贝叶斯估计器先验模型参数的迭代感知方法

邹 鲲张 斌王晓薇林澄清

①(空军工程大学信息与导航学院 西安 710077)

②(94816部队 莆田 351100)

贝叶斯估计器先验模型参数的迭代感知方法

邹 鲲*①张 斌①王晓薇①林澄清②

①(空军工程大学信息与导航学院 西安 710077)

②(94816部队 莆田 351100)

充分利用先验信息是提高统计推断性能的有效途径之一。贝叶斯估计的先验信息模型参数必须在设计阶段确定下来，与待探测环境模型参数之间必然存在不一致性，从而有可能导致估计质量的下降。该文首先给出了基于估计性能的先验模型参数感知的一般性框架。基于该框架，针对白高斯噪声中直流信号的贝叶斯估计器，分析了先验失配条件下的估计性能，给出了一种先验模型参数迭代感知的算法。利用计算机仿真分析了该估计器性能对先验模型参数的敏感性和稳健性，分析了不同条件下的迭代感知过程。计算机仿真结果表明，该文给出的迭代感知方法建立了从估计性能到先验模型参数的反馈，通过估计器与待探测场景的多次交互，可以使得先验模型与当前场景模型匹配。

雷达信号处理；贝叶斯估计器；先验模型失配；稳健性；敏感性；迭代感知方法

1 引言

在统计推断中，可以使用总体信息和样本信息。而在贝叶斯框架下，还可以使用先验信息[1]。先验信息主要来自经验和历史资料，是在统计推断之前就必须确定下来的，具有一定的主观性[2]。充分利用先验信息，有助于提高统计推断的质量。

对于雷达信息处理而言，合理使用先验信息可以提高雷达目标的参数估计、检测、跟踪、识别性能[3]。利用先验信息[4]，并建立合理的统计模型[5]，估计统计模型的参数[6]，并将这种带有参数的先验模型应用于雷达信号处理中。文献[7]将雷达杂波的非高斯统计特性作为先验信息，分析了雷达在严重拖尾复合高斯杂波中的探测性能，结果表明，先验信息的使用可以提高雷达的探测能力。文献[8]将雷达杂波协方差矩阵结构上的具有的反对称性作为先验信息，可以降低雷达自适应处理中对训练数据数量的依赖程度。文献[9]考虑了杂波协方差矩阵的先验信息，可以提高杂波协方差矩阵的估计质量，甚至可以不需要训练数据实现杂波协方差矩阵的估计[10]。文献[11]利用探测环境的先验信息提高了空时自适应处理中的杂波抑制能力。

需要指出的是，先验信息只有与当前探测环境匹配时，才能提高雷达性能，先验信息的不准确会导致雷达性能的下降。先验信息通常在雷达处理器设计阶段就必须给定，这使得先验信息与当前探测环境必然存在不一致性。文献[12]讨论了海杂波非平稳性对雷达性能的影响，研究表明，雷达探测环境的复杂性以及先验信息的不准确性会严重影响雷达的探测能力。文献[13]研究了目标模型的不准确性带来的检测性能的影响，并给出了多种改进的检测方法。唐波等人[14]也考虑到先验信息的不准确性问题，给出了一种基于先验知识定量评估的杂波协方差矩阵估计方法。邹鲲等人[15]通过建立分层贝叶斯先验模型，降低检测器对先验模型参数误差的敏感性。

