风险调整收益的最新研究进展及分类

陈磊+梁僖

摘 要：风险调整收益是评价投资组合绩效的重要指标，过去数十年涌现了大量的相关文献。对这些相关文献进行整理综述，并按照风险测度方法的不同将指标分为基于方差、β系数、偏矩、价格跌幅、VaR的风险调整收益指标五类。投资者可以根据其风险偏好选择最适合的评价指标。

关键词：夏普比率;业绩评估;风险调整收益

投资者最关心的莫过于投资组合的业绩表现，评价投资组合或单项资产的绩效有助于分析资产投资特性，及时调整投资策略。风险调整收益是一类重要的业绩评价方法，其基本思路是对收益加以风险调整得到一个综合性指标，以体现风险对收益的影响。本文将对20世纪60年代至今出现的重要风险调整收益指标做一个分类综述。

一、基于方差或贝塔系数的传统风险调整收益指标

1966年诺贝尔经济学奖得主威廉·夏普[1]基于资本市场线理论提出夏普比率，计算公式为：

SR=（1）

式中rP表示考察期间组合平均收益率，rF为无风险收益率，σP为以收益率标准差表示的总风险。夏普比率是目前应用最广泛的绩效评价指标，其值越大说明投资绩效越好。

夏普比率是一个相对比率，有些偏好绝对收益的投资者需要一个能更加直观地衡量业绩的指标，M2测度[2]因此对夏普比率做出改写：

M2=rP+SR×（σM-σP） （2）

或

M2=（rP-rF）×+rF （3）

其中σM表示市场组合或基准组合风险。M2测度与夏普比率对组合业绩的排序是一致的。

与夏普比率类似的有特雷诺比率（Treynor Ratio）[3]，其分母用贝塔系数βP计算的系统风险替代了标准差：

TR= （4）

特雷诺比率忽略了非系统风险，而国内很多投资基金的资产组合都没有完全分散化，并不适宜用特雷诺比率评估绩效。

詹森指数（Jensen—α）[4]和特雷诺比率同样以证券市场线为基础，但它是一个绝对指标：

α=rP-E（rP）=rP-[rF+（rM-rF）βP] （5）

rM为评价期间市场组合平均收益率，α>0说明组合绩效优于市场绩效。

Treynor和Black[5]（1973）提出的估价比率（Appraisal Ratio）中用到了詹森指数：

Appraisal Ratio= （6）

其中σε是非系统风险的度量。若组合已经充分分散化，则非系统风险很小，估价比率应该很大，故在某种程度上估价比率也可以说是对组合分散程度的一个评估。

基金经理的投资风格和目标各不相同，在评估绩效时应有一个基准做比较，信息比率[6]（Information Ratio）应运而生：

IR= （7）

dP是实际业绩与基准业绩间差异收益率的均值，σdP是差异收益率的标准差，通称跟踪误差（Tracking Error），反映了积极管理的风险。信息比率越大说明积极管理的绩效越好。

统计研究表明，大部分权益类金融产品回报率的概率分布都呈现尖峰厚尾的特征，夏普比率的正态性假设将低估组合风险。Pézier[7]（2006）提出经偏度和峰度调整的夏普比率，负偏态分布和高峰度将使得调整后的值较调整前有所下降：

Adjusted Sharpe Ratio=SR×1+×SR-×SR2 （8）

二、基于半方差的风险调整收益指标

后现代资产组合理论（Post-modern Portfolio Theory，PMPT）认为，按照投资风险的定义，应只将收益率相对均值的负向波动计入风险，由此衍生出一系列风险调整绩效指标。

下行风险[8]（Downside Risk）只反映资产价格降低的风险：

σD= （9）

这里rT表示可接受的最低目标收益率，可以选取无风险收益率、基准组合收益率或其他固定的阈值，ri为投资组合各期收益率。

预期损失可能[8]（Downside Potential）定义为：

Downside Potential= （10）

Downside Potential实际上就是一阶下偏矩（Lower Partial Moments，LPM），σD是二阶下偏矩的开方。对应地还有Upside Potential[9]：

