一道试题的分析与思考

2015-05-05 09:21江苏省海门中学曹亚东
中学数学杂志 2015年7期
关键词:建系直角坐标原点

☉江苏省海门中学 曹亚东

一道试题的分析与思考

☉江苏省海门中学 曹亚东

一、考题

(本题满分16分)如图1所示,公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM、AN的距离分别为3km、km.现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,问:如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.

图1

二、命题意图

学生在学习直线与圆时,曾经做过这样的题目:“在直角坐标系xOy中,已知点P(1,3),过点P作一直线l交x轴于点B,交y轴于点C,求△OBC的面积的最小值.”当初学生有三种解法,法1是设斜率k,求出B、C两点的坐标,然后利用直角三角形的面积建立k为变量的函数;法2是设截距式,然后用基本不等式求解;法3是连接OP,把三角形的面积分割成△OBP、△OCP的面积和来求解.为了给高二出一道月考的应用题,决定把上面的原题改编成应用题,另外学生刚刚学习了椭圆,为了考查学生用解析法解题的首要任务就是建立恰当的直角坐标系,所以将y轴绕原点旋转变成y=-2x,为了增加建系的难度,特意将O点改为A点,看看学生是否会选A点为坐标原点.

三、参考答案

解:如图2,以A为原点,AB为x轴,建立平面直角坐标系.…2分

因为tanα=-2,故直线AN的方程是y=-2x.

设点P(x0,y0).因为点P到AM的距离为3,故y0=3.

图2

所以点P(1,3).…4分

显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y-3= k(x-1),k∈(-2,0).

从而S有最小值15.

答:当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2.…16分

四、考试结果

全校900多人参加考试,从阅卷的情况来看,平均分为5.15分,12%的学生能完全做对,25%的学生建系不对,30%的学生不会求分式函数的最值,大大出乎笔者的意料.究其原因,主要存在以下几个问题.

1.不会建模

受推导椭圆标准方程建系的影响,有15%的学生以AB所在直线为x轴,其中垂线为y轴来建系,因为AB的长度在变化,这样建系的同学就全军覆没了.还有10%的学生以CB所在直线为x轴,点P为坐标原点来建系,同样是CB的长度在改变,不容易求解.

2.忽视直线BC的斜率的取值范围

因为要使直线BC与AM的交点在第二象限,斜率k必须满足k∈(-2,0),若定义域都忽视了,方法哪怕正确结果也会出错.

3.不会解模

让人眼睛一亮的地方是学生有好几种解法.法1:(求导)目标函数建立如同参考答案.

以下同参考答案.

法2:(二次函数)目标函数建立如同参考答案.时,S取得最小值15.

以下同参考答案.

法3:(方程有解)目标函数建立如同参考答案.

(1)在(-2,0)上有一解.

由f(0)=9>0,得f(-2)<0,但f(-2)=25>0,应舍去.

(2)在(-2,0)上有两解.

以下同参考答案.

法4:(基本不等式).

如图3,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E、F,连接PA.设AB=x,AC=y(x>0,y>0).因为P到AM、AN的距离分别为3、,所以PE=3,PF=

图3

下同法4.

法6:(几何法寻求约束条件).

如图2,以A为原点,AB为x轴,建立平面直角坐标系.设AB=m,AC=n(m>0,n>0).用参考答案的方法求得P(1,3).

下同法4.

尽管解法很多,但本质只有两种.一是用解析法求面积的目标函数,转化为求二次比二次型的分式函数最值,法1和法2是通法,法3不具有一般性,法4、法5较难想到.二是利用等面积法转化为求多变量的最值.法6恰好采用解析法建模,然后转化为求两个变量的最值,可以消元来解,也可以利用基本不等式或柯西不等式来求解.

五、几点思考

1.本题的难点之一在于建系

实际上用解析法解题的基础就是如何建立适当的直角坐标系,适当两字看似简单,运用起来还是有讲究的.很多学生受推导椭圆标准方程建系的影响,关键是没理解椭圆的两个焦点是定点,而这里的A、B两点中B是运动变化的,因此在教学时如果我们能适时地强调两者的区别,那么学生犯这样的错误的机率就小了.

2.本题的难点之二在于解模

3.本题的易错点在于忽视k的取值范围

范围问题是老大难的问题,为此我们要让学生明白检验的重要性,既要检验所得结果是否适合数学模型,又要评判所得结果是否符合实际问题的要求.

总之,将实际问题抽象为数学问题时,要读懂题目,建立数学模型,选择合适的方法,设计合理、简捷的运算途径,这样求出数学问题的解就不难啦!A

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