心中有生，贴地而行
——“二元一次不等式表示的平面区域”教学案例

☉江苏省新海高级中学 霍小伟

心中有生，贴地而行
——“二元一次不等式表示的平面区域”教学案例

☉江苏省新海高级中学 霍小伟

在教学中，很多教师受传统知识观的影响，把手中的教材当成是“法宝”“万能工具”，死板教条地从事着自己的教育工作，认为只要把前人整理好的知识理解了，然后教给学生，千方百计地让他们记住了，以后就可以去解决灵活多变的实际问题，就能应付不断变化的大千世界.这样的教学，过分强调书本知识的权威、标准答案的权威、教师的权威，慢慢地学生便习惯于对“快餐知识”的接受.长期这样下去，学生便将书本知识奉为“真理”，将教师的讲解当成“圣旨”，对已有观念缺乏检验，没有自己的思想，虽然拥有大量的知识，但却不知厚积薄发.

因此平时的教学中，教师要心中有学生，俯下身子“蹲”在学生的角度看待问题，教学不能高高在上，要接地气，贴地而行.在日常的教学活动中，我们不仅要充分发挥教师的主导作用，积极引导学生的认识方向，还要让学生的主体性得以充分地发挥.教师在课堂教学中要想学生所想，要经常研究学生会在哪些地方感到有疑惑，他们喜欢什么.教师只有做到这些，主导性作用才能得以体现，才能切切实实地调动起学生的主观能动性.学生才能够积极主动地、自觉自愿地参与到学习中去.本章主要结合“二元一次不等式表示的平面区域”教学案例实际，谈谈在教学中笔者自己的一些想法和设计.这节课的重点是理解二元一次不等式表示的平面区域，会画二元一次不等式表示的平面区域，难点是如何寻求二元一次不等式表示的平面区域，笔者重点设计了下面四个环节，有梯度地完成了本节课的教学.

一、创设情境，引出课题

问题：已知圆的方程为x2+y2=r2（r>0），平面直角坐标系中任一点P（a，b）与圆有什么样的关系？如何用数学符号语言表达？

生：若点在圆上，则满足a2+b2=r2；若点在圆内，则满足a2+b2r2.

师：若将任一点P（a，b）的坐标换成P（x，y），结果又如何表示？

生：依次为x2+y2=r2；x2+y2r2.

师：它们分别代表什么样的平面区域？

生：分别代表圆、圆内、圆外.

点评：找了一个贴近学生认知的平台，既关注了学生现有的思维发展区，又走向了学生思维的最近发展区，引导学生思考，教会学生感知数学，很自然地为后面提出课题做好了铺垫工作.

二、类比思考，学会学习

教师追问：通过上述圆的问题，我们发现x2+y2=r2表示的平面区域是圆，而不等式x2+y2r2表示的平面区域是圆外.那么点集{（x，y）| y>x+2}表示怎样的平面区域？

点评：由于引例中圆的问题的铺垫，学生很容易通过类比迁移理解上述不等式表达的平面区域与直线y= x+2息息相关，猜想出结果.

《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.课堂教学中教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”为了进一步检验猜想正确与否，笔者很大方地将下面的活动放手交给了学生.

活动1：实践（给出几个点代入）.

活动2：猜想（结论）.

活动3：证明（结论）.

活动4：点集{（x，y）|y>-x+2}与{（x，y）|x-y-2>0}表示怎样的平面区域？你有简便的判断方法吗？

最终在学生“自主探索”与笔者“有效引导”激情共舞下，圆满解决了问题，并初步总结出判断方法：直线定界，特殊点定域.

点评：通过问题串的层层推进，由浅入深，培养学生的类比能力和化归能力，激发学生的学习兴趣和自主探究的精神.

三、自主探索，形成结论

在前面活动的引领下，初尝甜头的学生很自然地提出更具一般性的结论.笔者也顺理成章地引出了本节课的课题“二元一次不等式表示的平面区域”.

活动5：一般地，直线y=kx+b将平面分成两个区域，____________表示直线上方的平面区域；____________表示直线下方的平面区域.

活动6：对于二元一次不等式Ax+By+C>0（A2+B2≠0），如何确定它所表示的平面区域？（对B进行讨论）

请完成下面的表格.

