转型时期“实变函数论”课程的改革与实践

魏含玉

（周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口466001）

“实变函数论”是数学专业最重要的基础课之一，它既是数学分析课程的自然延续，又是提高学生分析抽象问题和解决实际问题能力的核心课程.“实变函数论”是本科教学中学生普遍感到学习难度较大的课程之一［1－4］.对于授课教师，尤其是普通高等师范院校的教师来讲，在新时期下如何教好这门课程是一种挑战，而且目前面临学校转型的关键时期，如何适应新形势下的教学，如何提高转型时期“实变函数论”的教学水平，达到理想的教学效果，是目前考虑的主要问题.在借鉴前人经验的基础上［5－8］，结合这些年自己对“实变函数论”的教学实践，尝试对“实变函数论”的教学进行一些改革与实践.

1 重视基本概念和基本理论的教学

在教学过程中，要注重实际应用背景知识，要讲清楚概念的来源，抽象的概念引入时，尽量具体、生动，努力降低学生在数学上认知的困难.要注重采用恰当的教学方法和技巧，注重思维的启发引导，夯实基础知识，指导学生解决实际问题.教学过程中要善于运用类比方法，“实变函数论”中的概念比较多，而且还比较抽象.因此，在讲解这些概念时，要善于运用恰当的教学方法，以便于学生接受和理解.“实变函数论”是数学分析的深化，这两门课程之间的一些概念具有相似之处，教师在讲授“实变函数论”的某些概念前，不妨先把数学分析中与之相关的概念复习一下，然后通过类比，引出“实变函数论”中的新概念.比如，在讲集合列的上极限和下极限时，如果直接给出它的定义，学生接受可能会有一定的难度，可以通过类比的方法，先复习数学分析中数列上极限和下极限的定义，然后再给出集合列的上极限和下极限定义，这样通过与以前知识的类比，学生对新概念就易于接受和理解.教师再总结出集合列上极限集和下极限集的共同点和不同点，上极限集和下极限集的包含关系，加深学生对定义的理解.其次要注重学生的思维启发，在讲解书本上的定理时，要让学生清楚，所讲定理在本章节的地位及其应用，理顺定理间的逻辑结构.在讲解定理证明时，先分析证明方法、理清思路，然后再详细讲解证明过程，逐步培养学生独立思考和解决问题的能力.概念与定理的教学非常关键，是“实变函数论”教学中的重点和难点，如果学生对一些概念不理解，定理不熟悉，他就很难掌握解题技巧，遇到问题时就不知从何处下手，这样会打击学生学习的积极性，甚至失去学习本课程的信心.所以，必须高度重视基本概念和基本理论的教学.

2 精选教学内容，强化解题意识

近年来，为了适应新形势下人才培养方案，培养高素质的应用型人才，在大学本科阶段，学生需要学习的知识越来越多，开设的实践课程也越来越多，这就直接导致了许多课程学时的缩短.函数论的课时由原来的72学时压缩到现在的51学时，课时的压缩给这门课程的教学带来了一定的困难.因此，如何在有限的学时内，完成大纲规定的教学任务，同时又能使学生获得较好地学习效果，确实是一项艰巨的任务.“实变函数论”是数学家们集体智慧的结晶，但这些内容具有一定的复杂性，高度的抽象性.由于本课程学时有限，在大纲规定的学时内，要求学生全面理解内容，并掌握解题技巧非常困难，所以在教学过程中，不能一味地强调学生全面学习，而忽视学生学习的效果和质量，因此，要精心选择教学内容.在这几年的教学实践中，保持讲授内容精简，选择具有代表性、启发性的内容，并保持与数学分析的紧密联系，以便于更好地掌握这门课程.例如：在讲授“实变函数论”第三章的测度论时，要先介绍测度论发展的过程，外测度、可测集和可测集类的内容要精讲，而不可测集的构造过程则比较复杂，可以不作要求，但要学生清楚确实存在不可测集，可以利用勒贝格测度的平移不变性，具体的构造出来不可测集.要引导学生深入理解概念和定理，夯实基础知识和基本理论，强化解题思路分析，提高解题意识.对于有关集合可测集定理的证明，要尽可能地给予直观的证明，以助于学生理解.通过这样的改革设想，能够使学生更好地理解“实变函数论”的内涵，掌握处理问题的能力和方法.