文献[16]分析了先验模型参数的失配与雷达检测性能之间的量化关系，研究结果表明，在先验模型失配条件下，雷达检测性能会偏离标称值，即检测概率和虚警率与标称值不一致。这种检测性能与标称值之间的差异实际上蕴含了先验失配的信息，为此可以通过分析雷达在当前环境的检测性能获得先验模型参数的感知[17]。目前针对认知雷达的研究多集中于目标跟踪识别的范畴[18]，而对于信号的检测与估计方面的研究较少[19]。检测与估计是雷达信号处理中的核心问题，本文则是从信号估计的角度，分析先验失配条件下估计器的性能，并探讨先验模型参数的感知方法。本文的创新之处在于从贝叶斯估计的角度，分析估计器性能与先验模型参数失配之间的量化关系，建立了从估计器性能到先验模型之间的反馈，构成了“利用先验信息设计估计器，利用估计性能修正先验模型”的认知闭环结构，通过多次的迭代过程实现先验模型与待探测环境模型的匹配。需要指出的是，这种过程与常规的雷达自适应检测估计或知识辅助方法有着较大的差异。雷达自适应检测估计方法并不考虑先验信息，雷达不具备对探测环境的理解能力。知识辅助方法虽然利用了先验信息提高雷达探测性能，但并不考虑先验模型的失配问题，以及对先验模型更新问题。认知雷达利用了先验信息提高探测能力的同时，还考虑到先验信息是雷达对探测环境的学习过程。本文在第2节讨论了基于估计性能的先验模型参数感知的一般性框架，建立从估计性能到先验模型参数的迭代感知过程。在第3节针对白高斯噪声下的直流信号的估计问题，分析估计器在先验失配条件下的性能，在第4节给出针对该估计器的先验模型参数的迭代感知算法。在第5节利用计算机仿真分析先验模型失配条件下的估计器性能，并分析多种条件下的先验模型参数的迭代感知过程。最后给出全文的结论。

2 先验模型参数感知的一般性框架

在贝叶斯框架下，利用数据x对某个参数a进行最小均方误差估计时，将该参数看作随机变量，并指定该参数的先验分布作为其先验模型。假定该参数为连续型随机变量，其概率密度函数为fA(a;θ)，其中p维矢量θ是参数a的先验分布参数。贝叶斯估计是参数a的后验均值：

其中后验概率密度函数为

其中fX|A(x|a)是似然函数，从式(2)可以看出，贝叶斯估计值是数据x和先验模型参数的函数，即ae=g(x,θ)。也就是说，在贝叶斯估计器的结构中，包含了待估计数据x和先验模型参数θ。由于数据x是随机矢量，估计值也是随机变量，其统计特性与数据x有关。若考虑先验模型参数的失配问题，即当前探测环境中参数a的统计特性偏离了先验模型，其概率密度函数为fA(a;ϕ)，那么贝叶斯估计器可以表示为ae=g(x(ϕ),θ)，即贝叶斯估计器应该是数据x、先验模型参数θ、实际模型参数ϕ的函数，其中参数ϕ是隐含在数据x的统计特性之中，不能直接表示在贝叶斯估计器结构内。在先验模型失配条件下，贝叶斯估计值ae的统计特性必然受到参数ϕ的影响。估计器性能与估计值的统计性能有关，估计值的ae的统计特性可以用其概率密度函数表示，该密度函数包含有先验模型参数失配的信息，即ae～fAe(ae,θ,ϕ)。为此可以分析该估计值在当前探测环境下的统计特性，获得参数ϕ，进一步修正先验模型参数，实现先验模型参数与当前探测环境的匹配。

图 1 基于贝叶斯估计性能的先验模型感知过程

认知的过程应该是一种迭代的闭环过程，如图1所示。假定第k次迭代时的先验模型参数为θk，依据此先验模型参数，利用式(1)得到贝叶斯估计器ae，该估计器中包含了先验模型参数θk。将这个估计器应用于当前探测环境，并假定环境中的参数a的实际分布参数为ϕ，且是未知的。一般而言，先验模型参数与实际分布参数之间必然存在差异，即先验模型失配。这种失配会影响到估计器的性能。因此可以从估计器性能的分析获得有关先验模型失配的信息。参数估计值的统计特性ξ与先验模型参数θk和实际分布参数ϕ有关。如果可以根据估计性能的分析得到先验模型参数的更新值θk+1，就可以对先验模型参数进行更新。随着迭代的进行，期望的结果是θk=ϕ，这样就实现了先验模型与实际场景模型匹配。为了进一步说明上述方法的可行性，本文选择具有均值先验的高斯噪声下的直流信号估计作为研究对象，该方法也可以适合其他的贝叶斯估计器。

3 先验模型参数失配下的估计性能

本文考虑一种白高斯噪声下的直流信号的估计问题，假定测量数据为

其中N维矢量x为测量数据，N维矢量w为功率为σ2的高斯白噪声矢量，并假定噪声功率已知，则可以得到观测数据的条件分布：假定待估计参量a的先验分布满足均值为μθ，标准差为σθ的高斯分布，即a～N(μθ,)：