Upside Potential=   （11）

Shadwick和Keating[10]在2002年提出了一个收益损失比——OmegaRatio：

Ω== （12）

Ω值越高，绩效越好。也可修改成与夏普比率相近的形式：

Omega-SharpeRatio=（13）

由于Omega-SharpeRatio=Ω-1，两者的绩效排序是完全相同的[11]。

Sharpe Ratio和Omega-SharpeRatio的一个自然延伸是由Sortino[12]（1991）提出的Sortino Ratio：

Sharpe Ratio=（14）

三、基于VaR方法的风险调整收益指标

VaR[13]（Value at Risk）风险价值，指在一定的置信水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定一段时间内的最大可能损失，是目前国际流行的风险测度指标。使用VaR作为风险测度的夏普式比率被称为收益风险价值比率[14]（Reward to VaR）：endprint

Reward to VaR=（15）

这里的VaR ratio表示VaR使用百分比而非数量的形式。VaR依然不能保证损失不超过给出的数值，如果需要考虑超出置信水平外的损失，应使用条件VaR[15]（Conditional VaR）。将Reward to VaR中的分母改为条件VaR就是条件夏普比率[16]：

Conditional Sharpe Ratio=（16）

就偏度和峰度对VaR做出调整得到修正VaR（Modified VaR）[17]。将夏普比率的分母改成MVaR则得到修正夏普比率[18]：

Modified Sharpe Ratio= （17）

四、基于收益跌幅的风险调整收益指标

收益跌幅（Drawdown）指投资期内一次无间断的资产缩水幅度，其均值即平均跌幅（Average drawdown）：

D=（18）

这里Dj指考察期（通常为三年）内第j个收益跌幅，d为下跌总数。有人认为，只有收益率序列中最大的几次下跌才能说明问题，因此也可以限定d为常数，比如3或5。

历史最大跌幅（Maximum drawdown）指某特定时间段（通常取三年）内投资者可能遭受的最大损失，即在最高点买入在最低点卖出的损失，一定程度上反映了组合管理者风险控制的能力。

基于收益跌幅有三种广泛使用的风险估值指标，分别是Calmar比率、Sterling比率和Burke比率，常用于评价管理期货基金和对冲基金。

Calmar比率是1991年Terry Young[19]提出的：

Calmar Ratio=（19）

表示历史最大跌幅，经典的Calmar比率使用最近三年的月度数据计算。Calmar比率越高，基金业绩越好。

Sterling比率的最初提出者很可能是Deane Sterling Jones[20]，后来改成类似夏普比率的形式：

Sterling Ratio=（20）

Sterling比率使用三年的年度数据计算，因此在敏感度上不如Calmar比率。实际上，最常用的Sterling变式是Sterling比率和Calmar比率的结合，分母使用三年年平均最大跌幅[21]：

Sterling-Calmar Ratio= （21）

Burke[22]（1994）提议通过平方和开根号的方式，突出剧烈下跌相对于温和减值的影响：

Burke Ratio= （22）

1987年Peter Martin[23]提出溃疡指数（Ulcer Index，也称Martin Index）：

Ulcer Index= （23）

D'i表示第i期收益率相比历史最高水平的跌幅，n为使用数据的期数，Martin建议使用周度或者每日数据。溃疡指数考虑了下跌的持续时间，有助于识别那些仅在短期有收益或者长期来看实际没有收益的资产。Martin比率（Martin Ratio or Ulcer Performance Index，UPI）使用溃疡指数作为分母：

Martin Ratio=（24）

应避免投资溃疡指数高的资产，除非其经风险调整后仍然表现出超高的收益率。

五、总结

综上所述，过去数十年来，风险调整业绩指标研究发展迅速，按照风险测度方法的不同，分类总结（见表1）。

我们该如何从中选择一个最优的绩效评价指标？Eling和Schuhmacher[24]的研究表明这些指标形式相近且高度相关，绩效排序结果大致相同，许多其他文献也印证了他们的观点。然而不同指标反映了不同的风险偏好，例如VaR和跌幅类指标比较注重风险，适于保守型的投资者，而那些乐观的投资者会更偏向于偏矩类指标。因此，投资者可以选取最能反映自己风险偏好的指标来评价资产组合绩效，帮助做出投资决策。

参考文献：

[1]  SharpeWilliam F.MutualFundPerformance[J].Journalof Business，1966，（1）：119-138.

