一类反馈控制捕食-食饵系统平衡点的全局吸引

施春玲 ，王逸勤 ，陈育栎

(1. 福州大学至诚学院,福建 福州 350002； 2. 福建教育学院,福建 福州 350002)

一类反馈控制捕食-食饵系统平衡点的全局吸引

施春玲1，王逸勤2，陈育栎1

(1. 福州大学至诚学院,福建 福州 350002； 2. 福建教育学院,福建 福州 350002)

研究一类多时滞Lotka-Volterra捕食-食饵系统,通过构造多个Lyapunov函数,建立捕食-食饵系统正平衡点的全局吸引的充分性条件. 并进一步证明了当食饵种群绝灭,有其它食物来源的捕食者也能稳定在某个值.

捕食-食饵系统； 平衡点； 时滞； 全局吸引

1 引言及预备知识

考虑以下Lotka-Volterra捕食-食饵系统:

其中：x(t)，y(t)分别表示食饵，捕食者在时刻t的种群密度;r1>0，r2>0分别表示食饵的内禀增长率和捕食者有其他食物来源的内禀生长率;aii>0，(i=1，2)表示种内作用系数;aij>0，(i≠j=1，2)表示种间作用系数，τ1>0，τ2>0分别表示追捕时间和捕食者的成熟期.

对于系统(1)，当r2<0时，表示捕食者没有其他食物，以食饵为唯一的食物来源，文献[1]讨论了正平衡点的稳定性及局部Holf分支，在此基础上用等变拓扑理论建立一般的泛函微分方程的全局分支. 还有许多学者[2-7]对系统(1)或者其特殊形式解的持久性、周期性、或是Holf分支等做了大量工作. 但对系统(1)正平衡点和边界平衡点稳定性的研究至今尚未见报道，于是我们假设τ=max{τ1，τ2}，φ(θ)，φ(θ)在[-τ，0]上是连续函数，系统(1)满足初始条件

假设:

有以下引理：

引理1 若条件(H1)成立，容易得到系统(1)有唯一个正的平衡点(x*，y*)，其中，

2 主要结论

定理1 若条件(H1)和(H2)成立，则系统(1)的唯一正平衡点(x*，y*)是全局渐近稳定的.

证明 作Lyapunov函数

所以由系统(1)得到，

所以

定义V(t)=V1(t)+V2(t). 由式(6)和(7)得：

所以从式(8)容易得到

初始条件(2)和引理2意味着存在一个M>0，对所有的t∈R，0

所以V(T)有界. 因此由式(10)得知:

证明 条件(H3)成立，所以总存在常数α>0，β>0使得

所以存在常数ε>0，使得

令

两边同时求导

因此，由式(13)、(14)和a11α+βa21>0 ，得到W′(t)≤-εW(t).从0 到t进行积分，得到

同定理1的证明，存在M>0使得0

另一方面，

综合式(15)和(17)，可以得到

M-βexp(-βa21Mτ2-αa12Mτ1)xα(t)≤W(t)≤W(0)exp(-εt)

所以

xα(t)≤Mβexp(βa21Mτ2+αa12Mτ1)W(0)exp(-εt)

即

所以

与定理1的证明类似，存在M>0使得0

定义M(t)=M1(t)+M2(t). 由式(20)和(21)得：

从T→t对式(22)两边同时积分，

3 数值模拟

例1 考虑以下时滞的捕食-食饵系统

例2 若捕食-食饵系统系数满足

图1 全局渐近稳定动力学行为

图2 食饵种群绝灭的动力行为

[1] 宋永利，韩茂安，魏俊杰.多时滞捕食-食饵系统正平衡点的稳定性及全局Hopf分支[J].数学年刊，2004，25A(6): 783-790.

[2] 王东达，孙纪方，沈景清. 具时迟Volterra方程的周期解分歧现象[J]. 数学年刊，2001，22A(6): 773-782.

[3]ShiCL，LiZ，ChenFD.ExtinctioninnonautonomousLotka-Volterracompetitivesystemwithinfinitedelayandfeedbackcontrols[J].NonlinearAnalRealWorldAppl，2012，13: 2 214-2 226.

[4]LiZ，HanMA，ChenFD.InfluenceoffeedbackcontrolsonanautonomousLotka-VolterraCompetitivesystemwithinfinitedelays[J].NonlinearAnalRealWorldAppl，2013，14: 402-413.

[5]LiuM，WangK.AnoteonadelayLotka-Volterracompetitevesystemwithrandomperturbations[J].ApplMathLetters，2013，26: 589-594.

[6]HeX.Stabilityanddelaysinapredator-preysystems[J].JMathAnalAppl，1996，108: 355-370.

[7]ChenLJ，ChenFD.GlobalstabilityofaLeslie-Gowerpredator-preymodelwithfeedbackcontrols[J].ApplMathLett，2009，22: 1 330-1 334.

[8]GopalsamyK.Stabilityandoscillationsindelaydifferentialequationsofpopulationdynamics[M].Dordrecht:KluwerAcsdemic，1992.

(责任编辑： 郑美莺)

Global attractivity of the equilibrium point in a predator-prey system with several delays

SHI Chunling1,WANG Yiqin2,CHEN Yuli1

(1. Zhicheng College,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian 350002,China；2. Fujian Institute of Education,Fuzhou,Fujian 350002,China)

We study a Lotka-Volterra predator-prey system with several delays. By using the method of multiple Lyapunov functionals,we obtain the sufficient conditions that the positive equilibrium point of predator-prey system is the global stability. Furthermore,under other conditions we establish that the prey is tending to zero while the predator who has other foods will stabilize at a certain solution of a logistic differential equation.

predator-prey system； equilibrium point； delay； global attractivity

2013-06-18

施春玲(1979-),副教授,主要从事常微分方程及生物数学方向研究，clshi000@163.com

福建省教育厅科技资助项目(JA13361)；福建省自然科学基金资助项目(2015J01012)

10.7631/issn.1000-2243.2015.05.0582

1000-2243(2015)05-0582-05

O175.14

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