利用式(1)、式(2)可以得到参数a的贝叶斯估计[20]：

其中mX是观测数据矢量x中N个元素的算术平均值。从式(6)可以看出，贝叶斯估计器包含有观测数据的信息(mX)和先验模型参数(μθ,)。由于x是随机变量，得到的贝叶斯估计也是随机量。为此可以分析先验模型失配条件下的估计值的统计特性。若考虑先验失配问题，即假定在数据x中，参数a的实际分布是均值μϕ，方差的高斯分布，由此可以得到数据x的平均值也满足高斯分布：

由式(6)可知，估计值ae是mX的线性函数，因此ae也满足高斯分布：

其中

从式(8)可以看出，贝叶斯估计值的统计特性中包含有先验模型参数(μθ,)，实际模型参数(μϕ,)。也就是说，可以通过分析贝叶斯估计值的统计特性，获得实际模型参数(μϕ,)。贝叶斯估计器的性能还可以用均方误差表示，即

当先验模型参数匹配时，可以得到最小贝叶斯均方误差[20]：

贝叶斯估计的均方误差可以综合评估估计器的性能，但在实际情况下，待估计值的真值是未知的，难以获得均方误差的测量值。因此贝叶斯估计的均方误差一般用于理论分析。

4 迭代感知方法

利用在失配条件下的贝叶斯均方误差进行分析，由式(10)可得到：

如果令贝叶斯均方误差对(μθ,)的导数为零，就可以得到(μθ,)=(μϕ,)，即对于函数ξ(μθ,)，有且仅有一个极值点(μϕ,)，此时先验模型参数与实际参数模型匹配。这也表明了，对于贝叶斯估计器，若先验模型与实际模型之间存在失配，贝叶斯均方误差必然增大，估计性能下降。若先验模型参数的迭代过程满足：

估计器性能随着迭代次数的增加逐渐得到提高。从式(8)可知，如果获得了在当前探测环境下的参数a的贝叶斯估计值，该估计值的均值和方差是探测环境模型参数(μϕ,)的函数，为此可以通过序贯估计的方法估计出估计值ae的均值和方差：其中k表示迭代次数。再利用贝叶斯估计值的均值/方差与(μϕ,)的关系，得到参数(μθ,)的序贯估计：

其中

迭代过程是建立在如图1所示的先验参数感知框架的基础上的，给定一个先验分布参数(μθ(k),(k))，利用式(6)得到参数的估计值。利用式(15)，式(16)得到估计值的均值和方差的序贯估计，即完成贝叶斯估计器的性能评估。利用式(17)，式(18)得到先验模型参数的序贯估计(μθ(k+1),(k+1))，即通过贝叶斯估计器的性能评估获得先验模型参数的更新。上述过程构成一个完整的认知闭环结构，即给定先验模型参数，设计贝叶斯估计器；将贝叶斯估计器应用于当前探测环境，获得估计值；通过评估估计器性能获得先验模型参数的感知，进而优化先验模型参数；将此更新后的先验模型参数用于修正贝叶斯估计器，从而进入另一个闭环认知过程。在这个迭代认知过程中，贝叶斯估计器所使用的先验信息在不断地被修正，而修正的方法则来自贝叶斯估计器在当前探测环境中的工作性能评估。这种迭代感知过程与认知雷达的工作方式非常类似，即雷达在持续地理解当前探测环境，并随着估计器与探测环境交互次数的增加，雷达处理器逐渐与当前探测环境匹配，从而提高认知雷达性能。本文所采用的这种认知迭代过程，并不同于自适应处理方式，在每次迭代过程中，先验信息模型都会尽可能与当前探测环境匹配，而匹配程度随着迭代过程逐渐增加，而自适应处理一般不考虑先验信息的更新问题。迭代的初始值可以任意设定先验分布参数，但随着迭代过程的进行，如果待探测环境模型参数是稳定的，那么贝叶斯估计值的均值和方差估计的误差逐渐减小，最终接近真值。