思考：能否对A进行讨论呢？请你试着自己列个表格.试试看，相信你一定很棒的！

点评：在活动4的解决过程中，学生积累了经验.可用化归法，也可用特殊点法来完成活动5和活动6.通过表格的填写，进一步培养学生思维的严谨性，提高了由特殊到一般的自主归纳、整理知识点的能力.最后师生共同总结，得出简便的判断方法：方法1是直线定界，特殊点定域；方法2是A正分左右，B正分上下（A、B分别是直线的一般式方程中x、y前的系数）.

四、发现创造，展示成果

有了前面的总结，笔者及时地补充了几个练习，检验教学效果.

画出下列不等式所表示的平面区域：

（1）y≥3；（2）x-6≤0；（3）y>-2x+1；（4）x-y+4<0.

点评：通过由特殊直线到一般直线，深化所学知识，感受判定的一般性方法.

当然，学生才是教学活动的主角，要让他们的思维一发不可收拾.

活动7：你们能相互出几个题目给你的同桌做做吗？试试看！

活动8：我们能否反过来看问题呢？说说你的想法，和我们大家分享一下吧！

（给出平面区域，反过来写二元一次不等式或不等式组）

点评：通过这两个活动，留给学生适当的教学空白，给足学生质疑时间与空间，通过这样的过程培养他们的逆向思维，引导他们思考，必要时为了保障教学质量，教师可用几何画板针对性地画出几个平面区域，让学生写出相应二元一次不等式组，达到深化所学知识的目的.在活动中，教会他们思考，让学生在自身的认知建构过程中，瞄准方向，针对性地进行质疑探究，通过自己的努力，取得累累硕果.

接着笔者将班级分成若干小组，探讨下面两个活动.

活动9：点集{（x，y）|y>x2}表示怎样的平面区域？你能画出来吗？试试看！

给出与曲线方程有关的平面区域，你能写出相应的不等式（或不等式组）吗？

活动10：点到直线的距离公式中的绝对值你能用今天学到的知识将它去掉吗？

点评：笔者通过活动9与活动10，提升了学生的思维层次，与引例圆的问题首尾呼应，起到了画龙点睛的作用.在学生思维的最近发展区提出问题，由直线到曲线，教会学生类比思考，学会学习，让学生感受到“跳一跳就摘到桃”的喜悦，在互动探究中培养了学生合作交流的能力，激发学生学习数学的热情.如果按照教学进度暂时不提，学生就会失去一次思维训练的良好机会.教学中要活用教材，要在教材的使用过程中融入自己的科学精神和智慧，教材不等于教学内容，教学内容应大于教材.

数学家陈省身曾说过这样一句话，数学本来是“好玩”的，孩子们也是很有好奇心的，可是我们教师若把数学讲得干巴巴的，就会激发不了孩子的兴趣，进而扼杀了他们的好奇心，数学自然就难学了.其中的“好玩”，我们不能浅显地把它理解成是童趣幼稚的好玩，而是利用数学思维，领悟数学本质的好玩.教学要基于教材，但又不能拘泥于教材，要学会变通，学会创造.教学要针对学生，对教材的使用方式不同，学生的参与方式也不同.教学时要结合教师个人的教学风格，创造性地使用教材.本节课笔者心中始终装着学生，通过一个问题十个活动，站在学生的角度，贴近学生的最近发展区，层层推进，很接地气地调动了学生的积极性，培养了学生的创造性思维，让学生去发现学习进而学会学习.

当然，为了避免学生进入“死胡同”，教师应做好示范工作，可以给学生提供足够的事例，让学生通过自行检验，最后从特殊到一般提炼出概念和原理.在教学中，有了教师有效的指导，学生的参与度会越来越大，思维发展越来越快，成就感自然也就越来越高了.当学生在教师的适当引领下，自己学会了如何去学习，从什么方向去自主研究，发现了数学的乐趣，并会主动建构自己的知识时，那么学生就会处于一种自觉的思维活动中，他的问题解决能力的提高就是水到渠成的事情，我们的教学效果自然也就达到了最大化.

1.张孝达，陈宏伯，李琳.数学大师论数学教育［M］.杭州：浙江教育出版社，2007.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A