3 体现师范专业特色，注重教学的实用性

周口师范学院属于普通高等师范类本科院校，有很多数学专业学生毕业后，可能要从事中小学教育职业.所以，笔者在教学过程中要注重提高学生的数学思维，提升学生的综合能力，如教学能力，与学生沟通能力等.在教学过程中，应该改变传统的教师单方面讲述教学模式，让学生参与教学过程，注重教师与学生之间的交流.这样不仅可以改变学生被动接受学习的方式，还可以激发学生的学习兴趣，培养创新意识.提高学生的专业素养，培育他们的教师职业素养.“实变函数论”的内容比较抽象，逻辑性较强，但是也有一部分相对比较简单的概念、定理.例如勒贝格积分的定义，它在黎曼积分定义的基础上就易于理解.像非负简单函数的勒贝格积分及其性质，这些相对简单的内容，可以通过学生预习相互讨论，学生上讲台讲解，老师给予补充、点评的方式来组织教学.或者，让学生课前通过查阅相关资料，自己动手了解相关知识的背景，激发学生对这门课的学习兴趣，以专题研究报告的形式完成，加深学生对知识的理解.同时在教学内容上，要加强与中学数学知识的联系，例如集合论、距离、集合的测度等，像这些在中学数学中涉及的相关问题，通过“实变函数论”的学习，可以让学生站在新的高度，更深层次的认识这些问题.

4 巧设科学问题，培养学生的科研能力

科研意识应为发现问题、提出问题、分析问题的意识以及探求未知的意识.学生有了科研意识，才能去谈创新能力、科研能力.例如讲解可测函数概念：在讲解概念之前，教师首先交代清楚，“实变函数论”中为什么要引入可测函数，让学生们清楚引入的原因，有了这样的背景知识以后，才能深刻地学习可测函数的概念.学完可测函数概念之后可启发学生思考这样几个问题：①定义中验证函数是否可测的有限实数a能否用具体的数或有限个数来验证？②要验证一个函数是不可测函数，那么该如何验证？③数分中讲的区间［a，b］上单调函数是否可测？④是否存在不可测函数？又如第四章的鲁津定理，可以进行这样的一些问题设置：①鲁津定理说明了可测函数与连续函数什么关系？②鲁津定理中的条件对于任意给出的常数δ＞0，能否将这个常数加强到δ＝0？在学生对这些问题思考之后，让学生说出自己的想法，然后教师给予补充，把这些问题全部给学生讲清楚.如果在教学实施过程中，始终体现和遵循这样的思维方式，让学生掌握科学发现的方法和思路，无疑对学生创新能力和科研能力的培养起到重要作用.

5 加强习题设计，注重师生间的交流与沟通

教师在讲解完每一章节之后，要有针对性地设计一些能反应“实变函数论”思想的习题来帮助理解相关内容，以助于学生充分理解该课程的深刻内涵.同时启发学生在平时学习的过程中，要多思考，课下注重作业的完成质量，可能有的学生表达能力不太强，解题叙述没有条理或没有说清楚，教师要给予认真的批改，并把这些问题指出来，切不可简单了事.在对学生辅导答疑环节，精讲一些典型习题，典型的解题方法，鼓励学生多层次，全方位的思考.如果在学习过程中遇到困难，及时与老师、同学交流、沟通，以免积累的问题过多，丧失对这门课程学习的信心.

6 改变考核方式，激励学生自主学习

教与学的真实效果需要通过考核来检验，考核是课程教学过程中一个必不可少的重要环节.“实变函数论”传统考核方式基本上以闭卷为主，更多地注重理论和知识而轻视实践和能力，为了真实了解学习情况，激励学生自主学习，实现课程的科学化管理以及教学质量的合理化监控，要改变传统的考核方式.采用学生平时出勤占10%，作业完成情况占10%，专题研究报告占20%，期末考试成绩占60%，通过比例方式来确定学生的综合成绩，避免了一次考试确定成绩的考核方式.这样可以把学生平时的学习积极性调动起来，促使学生主动地学习，促进良好学风的形成，学生把学习的工夫花在平时，激励学生自主学习，而不是平时不学考前搞突击复习，这样会取得满意的教学效果.

社会的发展日新月异，而且目前周口师范学院面临转型的关键时期，大学教育也要适应其变化，提高“实变函数论”的教学质量，进行教学改革是唯一可行的出路，这就要求老师孜孜以求，付出艰苦不懈的努力.“实变函数论”的教学应顺应时代发展需要，坚持教学改革，不断提高教学质量，启发学生去感受、体验“实变函数论”知识中所包含的深刻思想和丰富智慧，逐步培养学生科学研究和创新能力，全面提高学生的综合素质，力争为国家培养出高素质的应用型人才.

［1］程其襄，张奠宇.实变函数与泛函分析基础［M］.北京：高等教育出版社，2010：1－131.

［2］江泽坚，吴智全.“实变函数论”［M］.北京：高等教育出版社，1992：101－120.

［3］郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要［M］.北京：高等教育出版社，2005：117－195.

［4］魏含玉，童艳春.“实变函数论”课程教学改革初探［J］.周口师范学院学报，2011，28（2）：46－51.

［5］刘晓波.“教学做合一”理论在实变函数课程教学中的实践［J］.高等理科教育，2013（4）：82－85.

［6］王瑞英.“实变函数”课程教学初探［J］.阴山学刊，2013，27（1）：40－42.

［7］文斌，刘春妍，康兆敏.立体式教学模式的研究与实践［J］.绥化学院学报，2013，33（3）：133－135.

［8］潘义前.《实变函数》课程教学改革探索［J］.经济研究导刊，2013（8）：207－208.