[2]  Modigliani Franco，Modigliani Leah.Risk-Adjusted Performance[J].Journal of Portfolio Management，1997，（2）：45-54.

[3]  TreynorJ.L.HowtoRateManagementofInvestmentFunds[J].HarvardBusinessReview，1965，（1）：63-75.

[4]  JensenMichael C.The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964[J].Journalof Finance，1968，（2）：389-419.

[5]  TreynorJ.L.，Black Fischer.How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection[J].Journalof Business，1973，（1）：66-86.

[6]  Goodwin T.H.The Information Ratio[J].FinancialAnalysts Journal，1998，（54）：34-43.endprint

[7]  Pézier J.，White A.The Relative Merits of Investable Hedge Fund Indices and Funds of Hedge Funds in Optimal Passive Portfolios[A].

ICMA Centre Discussion Papers in Finance DP2006-10[C].2006.

[8]  Harlow W.V.，Rao R.K.S.Asset Pricing in a Generalized Mean—Lower Partial Moment Framework：Theoryand Evidence[J].Journal of Financial

and Quantitative Analysis，1989，（3）：285-309.

[9]  Edwin H.N.，Michael N.R.，Jun Y.Distinguishing Upside Potential from Downside Risk[J].Management Research News，2009，（1）：26-36.

[10]  Shadwick W.F.，Keating W.F.A Universal Performance Measure[J].Journal of Performance Measurement，2002，（3）：59-84.

[11]  Bacon Carl R.PracticalPortfolioPerformanceMeasurementandAttribution[M].Second Edition.Hoboken，New York：John Wiley & Sons，2008.

[12]  Sortino F.，van der Meer R.Downside Risk[J].Journal of Portfolio Management，1991，（4）：27-31.

[13]  Morgan J.P.Risk Metrics—Technical Document[Z].4th Ed.New York：Morgan Guaranty Trust Company，1996：1-66.

[14]  DowdK.Adjusting for Risk：An Improved Sharpe Ratio[J].International Review of Economics and Finance，2000，（3）：209-222.

[15]  RockafellarR.T.，UryasevS.Optimization of Conditional Value-at-risk[J].Journal of Risk，2000，（3）：21-41.（下转213页）

（上接149页）

[16]  Agarwal V.，Naik N.Y.Risk and Portfolio Decisions Involving Hedge Funds[J].Review of Financial Studies，2004，（1）：63-98.

[17]  FavreL，José-AntonioG.Mean-modifiedValueatRiskOptimizationwith Hedge Funds[J].Alternative Investments，2002，（5）：21-25.

[18]  Gregoriou G.N.，Gueyie J.P.Risk-adjusted Performance of Funds of Hedge Funds Using a Modified Sharpe Ratio[J].Journal of Wealth

Management，2003，（6）：77-83.

[19]  Young Terry W.Calmar Ratio：A Smoother Tool[J].Futures，1991，（1）：40.

[20]  McCafferty T.The Market Is Always Right[M].New York：McGraw-Hill，2002.

[21]  Bacon Carl R.PracticalPortfolioPerformanceMeasurementandAttribution[M].Second Edition.Hoboken，New York：John Wiley & Sons，

2008：89-90.

[22]  Burke G.A Sharper Sharpe Ratio[J].Futures，1994，（3）：56.

[23]  Martin P.G.，McCann B.R.The Investors Guide to Fidelity Funds[M].New York：John Wiley & Sons，1989.

[24]  Eling M.，Schuhmacher F.Does the Choice of Performance Measure Influence the Evaluation of Hedge Funds？[J].Journal of Banking

and Finance，2007，（9）：2632-2647.endprint