在汲取知识的过程中发展学生的智慧
——从“等差数列”的复习课设计谈起

2015-04-28 05:58江苏省白蒲高级中学缪德军
中学数学杂志 2015年7期
关键词:等差数列性质公式

☉江苏省白蒲高级中学 缪德军

教学参谋

在汲取知识的过程中发展学生的智慧
——从“等差数列”的复习课设计谈起

☉江苏省白蒲高级中学 缪德军

复习课是数学教学中的一种常见课型.有人说,平时的教学是栽活一棵棵树,复习课就是为它们灌溉,使它们更茁壮地成长为一片林.因此,复习课在厘清有关基础知识、基本方法,使它们结成块、组成网的基础上,还要搞清相关知识发展的来龙去脉、思维的发生与发展,让学生从具体操作基础上的理性认识过渡到宏观指导下的整体认知,进而构建研究一类相关对象的思路和方法,也即学生的一种认知智慧.

实际复习课中,有的课堂收集大量习题,让学生在题海里苦战;有的“爆炒冷饭”,让学生机械重复地训练;有的采用“练习→讲评→再练习→再讲评”的教学方式,把学生会做每一道复习题作为教学目标.这样教师累得不行,学生苦不堪言,而收效甚微,最为关键的是,这样的课堂给学生留下的更多的是做了很多题,而不能留下思考研究一类问题的策略和方法,也即思考解决问题的智慧.

笔者最近执教南通市公开课“等差数列”,尝试在复习设计上寻求突破,以求得让学生在汲取知识的过程中更加发展学生的智慧,收到了良好的复习效果.

一、知识梳理,启发思维

案例1:完成下列4题,并思考每道题所用到的有关知识和方法.

(1)在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a6=S3=12,则an=______.

(2)在等差数列{an}中,已知a1+a3+a5=18,an-4+an-2+an= 108,Sn=420,则n=______.

(3)在等差数列{an}中,前n项和为Sn,已知S4=2,S8=6,则S12=______.

(4)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为

设计意图:通过一组基本题的练习,帮助学生回顾等差数列的基本概念、公式与性质,让学生在知识运用中再次理解有关公式、性质和方法,从而在基础知识和基本方法的理解中建构自己的知识框架,进而使知识系统化、结构化,以加深对知识的理解及知识之间内在联系的把握,便于相关知识在解决数学问题时能够被灵活有效地调用.

教学过程:组织学生先独立完成各小题;然后小组(每6人一组)合作学习,讨论交流每道题所用到的知识及解决方法;一个小组代表在班级展示,其他组补充、完善;最后师生共同总结,形成基本认知框架.

小组3补充:对于第3题,也可以利用结论“若{an}成等差数数列”转化为新数列来解决.

小组4展示:对于第4题,利用性质:若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An、Bn,

小组6解答:根据比例关系,设An=k(2n+1),Bn=k(n+ 3),再求得an、bn即可.

小组4质疑:这样求得的an=2k、bn=k不

(沉默,各小组不自觉地讨论了起来)

小组7释疑:回到等差数列的求和公式,应该看到,An、Bn是关于n的二次式,设An=k(2n2+n),Bn=k(n2+3n),再利用an=Sn-Sn-1(n≥2)化和为项就可以了!

(鼓掌)

学生连续的、深刻的、有效的思维在此显现无疑.最后,教师跟学生一起对刚才的过程进行总结、归纳、梳理.在此,既梳理了知识,又体现了方法,更揭示了思维.

设计反思:传统教学中,教师往往直接把一些概念、公式、结论、定理告诉学生,让学生记住,然后进行大量训练,学生通过大量训练会产生一种即时的效果,但随着时间的推移,这种模式容易被固式,一旦遇上新的问题,学生也就束手无策了.

在这里,给学生几个简单的问题,由学生独立或合作完成,问题解决的过程中,学生自然、不自觉地进行着有关基本知识与方法的回忆与梳理,再次强化理解了这些知识的来龙去脉和内在蕴含的结构联系,经过这样的梳理所形成的基本知识结构就不单单是知识记忆层面的,更有思维理解层面的,它是一个立体的、鲜活的知识架构,在今后的问题解决中,学生大脑中的有关信息更容易被具体情境快速激活.

二、典例剖析,凝练思维

案例2:设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S4≥10,S5≤15,求a4的最大值.

设计意图:通过典型例题的研究与解决,寻求解决一类问题的方法与策略,凝练学生解决常见问题的常规思维,为进一步研究相关问题打下坚实的基础.

教学片断:学生先独立完成,然后小组(每6人一组)合作学习,讨论交流不同解法;一个小组代表在班级展示,其他组补充、完善;最后师生共同总结、归纳.

解法1:利用线性规划知识.

