一种新的螺旋天线辐射预测的简化模型*

李 勃，聂睿瑞

（1南京航空航天大学 南京 210016 2南京信息职业技术学院 南京 210046）

前 言

螺旋天线在手持移动设备等领域应用广泛。与直线偶极子天线不同，螺旋天线的外形是三维的，目前还没有准确的公式来设计螺旋天线。许多设计人员都是通过测试来修改设计，这种方法耗时耗力，而且会受到测试条件的影响。因此，数学手段对于螺旋天线的设计与分析是十分重要的。常用的电磁场分析工具，需要对螺旋天线的三维曲线表面进行网格划分，然后进行计算，这种方法会消耗大量的计算机资源[1，2]。当对包含螺旋天线的大型系统建模时，即使此时天线只是系统中一个微小的部分，对螺旋天线的曲面建模也会占用相当一部分资源。为此，本文提出一种简化模型来分析螺旋天线的电磁辐射特性，将螺旋线的电感表示为一系列通过集总元件相连的小段导线，从而极大地减小了计算的复杂性。本文分析了简化模型下螺旋天线的谐波频率、输入阻抗和天线方向性图等电磁特性，并通过对实际设备的测试验证了该模型的正确性。

1 螺旋天线的简化模型建模

图1显示了常规螺旋天线的几何外形，螺旋线的倾斜度固定为S，曲线的半径固定为R，螺旋天线由半径为a的导线构成，在线圈的中心点馈电。

从图1（b）可以看出，螺旋天线可以近似表示为一系列小环线和偶极子天线相连，当螺旋曲线尺寸远小于波长时，螺旋天线的法向轴比可以表示为：

图1 螺旋天线的简化模型Fig.1 Simplified model of helical antenna

几乎所有螺旋天线的轴比都大于1，因此环线上的辐射场要远小于偶极子天线的辐射，计算时通常可以忽略环线辐射的影响[3]。例如，如果需要2dB的计算准确性，只要满足式（2）就可以忽略环线的辐射场。

从式（1）和式（2）可以看出，只要AR＞4，就可以忽略环线的辐射。

从式（1）可以看出，不同的轴比可以通过合理选择曲线系数来获得[4]。例如，当Sλ＞0.02时，可以取Cλ＜0.1，得到AR＞4。螺旋曲线的倾斜度α可以通过式（3）来描述。

如果忽略环线的辐射，那么这些环线就可以用电感来代替。因此，图1（b）就可简化为图1（c）。每一环中都有一段直导线，这些导线都是垂直导向的，长度与螺旋线的倾斜度α相同，通过集总电感元件相连。这些集总元件不会增加网格的尺寸，也不会增加计算的复杂性。因此，这种简化模型相比原始模型可以大大减少计算资源的使用。

在原始的螺旋结构中，相邻的螺旋线圈通过互感和互容相互耦合。由于所有的线圈都是轴同向的，因此一个线圈产生的磁通量会穿过相邻的线圈。这种磁通量产生的电压与自感引起的压降极性相同。除了磁场耦合外，线圈之间还存在电场耦合，会在线圈和直导线间产生交变电流[5，6]。

设每周螺旋的等效电感为L，每节短直导线的直径为a′，L包括每周螺旋的自感Lself和相邻螺旋之间的互感M，即

在自由空间中自感Lself可以表示为：

其中μ0是自由空间常量，和为同一线圈的微分因子，C和C′为相距r的线圈周长。对于圆形的线圈，可以将式（5）简化为：

其中Lloop为圆形线圈的自感。

图2为螺旋天线几何示意图，螺旋曲线上A、B两点之间的距离为：

其中r0是A’与B’（A点与B点在x-y平面上的投影）之间的距离，Δz是A点与B点在z轴上的距离，Δθ是A’与B’之间的圆心角。当倾斜度远小于线圈直径时，A与B之间的距离和A’与B’之间的距离基本相同，即r≈r0。因此，对于较小的倾斜角，式（6）可以满足计算精度要求[7，8]。随着倾斜角的增加，Δz会快速增加，因此每一螺旋线圈的自感会远小于式（6）的计算结果[9]。由于

图2 螺旋天线几何示意图Fig.2 Geometric curve of helical antenna

因此有

又由于

式（7）可变化为：

将式（11）代入式（5），每一线圈的自感可以化为：

相邻两段螺旋线之间的互感可以用相距S、半径为R且轴同向的圆线圈之间的互感来表示[10]，即

在自由空间中，长度为l、半径为a的导线的电容量为：

其中ε0是自由空间介电常数。在图1（c）中，一段螺旋线圈被长度与倾斜角相同的短导线段代替。由于导线长度远小于线圈长度，因此总的电感量减小了。为了保证计算结果的准确性，必须增加导线的直径[11]，增加后的导线直径a′可以通过式（15）得到。

2 计算结果分析

对9组螺旋天线的输入阻抗、谐振频率分别使用简化模型进行计算。由于普通螺旋天线主要工作在谐振频率上，因此本节主要分析谐振点附近的情况。输入阻抗和谐振频率的误差计算公式如下：

其中R0为实际输入阻抗，Rin为计算结果，f0为实际谐振频率，f为计算结果。天线的几何参数如表1所示，表1中参数均为经过天线厂家计量后得到的精确结果。

表1 螺旋天线几何参数表Table 1 Geometric parameters of helical antenna

输入阻抗和谐振频率的计算误差如表2所示。从表2可以看出，简化模型的计算误差最大仅为4%，可以满足使用要求。表3显示了传统模型和简化模型计算时的资源消耗情况，可以看出，简化模型能极大地减少计算时间和内存占用。

表2 简化模型的等效参数和计算误差Table 2 Equivalent parameters and calculation errors of simplified model

表3 传统模型和简化模型计算时的资源消耗Table 3 Computation resource usage of original model and simplified model

为了进一步验证模型的正确性，对某手持移动设备上的螺旋天线进行建模仿真。模型中，在一个10×4.8×1.67cm3的金属壳体上放置了两根相距3.125cm的螺旋天线，如图3所示。天线1是受激励的，天线2与50Ω的负载相连，天线的谐振频率为1.65GHz。天线尺寸如下：N=2.6，S=9.94mm，R=2.1mm，a=0.28mm。

输入阻抗仿真结果如图4所示，在谐振频率附近，简化模型的输入电阻和电抗与实际值相差很小，在谐振频率点上误差只有1%。主要方向上的天线方向性图仿真与测试结果比较如表4所示，天线方向性图如图5所示。可以看出，不论是在水平还是垂直方向上，简化模型的天线方向性图都与实际测试结果几乎相同。

图3 手持移动设备天线模型示意图Fig.3 Helical antenna model of a certain type mobile handset

图4 简化模型的输入阻抗仿真结果Fig.4 Simulation result of input resistance and reactance by simplified model

图5 简化模型的天线方向性图仿真结果Fig.5 Simulation results of radiation patterns by simplified model

3 结束语

本文提出了一种螺旋天线的简化模型建模方法，将复杂的曲线结构简化为一系列直导线和电感相连的结构。这种模型可以极大地减少计算时使用的资源，并具有很高的准确性，具有实际应用价值。

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