初步的认识，教学交流中再度出现，他们是能够接受的，在课后的训练中，他们还对两种方法在解题中都进行了简单的再应用，取得了较好的解题效果，应该说，这样的教学交流显然是成功的.

3．解法剖析不能偏离初衷

教师的教学实施都是有“预谋”的，每一个问题、例题、活动没有教师的预设，是无法进入课堂的.因此，在教学过程中，教师应时刻关注教学进程与教学设计初衷的吻合程度，要为预设目标的达成进行适时调整，一旦发现偏离“航向”就应及时矫正，使之回到预设的教学方向上来.据此，我们的例题教学也应遵循上述原则进行.由于例题的解法是多样的，在不同教学时段呈现会有不同的解法出现，就算在同一时段也会由于学生的不同而产生异样的解法，这就要求老师要对解法进行甄别，选出最贴近教学目标需求的解法进行交流，让解法剖析不偏离设计初衷.本文中所出现的列举法虽然不是本节课预设的方法，但由于列举仅是解题中的一个小的环节，学生更多地是应用新学的多数连乘的法则在解题，所以，教者将此法先于应用法则解题的方法交流，既避免了后交流冲淡主题的尴尬，也有效防止了解法交流偏向的出现.“还有其他方法吗”，一句淡淡的追问，矫正了交流方向，基于法则之上的方法交流凸显了课时主题，保证了教学目标的有序达成.应该说，教师的小结提升了交流的品味与质量，实为解法剖析的点睛之笔，值得称道.H