在直角坐标系a1Od中,作出不等式组所表示的可行域(如图),当斜率过点(1,1)时,a4取得最大值4.

师:讲得很好,但有一点需要修正,二元函数的最值问题常用线性规划知识或待定系数法来处理是不错,但更为重要的方法是利用基本不等式、消元法和数形结合,而利用线性规划知识仅只是数形结合中的一类情况.哪一位同学来点评一下三种解法?

生1:解法1、2实际上是一样的,都是用基本量a1、d来表示条件和结论,利用线性规划知识或待定系数法来处理;第三种解法联系性质,比前两种解法简洁.

师:点评准确,仍旧是基本量法和性质的运用,转化后就是一个二元函数的最值问题,后面的处理值得注意.从以上解法中可以看到数列的公差d的取值范围吗?

生2:d≤1,从解法1和解法3中容易看出.

设计反思:复习课是在学生已有相关知识基础上的教学.因此,在复习课上,应留给学生更多的时间与空间,组织学生的学习活动,引导学生进行相关问题的自主与合作学习,从而在自主学习与合作探究中主动建构.

处理本题的方法很多,但不论是哪种方法都要让学生明白解决一个等差数列问题,要考虑回到等差数列的定义,从等差数列最基本的量a1、d出发,再去联系其他,这是学生最容易接受也是最容易做到的.因此,在复习课上,应坚持让所有的问题都从基本概念、公式、性质的理解和基本题的熟练掌握开始,让目标的达成由易到难,循序渐进.

三、设疑引问,创新思维

案例3:设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S4≥10,S5≤15,求ak(k≥4)的最大值.

设计意图:对例题进行深入的研究,以期从复习等差数列的定义扩展到所有与等差数列的通项公式和前n项和公式相关的问题,甚至扩展到等差数列的有关性质,加深学生对等差数列的通项公式、求和公式以及相关基本性质的认识和理解,以起到一种宏观建构的作用.

教学片断:师:d≤1结合a4≤4,能看到什么?

生3:a5≤5.

生4:进一步可以得到a6≤6,a7≤7,…,ak≤k(k≥4).

(全体同学一片欣喜)

师:再联系条件S5≤15,我们还能想到什么?

生5:可以看到S6=S5+a6≤21,S7≤28,…,进一步可求得Sn的最大值.

(全体同学鼓掌)

到此,学生在解决问题的过程中,不断认识问题的本质,并从本质的理解与思考中提出了新的问题,激发了学生的思维活力.

师:对于新问题“设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S4≥10,S5≤15,求S6的最大值”,还需要回到求a4的最大值的思路上吗?

生6的自语:把S4、S5、S6都用基本量a1、d表示出来,然后用线性规划知识或待定系数法来求,但好像比较繁.

生7:我有一个简单的方法.设Sn=An2+Bn,把S4、S5、S6再用线性规划知识或待定系数法求S6.

师:你为何想到这么做?

生7:这里条件和结论中只有Sn.

师:太好了!等差数列问题中,既有Sn又有an时,用a1与d统一关系较为合理;若仅涉及Sn时,设Sn=An2+Bn统一关系运算较为简捷.

(留时片刻,让学生体会并加以理解)

生8突然发言:老师,我还有一个方法.这个题还可以用刚才的性质来解,“若Sn是等差数列的前n项和,则{an}的前n项和,S4≥10,S5≤15,求S6的最大值”就转化为用{bn}的首项b1和公差d来表示,再用线性规划知识或待定系数法可求得b6,再求S6.

生9:还可以更简单,令bn=dn+k,和刚才Sn时一样,bn也可以简化!

师:太棒了!学生的思维被激活了!

牛刀小试:(2004年高考江苏第20题变式)设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,求所有无穷等差数列{an},使得对一切正整数k都有Sk2=成立.

设计反思:一个看似简单的问题,却包含着如此丰富的内容与思想,在问题的引导、学生的独立思考与合作探究中进行着深入的剖析、挖掘、生成、变式与拓展,不仅加深了学生对原有问题的理解,更重要的是在解法的探究、问题的变式拓展的过程中,学生通过类比或归纳的思想提出新问题、发现新结论继而解决新问题的能力得到了真正的培养.如此围绕框架性主题的一题探究,可有效摒弃“题海战术”,从而提高典例教学的有效性.

复习课要训练学生模式化的解题思维,让学生熟练掌握解决常规问题的通性、通法,但思维不能固化.在此,复习要设计及时的设疑、追问,能让学生的思维走向灵活、走向深入,进而在深入思考中发现新的问题,并提出问题,提出问题永远比解决问题来得更重要.如此,学生的思维将更加深刻、更加多向,解决问题的思维必会得到创新.更重要的是学生在问题解决的过程中学会了一类对象的思考方法,而这正是发展了学生的学习智慧.A

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