融资条件下的投资组合问题研究

李程妮

摘 要：中国正式开展融资融券业务迄今已有四年，融资融券业务是把“双刃剑”，在给投资者带来了更大盈利机会的同时，也为投资者带来了更高的风险，因此其投资组合选择十分重要。基于Markowitz 经典M-V模型，研究融资条件下带交易费用的投资组合模型，并利用几何方法对模型进行求解，以期对投资者进行投资组合决策提供帮助。

关键词：融资;交易费用;投资组合

引言

融资融券这一交易制度最早起源于美国，是发达国家通行的交易制度。虽然中国正式开展融资融券业务迄今已有四年，但目前对于融资融券投资组合问题的研究还很少。

本文针对目前的研究现状，在以上文献提供的模型的基础上，研究了带有交易费用的融资下的M-V模型，并利用文献[4]提出的几何方法为该模型求解，以期对投资者进行投资组合决策提供帮助。

一、模型的建立

在融资业务开展中，经纪商会采取一系列措施来避免可能的损失。首先会规定初始保证金比例来限制投资者的最大融资金额。其次为防止在投资过程中由于证券价格的波动使实际保证金低于初始保证金，还会设置一个维持保证金比例。

初始保证金=

维持保证金=

假设市场有n种风险证券，投资者在期初持有现金的数量为M1，令M2表示可融资资金数量，假设融资的初始保证金比例不低于δ（0<δ<1），此时投资者的总投资额度为M1+M2，且有：

M1+M2≤M1

进一步，令X=（x1，x2，…，xn）T代表投资者在风险证券上的投资比例向量，R=（r1，r2，…，rn）T代表风险证券的期望收益率向量，则证券组合的市值为：

（M1+M2）（1+RTX）

设维持保证金比例不低于γ（0<γ<δ）有：

≥γ   （1）

令x0代表融资资产的比例，则：

x0=≥1-（2）

假定投资者将借入的资金全部投资于风险证券，rf代表无风险证券的借入利率，显然：

rf

令C=（c1，c2，…，cn）T代表风险证券的交易费率，∑=|σij|n×n代表风险证券的协方差矩阵（∑是正定矩阵）。e=（1，1，…，1）Tn代表各分量全为1的n维列向量。

根据Markowitz的M-V理论，投资者在投资时会选择有效边界曲线上的投资组合进行投资，即在MVP以上的曲线部分的组合进行投资，该有效边界是下页图1中曲线1的实线部分。

根据证券组合有效边界的定义，一旦种证券确定，则其有效边界的曲线就确定了。在融资后，投资者还是会选择有效边界曲线上的投资组合进行投资。而总投资额包括自有金额投资部分和融资金额投资部分，那么对于总的投资组合X来说，X中的每一分量由两部分组成，一部分为投资者以自有资金投资风险证券的比例向量X1=（x11，x12，…，x1n）T中的x1i，一部分为投资者以借入资金投资风险证券的比例向量X2=（x21，x22，…，x2n）T中的x2i，且有借贷资金与自有资金投资中风险资产的投资比例向量相等：

x1i=x2i

也就是说，借贷资金的投资组合与自有资金的投资组合相同。根据自有资金和借贷资金的关系，可知：

X=X1+X2=X1      （3）

根据RP=RTX及σP=（XT∑X）

可求出X1组合曲线的预期收益率和标准差为：

R1P=RTX1

σ1P=（X1T∑X1）

可求出X组合曲线的方差为：

RP=RTX=RTX1=R1P

σP=（XT∑X）=X1T∑X1=σ1P

因此融资情况下投资组合的有效边界曲线向右上方发生平移，变为图1中曲线2的实线部分。

为了研究方便，假定交易费率C=（c1，c2，…，cn）T中，

c1=c2=…cn=c    （4）

对于股票市场来说，这个假定是符合现实的。因此当投资者以最大融资比例融资时，风险最小化的投资模型为：

minσ2P=X1T∑X1st.RP=RTX1-c+（1-）rfeTX1=1≥γx1i≥0     （i=1，2，…，n）                        （P1）

二、模型求解

为了求解模型（P1），本文首先对模型（P1）的第一个约束条件进行变形，令R*P为未扣除交易费用的证券投资组合收益，则：

R*P=RTX1           （5）

故模型（P1）的第一个约束条件可简化为：

RP=R*P-c-（-1）rf （6）

其次，对模型（P1）的第三个约束条件进行化简，可得：

RTX1≥  （7）

由于 0<γ<δ<1，因而<0

投资者要获得大于的收益，在进行决策时，必须满足：

RTX1>rf （8）

因此在（8）式成立的情况下，（7）式一定成立。所以第三个条件在投资者进行决策时是可以不予考虑的。而一旦（7）式不成立时，即RTX1≤ ，则投资者被强制平仓。此时投资者的最大损失为：endprint

RTX1-c+（1-）rf

=-c+（1-）rf     （9）

=-c+（1-）rf

所以模型（P1）可以化简为与它同解的模型：

minσ2P=X1T∑X1st.R*P=RTX1RP=R*P-c-（-1）rfeTX1=1x1i≥0     （i=1，2，…，n）                                               （P2）