5 计算机仿真分析

分析迭代感知过程中的先验模型参数变化情况。在计算机仿真中，首先利用式(3)生成待探测环境数据，其中a的均值和方差为(μϕ,)=(3,2)，参数N=8, σ2=1。利用式(6)，式(15)～式(18)等，可以完成先验模型参数的感知。迭代过程的初始值可以任意选择，如选择(μθ(0),(0))=(4,2)。得到的迭代感知值如图2(a)所示。可以看出，随着迭代过程的进行，先验模型参数均逐渐靠近(μϕ,)，大约在100次迭代之后，先验模型参数就已经非常接近(μϕ,)。图2(b)给出了迭代过程的平均收敛情况，利用计算机独立运行200次，将计算迭代感知值与(μϕ,)平均距离。对比可以发现，μθ(k)的收敛速度较快，而(k)的收敛速度较慢。这是因为在式(15)，式(16)中，均值的估计方差要小于方差的估计方差。

在迭代感知过程中，估计器对待估计参数进行估计，利用估计值的统计特性，反演出先验模型参数，使得其逐渐与待探测环境模型参数相接近。因此在整个感知过程是一个动态的过程。如果待探测环境是平稳的，即模型参数在整个感知过程中不发生变化，从前面的分析可以发现本文给出的迭代过程可以收敛到待探测环境模型参数。如果考虑在迭代过程中，待探测环境中的模型参数发生了变化，那么期望的迭代过程也应该能够收敛到变化后的待探测环境模型参数。对应的仿真结果如图3所示。这里的(μϕ,)初始值为(3,2)，在迭代次数为1000～3000时，(μϕ,)线性变化为(3.5,2.5)。得到的迭代感知值在迭代次数小于1000时，逐渐收敛到(3,2)，一旦待探测环境模型参数发生变化，迭代感知值也会逐渐收敛到新的值(3.5,2.5)。这说明，本文给出的迭代感知方法能够适合于待探测环境模型参数变化的场景。但与前面的分析结果对比可以发现，收敛的速度较慢，这是因为式(15)，式(16)是针对平稳高斯过程的序贯估计，可以优化该估计方法，提高收敛速度。

再考察本文给出的迭代感知方法在先验模型失配情况下的迭代感知效果。在图4(a)中，假定待探测环境中参数满足3～9之间的均匀分布，那么其均值为6，方差为3。图4(b)中，假定待探测环境中参数满足伽马分布，其中形状参数为5，尺度参数为2，由此可以得到均值为10，方差为20。可以发现即便存在先验模型的失配，迭代感知过程仍然可以收敛到待探测环境模型的均值和方差。这是因为本文考虑的估计器本质上仅仅利用了估计值的一、二阶统计特性，因此先验模型匹配的标准退化为一、二阶统计特性的匹配问题，而与整个模型是否匹配无关。但是需要指出的是，虽然感知迭代过程可以收敛到待探测环境参数模型的均值和方差，但收敛过程与具体模型有关。

图2 先验模型失配条件下估计器的性能分析

图3 场景模型参数突变情况下的感知过程

图4 场景模型失配情况下的感知过程

图5 在实测杂波数据中的感知过程(μϕ,)=(6,10)

最后考察本文迭代感知方法在实测杂波数据中的应用问题。本文所采用的数据来自加拿大的McMaster大学自适应系统实验室的IPIX雷达实测数据。数据采集时间为1998年冬季，采集地点为Grimsby，位于多伦多与Niagara瀑布之间的安大略湖岸边。网站http://soma.mcmaster.ca/对IPIX雷达参数及其数据有较为详细的说明。该雷达能够获得3种不同距离分辨率的杂波数据，本文选择的杂波数据对应的距离分辨率为3 m和15 m，对应的数据文件名称为19980223_171533_ANTSTEP和19980223_170435_ANTSTEP。该数据属于X波段海杂波数据，数据的统计特性偏离的高斯统计特性。该数据共有60000个脉冲、34个距离分辨单元构成的基带信号。本文选择的极化方式为HH，即发射和接收同为水平极化。选择第17个距离单元的杂波数据。在每个杂波矢量上叠加一个均值和方差满足(μϕ,)=(6,10)的高斯信号，类似于对杂波中起伏目标的参数估计问题。利用本文给出的迭代感知方法，可以得到先验模型参数随着迭代次数的变化情况，如图5所示。从仿真结果来看，随着迭代过程的进行，先验模型参数(μθ,)能够逐渐接近(μϕ,)，这说明，即使在非高斯杂波中，利用本文给出的迭代感知方法仍然可以获得当前探测环境模型参数。

