一类捕食-食饵模型共存解的多重性

李海侠

(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡 721013)

一类捕食-食饵模型共存解的多重性

李海侠

(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡 721013)

讨论一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性和多重性.首先利用上下解方法和不动点指数理论给出了正解存在的必要条件和充分条件,接着运用椭圆系统的存在比较原理和扰动理论研究了参数b充分大时正解的多重性.结果说明当参数满足适当条件时系统至少存在两个正解.

捕食-食饵模型；不动点指数；上下解方法；扰动理论；多重性

0 引言

在自然界中，种群间的捕食关系非常普遍和重要，捕食-食饵模型刻画了生态系统中种群间的相互作用，其动力学行为非常丰富.因此,带有各种反应函数和不同边界条件的捕食-食饵模型受到了生物学家和数学家的极大关注[1-8].

本文讨论捕食-食饵模型

(1)

近年来，带有改进Leslie-Gower项的捕食-食饵模型得到了广泛研究[3-8]，其中文献[4-6]研究了带有改进Leslie-Gower项和HollingⅡ反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性、不存在性、稳定性、唯一性和局部多解性.然而目前在齐次Dirichlet边界条件下对带有改进Leslie-Gower项和C-M反应函数的扩散捕食-食饵模型的研究很少见，因此本文主要讨论系统(1)正解的存在性和多重性.

1 共存解的存在性

本节利用不动点指数理论给出系统(1)正解存在的条件.令λ1(q)是-Δ+q(x)在Ω上关于齐次Dirichlet边界条件的主特征值，则λ1(q)是单重的.而且,如果q1(x)≤q2(x)且q1(x)≢q2(x)，则λ1(q1)<λ1(q2).简单起见记λ1(0)=λ1.

众所周知，问题

(2)

首先给出系统(1)正解存在的必要条件和先验估计.

引理1 如果(u,v)是系统(1)的正解，则

证明 根据系统(1)的第一个方程和特征值的比较原理可得

因此a>λ1.同理可得d>λ1. 】

引理2 系统(1)的任意正解(u,v)满足

为了利用不动点指数理论,我们引入如下空间:

下面计算系统(1)平凡解和半平凡解的指数,因其证明与文献[3]中的引理3.3和引理3.5类似，所以在此省略.

引理3 ( i ) 如果a>λ1或d>λ1，则indexW(A,(0,0))=0;如果a<λ1且d<λ1，则indexW(A,(0,0))=1.

( ii ) indexW(A,D)=1.

(iii) 设a>λ1.如果d>λ1，则indexW(A,(Θa,0))=0;如果d<λ1，则indexW(A,(Θa,0))=1.

证明 由已知条件和引理3有

矛盾，因此根据度的可加性知结论成立. 】

2 共存解的多重性

本节我们讨论当参数b充分大时系统(1)正解的多重性.

(3)

这里v*和v**分别是下列问题的唯一正解:

(4)

(5)

(6)

为了说明正解的多重性,先分析如下问题

(7)

引理5 如果a>λ1,d>λ1，则系统(7)存在唯一正解(Θa,v*).而且，(Θa,v*)是非退化和线性稳定的.

证明 正解(Θa,v*)的存在性和唯一性显然,下面证明非退化和线性稳定性.令L(Θa,v*)是系统(7)在(Θa,v*)处的线性化算子，则

由Reize-Schaular定理知L(Θa,v*)的谱半径σ(L(Θa,v*))由实特征值组成,且

又根据特征值的比较原理易得

因此，σ(L(Θa,v*))>0.故结论成立. 】

最后给出系统(1)正解的多重性结果.

1=indexW(A,D)=indexW(A,(0,0))+

矛盾.因此系统(1)至少存在两个正解. 】

3 结论

本文利用不动点指数理论和扰动理论研究了一类带有Crowley-Martin反应函数的捕食-食饵模型正解的存在性和多重性.主要结论如下：

[1] PENG Rui,WANG Ming-xin.On multiplicity and stability of positive solutions of a diffusive prey-predator model[J].JMathAnalAppl,2006,316(1):256-268.

[2] GUO Gai-hui,WU Jian-hua.Multiplicity and uniqueness of positive solutions for a predator-prey model with B-D functional response[J].NonlinearAnalysis(TMA),2010,72(3-4):1632-1646.

[3] GUO Gai-hui,WU Jian-hua,NIE Hua.Multiplicity for a diffusive predator-prey mutualist model[J].ProcLondonMathSoc,2012,105(2):342-366.

[4] ZHOU Jun.Positive solutions of a diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower and Holling-type II schemes[J].JMathAnalAppl,2012,389(2):1380-1393.

[5] ZHOU Jun.Positive steady state solutions of a Leslie-Gower predator-prey model with Holling type II functional response and density-dependent diffusion[J].NonlinearAnalysis,2013,82:47-65.

[6] ZHOU Jun,SHI Jun-ping.The existence,bifurcation and stability of positive stationary solutions of a diffusive Leslie-Gower predator-prey model with Holling-type II functional responses[J].JMathAnalAppl,2013,405(2):618-630.

[7] YANG Wen-sheng,LI Yong-qing.Dynamics of a diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower and Holling-type III schemes[J].ComputersandMathematicswithApplications,2013,65(11):1727-1737.

[8] YANG Wen-sheng.Global asymptotical stability and persistent property for a diffusive predator-prey system with modified Leslie-Gower functional response[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications,2013,14(3):1323-1330.

[9] DANCER E N.On the indices of fixed points of mapping in cones and applications[J].JMathAnalAppl,1983,91(1):131-151.

(责任编辑 马宇鸿)

Multiplicityofcoexistencesolutionsforapredator-preymodel

LIHai-xia

(InstituteofMathematicsandInformationScience,BaojiUniversityofArtsandSciences,Baoji721013,Shaanxi,China)

The existence and multiplicity of positive solutions for a predator-prey model with diffusion are discussed.The necessary and sufficient conditions of the existence of positive solutions are given by means of the super and sub-solution method and fixed point index theory.Then,by making use of the existence-comparison theorem for elliptic systems and perturbation theory,the multiplicity of positive solutions is investigated when parameterbis sufficiently large.The results show that the system has at least two positive solutions if the parameters satisfy appropriate conditions.Key words:predator-prey model;fixed point index;super and sub-solution method;perturbation theory;multiplicity

2015-02-28;修改稿收到日期:2015-04-15

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(GK201302025);陕西省教育厅专项科研计划资助项目(14JK1035)；宝鸡文理学院重点科研项目(ZK15039)

李海侠(1977—)，女，陕西宝鸡人，讲师，博士.主要研究方向为偏微分方程及计算可视化. E-mail:xiami0820@163.com

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1001-988Ⅹ(2015)04-0006-04