最后，为了求解模型（P2），本文仿照文献[4]的几何方法，在权重空间中对该模型进行分析。不失一般性，不妨设：

r1>，r2，>…>rn，σ11>，σ22，>…>σnn

因为有eTX1=1

即：x11+x12+…+x1n=1

故：x1n=1-x11-x12-…-x1，n-1

因而证券组合的预期收益率R*P和σ2P方差分别为：

R*P=x11r1+x12r2+…+x1，n-1rn-1+（1-x11-x12-…-x1，n-1）rn  （10）

σ2P=x2  11σ11+x2  12σ22 +…+x2        1，n-1σn-1，n-1+（1-x11-x12-

…-x1，n-1）2σnn+2x  11x12σ12+…+2x11x       1，n-1σ1，n-1+2（1-x11-x12-

…-x1，n-1）σ1n +2x  12x13σ23+…+2x12x       1，n-1σ2，n-1+2x12（1-x11-x12-

…-x1，n-1）σ2n+…+2x       1，n-1（1-x11-x12-…-x1，n-1）σn-1，n       （11）

由于x1i≥0     （i=1，2，…，n），因此在权重空间（x11，x12，…，x1，n-1）中投资权重只能由下列n个超平面围成的区域Ω内：

（Δ）x11+x12+…+x1，n-1=1x11=0x12=0…x1，n-1=0

区域Ω内点MVP处的证券组合的预期收益率与方差可以通过求解模型（P3）来得到：

minσ2P=X1T∑X1s.t.=eTX1=1                                                     （P3）

由拉格朗日（Lagrange）乘子法，可求得：

X1MVP=∑-1e

R*      MVP=X         1MVPTR=RT∑-1e

RMVP=R*      MVP-c-（-1）rf

σ2     MVP=X         1MVPT∑X         1MVP=

仿照文献[7]中求解的几何方法，可以得到种证券的第1类临界线，它就是允许卖空的临界线，其方程是一个含有n-2个线性方程的方程组：

a1  11x11+a1  12x12+…+a1         1，n-1x1，n-1=b11a1  21x11+a1  22x12+…+a1         2，n-1x1，n-1=b12…a1   n-2，1x11+a1   n-2，2x12+…+a1              n-2，n-1x1，n-1=b1      n-2 （12）

其中：

a1  ij=-

b1i=-+ （i=1，2，…，n-2，j=1，2，…，n-1）

在权重空间（x11，x12，…，x1，n-1）中，第1类临界线与投资区域的边界：

x11+x12+…+x1n交于点H1。

同理，可得到第2类临界线，它的方程为：

a2  11x11+a2  12x12+…+a2         1，n-2x1，n-2=b21a2  21x11+a2  22x12+…+a2         2，n-2x1，n-2=b22…a2   n-3，1x11+a2   n-3，2x12+…+a2              n-3，n-2x1，n-2=b2      n-3x11+x12+…+x1，n-1=1 （13）endprint

其中：

a2  ij=-

b2i=+（i=1，2，…，n-3，j=1，2，…，n-2）

更进一步，可得到第k类临界线，它的方程为：

ak  11x11+ak  12x12+…+ak         1，n-kx1，n-k=bk1ak  21x11+ak  22x12+…+ak         2，n-kx1，n-k=bk2…ak   n-k-1，1x11+ak     n-k-1，2x12+…+ak                 n-k-1，n-kx1，n-k=bk          n-k-1x11+x12+…+x1，n-k+1=1x1，n-k+2=x1，n-k+3…=x1，n-1=0       （14）

其中：

ak  ij=

-

b2i=+（i=1，2，…，n-k-1，j=1，2，…，n-k）

可得到种证券的第n-1类临界线方程为：

x11+x12=1x13=x14=…=x1，n-1=0    （15）

则不允许卖空的证券组合的临界线为一条连续但不光滑的折线，折点分别为：

H1，H2，…，Hn-2

折点Hk的坐标Hk1可由第k类临界线方程和方程：

x11+x12+…+x1，n-k=1 （k=1，2，…，n-2）

求得，由此也可求得折点Hk处的预期收益率R*kP和方差（σkp）2。

由于：r1>，r2，>…>rn，σ11>，σ22，>…>σnn

故由临界线性质可知：

R*n-1P      =r1>R*n-2P      >…>R*1P>R*     MVP

（σn-1p     ）2=σ11>（σn-2p     ）2>…>（σ1p）2>（σMVP）2

因此，对于投资者的任意一给定的扣除交易费用后的RP，要使得模型（P3）有解，RP应满足条件：

min（ri）-c-（-1）rf≤RP≤max（ri）-c-（-1）rf

（16）

由公式RP=R*P-c-（-1）rf可求出R*P。

如果：Rk-1*P       ≤R*P≤R*kP  （k=1，2，…，n-1）

则联立第k类临界线方程和公式（10）就可求得使证券组合的风险达到最小的最优权重Xk1，进一步可根据Xk=Xk1得到Xk，最后通过σ2p=（Xk）T∑Xk便可求得投资组合的最小方差。

结论

本文主要是针对目前中国证券市场已经引入了买空机制，投资者可以通过向经纪商融资来购买证券。在（下转155页）（上接136页）这种情况下，投资者可以获得以自有资金不可能实现的高收益率，但同时也承担了更高的风险。而理性投资者总是希望既达到自己的投资目标又能使承担的风险最小，我们给出了这种投资组合模型及其几何解法，以便投资者更好地控制投资风险。这对于投资者在当前的股票市场环境下，确定最优的投资策略有非常现实的意义。

参考文献：

[1]  唐小我.组合证券投资决策的计算方法[J].管理工程学报，1990，（3）：45-48.

[2]  曾勇，唐小我.非负投资比例约束下的组合证券风险最小化方法[J].技术经济，1994，（Z1）：110-113.

[3]  马永开，唐小我.不允许卖空的证券组合选择模型研究[J].预测，1999，（2）：49-68.

[4]  屠新曙，王键.求解证券组合最优权重的几何方法[J].中国管理科学，2000，（3）：20-25.

[5]  黄思明，陈薇，杨国梁.摩擦市场上允许买空卖空的投资组合问题[J].中国管理科学，2006，（5）：28-32.endprint