6 结束语

认知雷达的主要功能包括信号检测、估计、跟踪、识别等。而在认知框架下，雷达能够不断地对当前环境进行探测，完成对未知场景的认知。这个认知过程应该是交互的、迭代、收敛的过程。对于贝叶斯估计器，先验信息代表了对雷达观测历史的记忆，其与当前探测环境可能不一致。在贝叶斯框架下，认知过程应该是先验信息的修正过程，使得先验信息模型逐渐与待探测环境模型相一致。

贝叶斯框架下的先验模型感知可以利用贝叶斯估计器和贝叶斯检测器。本文首先给出了贝叶斯估计器的先验模型参数感知的一般性框架。在这个框架下，针对高斯噪声下的具有高斯先验的幅度的贝叶斯估计器，推导了在先验模型参数失配条件下的估计性能，利用计算机仿真分析了该估计器在先验模型参数失配下的稳健性和敏感性。从稳健性分析结果可知，先验模型参数的失配必然导致贝叶斯均方误差增大，即估计性能变差。分析了迭代感知过程的收敛情况，并分别考虑了待探测环境模型参数突变、先验模型失配、实测非高斯杂波下的感知迭代过程，仿真分析表明，本文给出的迭代感知过程具有很好的稳健性，能够逐渐收敛到待探测环境模型参数。

认知雷达还是一个较为新颖的研究方向，将认知的过程引入到雷达的信号处理中，还有很多问题。认知过程包括认知发射和认知接收两个部分，本文主要集中在认知接收处理方面，没有考虑到发射参数的优化问题。本文讨论了的重点是在贝叶斯框架下的一种基于处理性能评估的先验模型参数的迭代感知方法，其迭代过程收敛速度、收敛唯一性与先验模型本身有关系，是下一步研究的重点，将本文给出了感知框架应用于其它贝叶斯估计器也是值得研究的。

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邹 鲲： 男，1976年生，讲师，从事雷达信号处理、统计信号检测及其在雷达、导航方面的应用研究.

张 斌： 男，1968年生，教授，从事通信、雷达、导航系统理论、自适应信号处理方面的研究.

王晓薇： 女，1972年生，副教授，从事军用导航装备理论研究.

林澄清： 男，1986年生，工程师，从事军用导航装备应用研究.

Iterated Cognition Method for Prior Model Parameters of Bayesian Estimator

Zou Kun①Zhang Bin①Wang Xiao-wei①Lin Cheng-qing②

①(School of Information and Navigation, Air Force Engineering University, Xi'an 710077, China)

②(94816 Troops of PLA, Putian 351100, China)

Smart use of prior information is one of effective approaches to improve the performance of Bayesian estimator. At the design stage of Bayesian estimator, the prior model parameters must be specified, but these parameters may not be identical with parameters of environment at the applicant stage. The mismatched prior model can result to the performance degradation of Bayesian estimator. In this paper, a general framework of prior model parameters cognition based on the estimator performance is given at first. Base on the framework, for a Bayesian estimator of DC signal in WGN, the estimation performance is analyzed, and an iterated cognition method of prior model parameters is proposed. The computer simulation is used to analyze the sensitivity and robustness of the estimator under the mismatched prior model condition, and the iterated cognition procedure under different conditions. The computer simulation results show that, the feedback from the estimation performance to the prior model parameters is obtained with the cognitive method proposed in this paper, and the prior model can be matched with the current environment model after the repeated interactions between the estimator and environment.

Radar signal processing; Bayesian estimator; Mismatched prior; Robustness; Sensitivity; Iterated cognitive method

TN957.51

： A

：1009-5896(2015)06-1402-07

10.11999/JEIT141012

2014-07-28收到，2015-02-28改回

国家自然科学基金(61273408, 61302153)和航空创新基金资助课题

*通信作者：邹鲲 wyyxzk@163.com