离散型随机变量的概率分布

高考中，离散型随机变量的概率分布问题常以考查随机变量的分布列、期望、方差为主，其中二项分布与正态分布是常见的随机变量概率分布模型. 这类问题往往是以实际问题为背景，结合常见的概率事件来进行考查. 问题多在解答题中出现，属于中等偏难的问题.

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

（2）理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

（3）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.

（4）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

求离散型随机变量的分布列的关键是：一是要明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；二是要利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；三是按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证. 如果是求期望，还是应该先求分布列，再利用公式求期望. 掌握离散型随机变量ξ的分布列的特点及性质（①pi≥0，i=1，2，…，n；②p1+p2+…pn=1）与数学学期望的求解公式E（ξ）=x1p1+x2p2+…+xnpn对解决随机变量的分布列与期望的问题都是非常重要的.

例1 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组 乙组

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

图7

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.

破解思路 第一问考查平均数的计算，简单易解. 第二问考查离散型随机变量的分布列与期望. 问题解决的关键是，首先正确理解变量Y表示的实际意义，分析Y的所有可能取值，然后分别求出Y取每个值的概率，最后得到分布列. 数学期望利用期望公式E（Y）=x1p1+x2p2+…+xnpn求得即可.

答案详解 （1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，其平均数为 = = .

（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为：17，18，19，20，21，事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）= = . 同理可得P（Y=18）= ；P（Y=19）= ；P（Y=20）= ；P（Y=21）= .

所以随机变量Y的分布列为：

E（Y）=17× +18× +19× +20× +21× =19.

例2 某班举行数学解题比赛，比赛规则是：每位学生可以选做选择题2题或选做填空题3题，做对一道选择题得4分，做错得0分；做对一道填空题得5分，做错得0分，得分高的学生胜出. 学生甲打算参加比赛，已知学生甲每次做对选择题、填空题的概率分别是 ， .

（1）如果以做题得分的期望值高作为选择的标准，问：学生甲应该选择做哪类问题？请说明理由；

（2）求学生甲做选择题得分高于做填空题得分的概率.

破解思路 二项分布是在n次独立重复试验中，某事件A发生的次数X所服从的概率分布模型.此题第一问中甲做对选择题的题数X，甲做对填空题的题数Y都服从二项分布，于是由P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1， 2，…，n）可直接求X取每一个值的概率，从而进一步得到分布列，其数学期望与方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）来进行计算，方便快捷.

答案详解 （1）设学生甲做对选择题的题数为X，则X～B2， ，故E（X）=2× = ，则学生甲做选择题得分的期望为4× = =7.2.

设学生甲做对填空题的题数为Y，则Y～B3， ，故E（Y）=3× =1，则学生甲做填空题得分的期望为5×1=5.

所以学生甲应该选择做选择题.

（2）设“学生甲做选择题得分高于做填空题得分”为事件C，“学生甲做选择题得8分且做填空题得5分或0分”为事件D，“学生甲做选择题得4分且做填空题得0分”为事件E，则事件C=D∪E，且事件D与事件E互斥.

P（D）= × + = ，P（E）= × = ，P（C）=P（D∪E）= + = ，故学生甲做选择题得分高于做填空题得分的概率为 .

1. 某市教研室组织高中数学教师教学基本功比赛，比赛依次设做题与命题（初赛）、备课与课件制作（复赛）、上课与答辩（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 ， ， ，且各轮次通过与否相互独立.

（1）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）对于（1）中的ξ，设“函数f（x）=3sin π（x∈R）是奇函数”为事件D，求事件D发生的概率.

2. 国际标准游泳池长50 m，宽至少21 m，深1.80 m以上，设8条泳道，每条泳道宽2.50 m，分道线由直径5～10 cm的单个浮标连接而成. 某位游泳教练员指导甲、乙两名游泳运动员在国际标准游泳池内同时进行游泳训练，甲、乙两名运动员可以随机地选择不同的泳道进行训练.

（1）求甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数的分布列和期望；

（2）若教练员为避免甲、乙两人训练的相互干扰，要求两人相隔的泳道数不少于2，为了同时计时的方便，又要求两人相隔的泳道数不能超过4，求甲、乙两名运动员随机地选择不同的泳道训练恰好符合教练员的要求的概率.endprint