类比“虚椭圆”,研究双曲线

2015-04-28 05:58江西省九江第一中学伍锡浪
中学数学杂志 2015年7期
关键词:虚数证法切点

☉江西省九江第一中学 伍锡浪

类比“虚椭圆”,研究双曲线

☉江西省九江第一中学 伍锡浪

众所周知,为了解决在实数范围内不可能解出的方程x2+1=0而引入了虚数单位“i”.笔者拜读了《2008年安徽卷(理)题22探幽》和《龙门专题:新课标高中数学解析几何》之后,采用类比思想引入了虚数“i”,把双曲曲线x2-y2=1也可以看成“虚圆”x2+(iy)2=1),利用椭圆已有的一些性质去类比研究了双曲线的类似性质,敬请前辈们及广大读者批评指正.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两个

现摘抄文1的部分结论.

分析:(Ⅰ)略.

(Ⅱ)不难求证点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.问题已经解决,但是思维的火花并未结束,问题在于Q点所在直线是条满足什么条件的直线呢?转动直线l,当l与椭圆相切时,此时,A、Q、B三点重合于切点,此时点Q依然满足条然题目要求证明点Q在某条定直线上,那么这条直线是否为切点弦MN所在的直线呢?(如图1所示)实际上,过P点向椭圆C所引两条切线,两=1,即2x+y-2=0,即Q点总在切点弦上.

图1

文1证明了结论1,给出了结论2,笔者引入虚数“i”给出结论2的另一种证法.

背景2下面摘抄文2中利用点差法证明了椭圆的性质结论3,同时给出了双曲线的类似的结论4.

笔者引入虚数“i”,在结论3的基础上,给出结论4的另一种证法.

背景3下面再摘抄文2中的椭圆的性质结论5,以及双曲线的类似的结论6.

有兴趣的读者不妨也可以在结论3的基础上,证明上面的结论6.

小结:由此可见,类比“虚椭圆”研究双曲线,为解决高中解析几何中的问题,引出了新的途径,不仅过程简洁、新颖、独特,效果事半功倍,而且能引导学生类比、联想、分析和概括,有助于拓展开放性的思维空间,提高创新能力.

1.江民杰.2008年安徽卷(理)题22探幽[J].中学数学(上),2009(3).

2.傅荣强,佟志军.新课标高中数学解析几何[M].北京:龙门书局,2010.F

猜你喜欢
虚数证法切点
抛物线的切点弦方程的求法及性质应用
一道数列不等式题的多种证法
R.Steriner定理的三角证法
一种伪内切圆切点的刻画办法
椭圆的三类切点弦的包络
全国名校高二数学综合测试(二)
圆锥曲线的切点弦定理及其应用
三个猜想的另证与推广